离散信号（四）| 周期信号 |离散傅里叶级数（DFS）推导 + 主要性质（周期卷积定理、帕斯瓦尔定理）

离散傅里叶变换（DFT）要解决两个问题：一是信号离散化后它的频谱情况；二是快速运算算法。第一个问题将涉及周期离散信号的傅里叶级数（DFS），以及由DFS得到非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）和有限长序列的离散频谱表示；第二个问题将涉及DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）。

周期信号的频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展成傅里叶级数形式，并由此得出一新的变换对——离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series），简记为DFS。

（一）离散傅里叶级数（DFS）的引入

可以从连续周期信号傅里叶级数的复指数形式导出周期序列的DFS。连续周期信号傅里叶级数的复指数形式为
x(t)=∑k=−∞∞X(kw0)ejkw0t(1)x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)e^{jkw_0t} \tag{1} x(t)=k=−∞∑∞X(kw0)ejkw0t(1)

X(kw0)=1T0∫0T0x(t)e−jkw0tdtk=0,1,2,⋯(2)X(kw_0)=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}x(t)e^{-jkw_0t}dt \quad k=0,1,2,\cdots \tag{2} X(kw0)=T01∫0T0x(t)e−jkw0tdtk=0,1,2,⋯(2)

对连续周期信号x(t)x(t)x(t)的一个周期T0T_0T0进行N点采样，即T0=NT,w0=2πT0=2πNTT_0=NT,w_0=\frac{2\pi}{T_0}=\frac{2\pi}{NT}T0=NT,w0=T02π=NT2π，T为采样周期，这样采样得到的离散序列x(n)x(n)x(n)是以N为周期的周期序列，即
x(n)=x(n+mN)(m为任意整数)x(n)=x(n+mN) \quad (m为任意整数) x(n)=x(n+mN)(m为任意整数)
设Ω0=w0T=2πN\Omega_0=w_0T=\frac{2\pi}{N}Ω0=w0T=N2π为离散域的基本频率，单位为弧度，kΩ0k\Omega_0kΩ0是k次谐波的数字频率。这样，在式（2）中，t=nT,dt=Tt=nT,dt=Tt=nT,dt=T，在一个周期内的积分变为在一个周期内的累加，即
X(kΩ0T)=1NT∑n=0N−1x(nT)e−jkΩ0TnTT=1N∑n=0N−1x(nT)e−jkΩ0nX(k\frac{\Omega_0}{T})=\frac{1}{NT}\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\frac{\Omega_0}{T}nT}T=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\Omega_0n} X(kTΩ0)=NT1n=0∑N−1x(nT)e−jkTΩ0nTT=N1n=0∑N−1x(nT)e−jkΩ0n
在序列表示中，可仅用nnn表示nT，对应地，用kΩ0k\Omega_0kΩ0表示kΩ0Tk\frac{\Omega_0}{T}kTΩ0，则上式为
X(kΩ0)=1N∑n=0N−1x(n)e−jkΩ0n=1N∑n=−N2N2x(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(3)X(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}x(n)e^{-jk\Omega_0n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{3} X(kΩ0)=N1n=0∑N−1x(n)e−jkΩ0n=N1n=−2N∑2Nx(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(3)
X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)是变量k的周期函数，周期为N，因为对任意整数q有
x((k+qN)Ω0)=X(kΩ0)x((k+qN)\Omega_0)=X(k\Omega_0) x((k+qN)Ω0)=X(kΩ0)
当周期信号从连续域变换到离散域以后，它的频率www从−∞∼+∞-\infty\sim +\infty−∞∼+∞的无限范围映射到数字频率Ω\OmegaΩ从0∼2π0\sim 2\pi0∼2π的有限范围。因此，连续周期信号的傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量，而离散周期信号只含有有限个谐波分量，其谐波数为k=2πΩ0=Nk=\frac{2\pi}{\Omega_0}=Nk=Ω02π=N。所以对应于式（1）离散化处理后为
x(n)=∑k=0N−1X(kΩ0)ejkΩ0TnT=∑k=0N−1X(kΩ0)ejkΩ0n(4)x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\frac{\Omega_0}{T}nT}=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} \tag{4} x(n)=k=0∑N−1X(kΩ0)ejkTΩ0nT=k=0∑N−1X(kΩ0)ejkΩ0n(4)
从式（3）和式（4）可以看出，x(n)x(n)x(n)以N为周期，x(n)x(n)x(n)的频谱就以Ω0=2πN\Omega_0=\frac{2\pi}{N}Ω0=N2π的基本频率为间距离散化了。由此可以得到一个结论：周期序列的频谱是离散的。在前面的内容，我们看到了信号时域离散化、频域周期化这种现象；在这里，有完全对称的另一种情况，那就是时域周期化，频域离散化。

