一阶线性偏微分方程通解法和特征线法（一）| 两个自变量情况

先求通解再确定特解，是求常微分方程定解问题采用的方法，都某些偏微分方程，也能通过积分求出通解，进而确定出满足定解条件的特解。

两个自变量的一阶线性偏微分方程

今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。
a(x,y)∂u∂x+b(x,y)∂u∂y+c(x,y)u=f(x,y)(1)a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y) \tag{1} a(x,y)∂x∂u+b(x,y)∂y∂u+c(x,y)u=f(x,y)(1)
其中，系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)a(x,y),b(x,y),c(x,y)a(x,y),b(x,y),c(x,y)是平面区域D⊂R2D\subset \bold R^2D⊂R2上的连续函数，且a(x,y),b(x,y)a(x,y),b(x,y)a(x,y),b(x,y)不同时为零，f(x,y)f(x,y)f(x,y)在D上连续，称为方程的非齐次项。若f(x,y)≡0f(x,y)\equiv 0f(x,y)≡0，方程为齐次的。

思路：将两个自变量的方程化为求一个自变量的方程

情况1：如果在D上，a(x,y)≡0,b(x,y)≠0a(x,y)\equiv 0,b(x,y)\neq 0a(x,y)≡0,b(x,y)=0，方程（1）改写为
∂u∂x+c(x,y)b(x,y)u=f(x,y)b(x,y)(2)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{c(x,y)}{b(x,y)}u=\frac{f(x,y)}{b(x,y)} \tag{2} ∂x∂u+b(x,y)c(x,y)u=b(x,y)f(x,y)(2)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解。
u(x,y)=exp(−∫c(x,y)b(x,y)dy)⋅[∫exp(∫c(x,y)b(x,y))f(x,y)b(x,y)dy+g(x)]u(x,y)=exp(-\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)}dy)·[\int exp(\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)})\frac{f(x,y)}{b(x,y)}dy+g(x)] u(x,y)=exp(−∫b(x,y)c(x,y)dy)⋅[∫exp(∫b(x,y)c(x,y))b(x,y)f(x,y)dy+g(x)]
其中，g(x)g(x)g(x)为任意C函数。

情况2：如果在D上，a(x,y)b(x,y)≠0a(x,y)b(x,y)\neq 0a(x,y)b(x,y)=0，方程（1）不能直接积分求解，试作待定的自变量代换
{ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)(a)\begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} \tag{a} {ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)(a)
要求其雅可比（Jacobi）行列式
J(φ,ψ)=∂(φ,ψ)∂(x,y)=∣∂φ∂x∂φ∂y∂ψ∂x∂ψ∂y∣≠0J(\varphi,\psi)=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0 J(φ,ψ)=∂(x,y)∂(φ,ψ)=∣∣∣∣∣∂x∂φ∂x∂ψ∂y∂φ∂y∂ψ∣∣∣∣∣=0
以保证新变量ξ,η\xi,\etaξ,η的相互独立性，利用链式法则
∂u∂x=∂u∂ξ∂ξ∂x+∂u∂η∂η∂x=∂φ∂x∂u∂ξ+∂ψ∂x∂u∂η∂u∂y=∂u∂ξ∂ξ∂y+∂u∂η∂η∂y=∂φ∂y∂u∂ξ+∂ψ∂y∂u∂η\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \eta} ∂x∂u=∂ξ∂u∂x∂ξ+∂η∂u∂x∂η=∂x∂φ∂ξ∂u+∂x∂ψ∂η∂u∂y∂u=∂ξ∂u∂y∂ξ+∂η∂u∂y∂η=∂y∂φ∂ξ∂u+∂y∂ψ∂η∂u
u=u(x,y)u=u(x,y)u=u(x,y)的方程（1）变为u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)u=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))=u(\xi,\eta)u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)的新方程
(a∂φ∂x+b∂φ∂y)∂u∂ξ+(a∂ψ∂x+b∂ψ∂y)∂u∂η+cu=f(3)(a\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{3} (a∂x∂φ+b∂y∂φ)∂ξ∂u+(a∂x∂ψ+b∂y∂ψ)∂η∂u+cu=f(3)
若取ξ=φ(x,y)\xi=\varphi(x,y)ξ=φ(x,y)是齐次一阶线性偏微分方程
a(x,y)∂φ∂x+b(x,y)∂φ∂y=0(4)a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \tag{4} a(x,y)∂x∂φ+b(x,y)∂y∂φ=0(4)
的解，则新方程（3）称为（2）型的方程
(a∂ψ∂x+b∂ψ∂y)∂u∂η+cu=f(b)(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{b} (a∂x∂ψ+b∂y∂ψ)∂η∂u+cu=f(b)
对η\etaη积分便可求出通解。

以下求解一阶线性偏微分方程（4），它的解对应与相应的常微分方程
a(x,y)dy−b(x,y)dx=0(5)a(x,y)dy-b(x,y)dx=0 \tag{5} a(x,y)dy−b(x,y)dx=0(5)
亦即
dxa(x,y)=dyb(x,y)(6)\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} \tag{6} a(x,y)dx=b(x,y)dy(6)
的解之间存在确定的关系。

