群同态基本定理证明_群同态基本定理II
它们为S4中所有的对换
它们都在S3K4中
由于S4中元素都可以写成对换的乘积, 因此这些乘积还在S3K4中(谁叫咱是子群呢). 所以S3K4=S4这样有个好处K4的左陪集代表元可以全取S3中元素即S4/K4={σK4∣σ∊S3}这样我们可以建立一个从S3到S4/K4的群的满同态呀！ϕ: S3→S4/K4σ ↦ σK4其Kernel是什么呢？Kerϕ={σ∊S3∣σK4=K4}={σ∊S3∣σ∊K4}=S3∩K4由第一同构定理S3/(S3∩K4)≃S4/K4但是S3∩K4={e}因此S3≃S3/(S3∩K4)从而S3≃S4/K4Oh Yeah!终于证明成功！总结下我们遇到了什么情况. 群G有两个子群H和N其中N是G的正规子群.HN还是G的子群并且N⊲HNHN关于N的商群就会是这样HN/N={hN∣h∊H}于是我们就愉快的构造了一个群同态ϕ: H→HN/Nh ↦ hN这是一个满同态, 且Kerϕ={h∊H∣hN=N}={h∊H∣h∊N}=H∩N由第一同构定理H/(H∩N)≃HN/N这就是我们的定理 2 (第二同构定理)假设H是群G的子群, 而N是G的正规子群, 那么H/(H∩N)≃HN/N这个定理可以用一个图来描述
例 1G=GL2(ℂ),H=SL2(ℂ),N={ℂ∗I2}容易发现HN=G, H∩N={±I2}由第二同构定理HN/N≃H/(H∩N)即GL2(ℂ)/ℂ∗I2≃SL2(ℂ)/{±I2}左边这个商群是射影一般线性群(projective general linear group), 右边这个商群是射影特殊线性群(projective special linear group). 分别记为PGL2(ℂ),PSL2(ℂ)在2阶的时候, 虽然SL2(ℂ)比GL2(ℂ)小很多, 但当对它们取“射影”版本时, 它们就同构了. 2第三同构定理第三同构定理考虑的是这样一种情形K⊲G,N⊲GK⊆N⊆G例如24ℤ⊆6ℤ⊆ℤ这时有两个商群G/K,G/N对于K的每一个左陪集gK, 显然gK⊆gN我们断言gN是唯一包含gK的N的左陪集实际上, 假设aN是另一个包含gK的左陪集, 特别的g∊aN但这样一来, 由第7期命题3gN=aN这样我们可以建立一个简单的满同态π: G/K→G/NgK ↦ gN其Kernel是{gK∊G/K∣gN=N}={gK∊G/K∣g∊N}=N/K由第一同构定理, 我们得到(G/K)/(N/K)≃G/N这就是定理 3 (第三同构定理)假设N和K是G的正规子群且K⊆N⊆G则(G/K)/(N/K)≃G/N例 2假设d|n是两个正整数, 那么nℤ⊆dℤ⊆ℤ它们显然都是ℤ的正规子群. 由第三同构定理(ℤ/nℤ)/(dℤ/nℤ)≃ℤ/dℤ即ℤn/dℤn≃ℤd欢迎大家点在看、转发、留言We Math Together!
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