近世代数--环同态--环同态基本定理

环同态基本定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

环同态跟群同态类似。

有一些概念和简单性质。

同态映射homorphism：

设RRR和R′R'R′是两个环，φ\varphiφ是集合RRR到R′R'R′的映射，如果有∀a,b∈R\forall a,b\in R∀a,b∈R，有φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(ab)=φ(a)φ(b)\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ\varphiφ是环RRR到环R′R'R′的一个同态映射，简称同态。
单同态monomorphism：φ\varphiφ是单映射
满同态epimorphism：φ\varphiφ是满映射
同构isomorphism：φ\varphiφ是单同态，又是满同态
单位元映射：RRR和R′R'R′都是有单位元的环，eee和e′e'e′分别是单位元，φ\varphiφ是RRR到R′R'R′的环同态。那么
- 如果φ\varphiφ是满同态，则φ(e)=e′\varphi(e)=e'φ(e)=e′
  
  ∀a′∈R′,∃a,φ(a)=a′,φ(e)a′=φ(e)φ(a)=φ(ea)=φ(a)=a′,a′φ(e)=φ(a)φ(e)=φ(ae)=φ(a)=a′\forall a'\in R',\exists a,\varphi(a)=a',\\\varphi(e)a'=\varphi(e)\varphi(a)=\varphi(ea)=\varphi(a)=a',\\a'\varphi(e)=\varphi(a)\varphi(e)=\varphi(ae)=\varphi(a)=a'∀a′∈R′,∃a,φ(a)=a′,φ(e)a′=φ(e)φ(a)=φ(ea)=φ(a)=a′,a′φ(e)=φ(a)φ(e)=φ(ae)=φ(a)=a′
- 如果RRR是无零因子环，则φ(e)=e′\varphi(e)=e'φ(e)=e′
  
  RRR无零因子→\rightarrow→左右消去律成立
  令r′=φ(e),r′φ(e)=φ(e)φ(e)=φ(e)=r′=r′e′→φ(e)=e′r'=\varphi(e),\\r'\varphi(e)=\varphi(e)\varphi(e)=\varphi(e)=r'=r'e'\\\rightarrow \varphi(e)=e'r′=φ(e),r′φ(e)=φ(e)φ(e)=φ(e)=r′=r′e′→φ(e)=e′
- 如果φ(e)=e′\varphi(e)=e'φ(e)=e′，则对RRR中任一可逆元u,φ(u)u,\varphi(u)u,φ(u)是R′R'R′的单位，且φ(u)−1=φ(u−1)\varphi(u)^{-1}=\varphi(u^{-1})φ(u)−1=φ(u−1)
  
  φ(u−1)⋅φ(u)=φ(u−1u)=φ(e)=e′\varphi(u^{-1})·\varphi(u)=\varphi(u^{-1}u)=\varphi(e)=e'φ(u−1)⋅φ(u)=φ(u−1u)=φ(e)=e′
  φ(u)⋅φ(u−1)=φ(uu−1)=φ(e)=e′\varphi(u)·\varphi(u^{-1})=\varphi(uu^{-1})=\varphi(e)=e'φ(u)⋅φ(u−1)=φ(uu−1)=φ(e)=e′
同态核：设φ：R→R′\varphi：R\rightarrow R'φ：R→R′，集合K={a∈R∣φ(a)=0}K=\{a\in R|\varphi(a)=0\}K={a∈R∣φ(a)=0}为同态φ\varphiφ的核，记作KerφKer\varphiKerφ
同态核是理想φ◃R\varphi\triangleleft Rφ◃R：通过定义易证。

环同态基本定理

设φ：R→R′\varphi：R\rightarrow R'φ：R→R′，是满同态，则有环同构φˉ:R/Kerφ≅R′\bar{\varphi}:R/Ker\varphi\cong R'φˉ:R/Kerφ≅R′

