CodeCraft-22 and Codeforces Round #795 (Div. 2) F. K-Set Tree

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题意

给定一个树，f(r,S)f(r,S)f(r,S) 表示该树以 rrr 为根，节点 VVV 的子集 ∣S∣=k|S|=k∣S∣=k，包含 SSS 的最小子树的大小。求所有 f(r,S)f(r,S)f(r,S)

题解

对每个节点计算贡献。如下图节点 444，产生的贡献为：444 为根，其他节点选 kkk 个，且其祖先为 444；区域 AAA 的节点为根，其他节点选 kkk 个，且其祖先为 444；区域B的节点为根，其他节点选 kkk 个，且其祖先为 444…

如果以 444 为根，其他节点选 kkk 个，且祖先为 444，方案数 tottottot 计算：
C(sz[x]+sz[y],k)−C(sz[x],k)−C(sz[y],k)C(sz[x]+sz[y],k)-C(sz[x],k)-C(sz[y],k)C(sz[x]+sz[y],k)−C(sz[x],k)−C(sz[y],k)
不断对子树进行合并，上面公式的解释：两棵子树中选 kkk 个减两棵子树分别单独选 kkk 个。

而对非自身为根的方案数计算：
tot−(C(n,k)−C(sz[y],k)−C(n−sz[y],k))tot-(C(n,k)-C(sz[y],k)-C(n-sz[y],k))tot−(C(n,k)−C(sz[y],k)−C(n−sz[y],k))
上面合并的逆

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=2e5+9,mod=1e9+7;
int n,k;
LL ans;
int sz[N];
LL fac[N],inv[N];
vector<int>e[N];
LL ksm(LL x,LL y)
{LL res=1;while(y){if(y&1) res=res*x%mod;x=x*x%mod; y>>=1;}return res;
}
LL C(int x,int y)
{if(y>x) return 0;if(x==y) return 1;return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
void dfs(int x,int fa)
{sz[x]=1;LL tot=C(1,k);for(int y:e[x]){if(y==fa) continue;dfs(y,x);tot=(tot+C(sz[x]+sz[y],k)-C(sz[x],k)-C(sz[y],k))%mod;sz[x]+=sz[y];}ans=(ans+tot*sz[x]%mod*(n-sz[x])%mod)%mod; //区域A为根的贡献tot=(tot+C(n,k)-C(sz[x],k)-C(n-sz[x],k))%mod;ans=(ans+tot*n%mod)%mod; //x为根的贡献for(int y:e[x]){if(y==fa) continue;LL res=((tot-(C(n,k)-C(sz[y],k)-C(n-sz[y],k)))%mod+mod)%mod;ans=(ans+res*(n-sz[y])%mod*sz[y]%mod)%mod; //孩子为根的贡献}
}
int main()
{ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);cin>>n>>k;for(int i=1,x,y;i<n;i++){cin>>x>>y;e[x].pb(y); e[y].pb(x);}fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,inv[i]=ksm(fac[i],mod-2);dfs(1,0);cout<<(ans%mod+mod)%mod<<"\n";return 0;
}

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