式（3）和式（4）描述了x(n)x(n)x(n)和X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)相互计算的一对关系式。其中式（4）可以看作周期系列x(n)x(n)x(n)的傅里叶级数展开式，而X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)则可以看作是x(n)x(n)x(n)的傅里叶级数展开式的系数。人们称满足这对关系式的周期序列x(n)x(n)x(n)和X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)为离散傅里叶级数变换对，简记为
x(n)↔DFSX(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0) x(n)↔DFSX(kΩ0)
或者表示为DFS[x(n)]=X(kΩ0)DFS[x(n)]=X(k\Omega_0)DFS[x(n)]=X(kΩ0)和IDFS[X(kΩ0)]=x(n)IDFS[X(k\Omega_0)]=x(n)IDFS[X(kΩ0)]=x(n)。即正变换为式（3），反变换为（4）。

（二）DFS的主要性质

线性性质

若x(n)↔DFSX(kΩ0),y(n)↔DFSY(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),y(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}Y(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0),y(n)↔DFSY(kΩ0)，则
ax(n)+by(n)↔DFSaX(kΩ0)+bY(kΩ0)ax(n)+by(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}aX(k\Omega_0)+bY(k\Omega_0) ax(n)+by(n)↔DFSaX(kΩ0)+bY(kΩ0)

周期卷积定理

若x(n)↔DFSX(kΩ0),h(n)↔DFSH(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}H(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0),h(n)↔DFSH(kΩ0)，则
x(n)⨀h(n)↔DFSX(kΩ0)H(kΩ0)x(n)h(n)↔DFS1NX(kΩ0)⨀H(kΩ0)x(n)\bigodot h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)H(k\Omega_0)\\ x(n)h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow} \frac{1}{N}X(k\Omega_0)\bigodot H(k\Omega_0) x(n)⨀h(n)↔DFSX(kΩ0)H(kΩ0)x(n)h(n)↔DFSN1X(kΩ0)⨀H(kΩ0)
⨀\bigodot⨀为周期卷积的符号，两周期序列x(n)x(n)x(n)和h(n)h(n)h(n)的周期卷积定义为
x(n)⨀h(n)=h(n)⨀x(n)=∑k=0N−1x(k)h(n−k)x(n)\bigodot h(n)=h(n)\bigodot x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)h(n-k) x(n)⨀h(n)=h(n)⨀x(n)=k=0∑N−1x(k)h(n−k)
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于周期卷积时仅仅在单个周期内求和，而线性卷积则是对所有的k值求和。

复共轭

若x(n)↔DFSX(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0)，则
x∗(−n)↔DFSX∗(kΩ0)x^*(-n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X^*(k\Omega_0) x∗(−n)↔DFSX∗(kΩ0)
*表示复共轭

位移性质

若x(n)↔DFSX(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0)，则
x(n−m)↔DFSe−jkΩ0mX(kΩ0)x(n-m) \overset{DFS}{\leftrightarrow}e^{-jk\Omega_0m}X(k\Omega_0) x(n−m)↔DFSe−jkΩ0mX(kΩ0)

帕斯瓦尔定理

设x(n)↔DFSX(kΩ0),h(n)↔DFSH(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}H(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0),h(n)↔DFSH(kΩ0)，则
∑n=0N−1x(n)h∗(n)=1N∑k=0N−1X(kΩ0)H∗(kΩ0)\sum_{n=0}^{N-1}x(n)h^*(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)H^*(k\Omega_0) n=0∑N−1x(n)h∗(n)=N1k=0∑N−1X(kΩ0)H∗(kΩ0)
特别地，当x(n)=h(n)x(n)=h(n)x(n)=h(n)时，有
∑n=0N−1∣x(n)∣2=1N∑k=0N−1∣X(kΩ0)∣2\sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X(k\Omega_0)|^2 n=0∑N−1∣x(n)∣2=N1k=0∑N−1∣X(kΩ0)∣2

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