证明：

映射：aˉ=bˉ→φˉ(aˉ)=φˉ(bˉ)\bar{a}=\bar{b}\rightarrow \bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{\varphi}(\bar{b})aˉ=bˉ→φˉ(aˉ)=φˉ(bˉ)

φˉ:R/K→R′,φˉ(aˉ)=φ(a)\bar{\varphi}:R/K\rightarrow R',\bar{\varphi}(\bar{a})=\varphi(a)φˉ:R/K→R′,φˉ(aˉ)=φ(a)
当aˉ=bˉ,→a−b∈K→φ(a−b)=0→φ(a)=φ(b)→φˉ(aˉ)=φ(a)=φ(b)=φˉ(bˉ)\bar{a}=\bar{b},\\\rightarrow a-b\in K\\\rightarrow \varphi(a-b)=0\\\rightarrow \varphi(a)=\varphi(b)\\\rightarrow \bar{\varphi}(\bar{a})=\varphi(a)=\varphi(b)=\bar{\varphi}(\bar{b})aˉ=bˉ,→a−b∈K→φ(a−b)=0→φ(a)=φ(b)→φˉ(aˉ)=φ(a)=φ(b)=φˉ(bˉ)
同态：

∀aˉ,bˉ∈R/K,φˉ(aˉ+bˉ)=φˉ(a+b‾)=φ(a+b)=φ(a)+φ(b)=φˉ(aˉ)+φˉ(bˉ)φˉ(aˉbˉ)=φˉ(ab‾)=φ(ab)=φ(a)φ(b)=φˉ(aˉ)φˉ(bˉ)\forall \bar{a},\bar{b}\in R/K,\\\bar{\varphi}(\bar{a}+\bar{b})=\bar{\varphi}(\overline{a+b})=\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)=\bar{\varphi}(\bar{a})+\bar{\varphi}(\bar{b})\\\bar{\varphi}(\bar{a}\bar{b})=\bar{\varphi}(\overline{ab})=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\bar{\varphi}(\bar{a})\bar{\varphi}(\bar{b})∀aˉ,bˉ∈R/K,φˉ(aˉ+bˉ)=φˉ(a+b)=φ(a+b)=φ(a)+φ(b)=φˉ(aˉ)+φˉ(bˉ)φˉ(aˉbˉ)=φˉ(ab)=φ(ab)=φ(a)φ(b)=φˉ(aˉ)φˉ(bˉ)
满同态：

∀a′∈R′,φ\forall a'\in R',\varphi∀a′∈R′,φ是满同态，∃a∈R,φ(a)=a′,∃aˉ∈R/K,\exists a\in R,\varphi(a)=a',\\\exists \bar{a}\in R/K,∃a∈R,φ(a)=a′,∃aˉ∈R/K,使得φˉ(aˉ)=φ(a)=a′,\bar{\varphi}(\bar{a})=\varphi(a)=a',φˉ(aˉ)=φ(a)=a′,
所以φˉ\bar{\varphi}φˉ是满同态
单同态：反证φˉ(aˉ)=φˉ(bˉ)→aˉ=bˉ\bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{\varphi}(\bar{b})\rightarrow \bar{a}=\bar{b}φˉ(aˉ)=φˉ(bˉ)→aˉ=bˉ

φˉ(aˉ)=φˉ(bˉ)→φ(a)=φ(b)→φ(a)−φ(b)=0→φ(a−b)=0→a−b∈Kerφ→aˉ=bˉ\bar{\varphi}(\bar{a})=\bar{\varphi}(\bar{b})\\\rightarrow \varphi(a)=\varphi(b)\\\rightarrow \varphi(a)-\varphi(b)=0\\\rightarrow \varphi(a-b)=0\\\rightarrow a-b\in Ker\varphi\\\rightarrow \bar{a}=\bar{b}φˉ(aˉ)=φˉ(bˉ)→φ(a)=φ(b)→φ(a)−φ(b)=0→φ(a−b)=0→a−b∈Kerφ→aˉ=bˉ

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