Codeforces Round #665 (Div. 2) Maximum Distributed Tree（树上贪心）

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CF1401D Maximum Distributed Tree（树上贪心）

给定一棵 nnn 个节点，n−1n-1n−1 条边的树。你可以在每一条树上的边标上边权，使得：

每个边权都为正整数；
这 n−1n-1n−1 个边权的乘积等于 kkk；
边权为 111 的边的数量最少。
定义 f(u,v)f(u,v)f(u,v) 表示节点 uuu 到节点 vvv 的简单路径经过的边权总和。你的任务是让 ∑i=1n−1∑j=i+1nf(i,j)i=1\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n} f(i,j) i=1i=1∑n−1j=i+1∑nf(i,j)i=1最大。

最终答案可能很大，对 109+710^9+7109+7 取模即可。

kkk 有可能很大，输入数据中包含了 mmm 个质数 pip_ipi ，那么kkk 为这些质数的乘积。

Solution

显然 ∑i=1n−1∑j=i+1nf(i,j)i=1\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n} f(i,j) i=1i=1∑n−1j=i+1∑nf(i,j)i=1 的含义就是图中任意两点间的路径长度之和。
我们可以从边的贡献出发，显然对于任意一条边，从该条边经过的路径条数显然就是 siz[x]×(n−siz[x])siz[x]\times (n-siz[x])siz[x]×(n−siz[x])。
所以我们贪心就行了…
排序后，给经过次数多的分配最大的权值即可。
显然乘法比加法大的多（

但是因为题目要求的数量最少，所以我们并不能直接把送给次数最多的那个，我们需要把 p 从小到大先分配给小的，然后剩余的一块给大的。
所以根据够不够分，分类讨论即可。
最后，有取模的时候不能直接排序，因为很大的数模完之后可能会变得很小

Code

// Problem: CF1401D Maximum Distributed Tree
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/CF1401D
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define int long long
const int N = 5e5 + 7, M = 3e6 + 7, mod = 1e9 + 7;int n, m, s, t, ans, a[N];
int p[N], val[N];
int head[N], ver[M], nex[M], ede[M], tot;
bool vis[N];
int siz[N];
int seq[N], num1;void add(int x, int y)
{ver[tot] = y;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void dfs(int x, int fa)
{siz[x] = 1;for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {int y = ver[i];if(y == fa) continue;dfs(y, x);siz[x] += siz[y];}if(fa != 0)seq[ ++ num1] = siz[x] * (n - siz[x]);
}signed main()
{scanf("%lld", &t);while(t -- ) {ans = 0;num1 = 0;tot = 0;memset(head, -1, sizeof head);memset(val, 0, sizeof val);scanf("%lld", &n);for (int i = 1; i <= n - 1; ++ i) {int x, y;scanf("%lld%lld", &x, &y);add(x, y);add(y, x);}scanf("%lld", &m);for (int i = 1; i <= m; ++ i)scanf("%lld", &p[i]);sort(p + 1, p + 1 + m);dfs(1, 0);sort(seq + 1, seq + 1 + num1);if(n - 1 < m) {for (int i = 1; i <= n - 1; ++ i)val[i] = p[i]; for (int i = n; i <= m; ++ i)val[n - 1] = val[n - 1] * p[i] % mod;}else {for (int i = 1; i <= m; ++ i)val[i] = p[i];for (int i = m + 1; i <= n - 1; ++ i)val[i] = 1; sort(val + 1, val + 1 + n - 1); }  for (int i = 1; i <= n - 1; ++ i)ans = (ans + 1ll * seq[i] * val[i] % mod) % mod;cout << ans << endl;}return 0;
}

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