群同态基本定理证明_群论(7): 群代数, 群表示基础
内容提要:
1 群代数; 2 域上的有限维群代数和Maschke定理; 3 函数环; 4 代数闭域上的群表示论; 本文主要参考文献.
本文的前置内容为:
格罗卜:群论(1): 群, 同构定理, 循环群
格罗卜:群论(2): 群作用, Sylow定理
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1-1. [群代数] 如果
- (1)
首先是自由-模, 它有基
- (2)
的乘法由群乘法给出, 并线性扩张到整个上.
注:
1-2. [整群环上的模] 如果
整群环. 整群环
- ;
- ;
- .
反之, 假如我们有群
- ;
- .
那么交换群
1-3. [群代数的泛性质]
1-4. [乘积的群代数]
[证明] 抽象废话.
2 域上的有限维群代数和Maschke定理
2-1. [非特征
有限群,
[证明] 首先定义一个特殊元素
, 它显然不是, 并且对于任意的都有, 由此可见是一个双侧理想.
然而, 也就是说,.
2-2. [向量空间态射变模态射]
有限群,
2-3. [Maschke定理]
有限群,
[证明] 对于任意的
和的子模,作为
-向量空间有直和分解:,考虑投射
, 并令, 于是有,, 因此.
2-4. [例子]
2-5. [例子]
3 函数环
3-1. [点态函数环]
有限群,
点态函数环.
我们记
- 作为有限维-向量空间有对偶基:即
我们来给出
- 的乘法: 点态乘法.
- 的幺元为即在任意处取值的函数.
- 的零元为, 即任意处取值的函数.
- 为两两正交的幂等元, 所以.
3-2. [卷积函数环]
有限群,
卷积函数环.
我们记
- 作为有限维-向量空间有对偶基:即
我们来给出
- 的乘法: 任意定义乘法:.
- 的幺元为.
- 的零元为, 即任意处取值的函数.
- , 所以作为-代数有.
4 代数闭域上的群表示论
4-0. 基本假定: 在此小节中, 始终假定
有限群,
代数闭域,
4-1. [分解为矩阵环的积] 由于
有限群,
代数闭域,
4-2. [数量关系] 条件同4-1, 我们有
[证明] 直接比较维数即可.
4-3.
- 我们总是可以认为
, 即分解中的子代数.
4-4. [共轭类] 用
4-5. [群代数的中心] 根据定义, 我们有:
进一步地, 有:
[证明] 首先, 显然的
是-线性无关的.然后, 对于任意
, 任意, 由可以得到对任意
,.
4-6. [数量关系] 我们有
4-7. [交换群情形]
4-8. [Schur引理]
有限群,
代数闭域,
[证明]
是有限维可除-代数, 因此.
4-9. [一般线性群] 给定
4-10. [有限群的表示]
4-11. [一一对应] 给定
本文主要参考文献: Joseph J.Rotman : 高等近世代数, Advanced Modern Algebra, 出版社:机械工业出版社, ISBN:9787111191605
高等近世代数 (豆瓣)book.douban.com
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