定理：若φ(x,y)=h\varphi(x,y)=hφ(x,y)=h（常数）是一阶常微分方程（5）在区域D内的隐式通解（积分曲线族），则ξ=φ(x,t)\xi=\varphi(x,t)ξ=φ(x,t)是一阶线性偏微分方程（4）在区域D上的一个解。

证明：设φ(x,y)=h\varphi(x,y)=hφ(x,y)=h是方程（5）在D内的隐式通解，则过D内一点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)有一条积分曲线Γ0:φ(x,y)=φ(x0,y0)=h0\Gamma_0:\varphi(x,y)=\varphi(x_0,y_0)=h_0Γ0:φ(x,y)=φ(x0,y0)=h0，此隐式解满足方程
dxa(x,y)=dyb(x,y)\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} a(x,y)dx=b(x,y)dy
又沿此积分曲线Γ0\Gamma_0Γ0，有
∂φ∂xdx+∂φ∂ydy=0\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0 ∂x∂φdx+∂y∂φdy=0
故在Γ0\Gamma_0Γ0上，有
a(x,y)∂φ∂x+b(x,y)∂φ∂y=0a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 a(x,y)∂x∂φ+b(x,y)∂y∂φ=0
由于(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)是D内任意一点，故ξ=φ(x,y)\xi=\varphi(x,y)ξ=φ(x,y)是一阶线性偏微分方程（4）在D上的解。

定题的逆命题也成立。

由常微分方程理论，一阶常微分方程（5）在区域D内存在且仅存在一族独立的积分曲线。如果求出了方程（5）的积分曲线族φ(x,y)=h\varphi(x,y)=hφ(x,y)=h，再任取函数ψ(x,y)\psi(x,y)ψ(x,y)，使在D上J(φ,ψ)≠0J(\varphi,\psi)\neq 0J(φ,ψ)=0，以此φ\varphiφ和ψ\psiψ作变量代换（a）式，一阶线性偏微分（1）便可化为可积分求通解的方程（b）。

特别地，当c(x,y)=f(x,y)≡0c(x,y)=f(x,y)\equiv 0c(x,y)=f(x,y)≡0时，方程（1）即为方程（4），相应的新方程（b）为∂u∂η=0\frac{\partial u}{\partial \eta}=0∂η∂u=0，其通解为u=g(ξ),g(ξ)u=g(\xi),g(\xi)u=g(ξ),g(ξ)为任意C函数。代回原自变量，得方程
a(x,y)∂u∂x+b(x,y)∂u∂y=0a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 a(x,y)∂x∂u+b(x,y)∂y∂u=0
的通解u=g(φ(x,y))u=g(\varphi(x,y))u=g(φ(x,y))。这里，φ(x,y)=h\varphi(x,y)=hφ(x,y)=h是常微分方程（5）的隐式通解，g(ξ)g(\xi)g(ξ)是任意C函数。

如果给定u在某一曲线Γ:γ(x,y)=d\Gamma:\gamma(x,y)=dΓ:γ(x,y)=d上的值，则需求解定解问题
{a(x,y)∂u∂x+b(x,y)∂u∂y=0u∣γ(x,y)=d=θ(y)\begin{cases} a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ u|_{\gamma(x,y)=d}=\theta(y) \end{cases} {a(x,y)∂x∂u+b(x,y)∂y∂u=0u∣γ(x,y)=d=θ(y)
用定解条件定出通解中的任意函数g(ξ)g(\xi)g(ξ)即可。

这种求解定解问题的方法称之为通解法。常微分方程（5）或等价的方程（6）称为一阶线性偏微分方程（1）的特征方程，其积分曲线称之为特征曲线。

例1：求解右行单波方程的初值问题
{∂u∂t+a∂u∂x=0,t>0,−∞<x<+∞u∣t=0=φ(x)\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{cases} {∂t∂u+a∂x∂u=0,t>0,−∞<x<+∞u∣t=0=φ(x)
其中，a>0a>0a>0为常数。

解：特征方程dx−adt=0dx-adt=0dx−adt=0，特征线族为x−at=hx-at=hx−at=h。

令ξ=x−at,η=x\xi=x-at, \eta=xξ=x−at,η=x，则方程化为
∂u∂η=0\frac{\partial u}{\partial \eta}=0 ∂η∂u=0
对η\etaη积分得通解u=g(ξ)=g(x−at)u=g(\xi)=g(x-at)u=g(ξ)=g(x−at)，其中，g(ξ)g(\xi)g(ξ)是任意C函数。由初始条件
u∣t=0=g(x)=φ(x)u|_{t=0}=g(x)=\varphi(x) u∣t=0=g(x)=φ(x)
得该初值问题的解u(t,x)=φ(x−at)u(t,x)=\varphi(x-at)u(t,x)=φ(x−at)

在(x,u)(x,u)(x,u)平面上看（图1.3.1），t=0t=0t=0时u=φ(x)u=\varphi(x)u=φ(x)，对每个固定时刻t>0，u=φ(x−at)]t>0，u=\varphi(x-at)]t>0，u=φ(x−at)]，其图形相当于曲线u=φ(x)u=\varphi(x)u=φ(x)向右移动了atatat，波形的传播速度为aaa。称这样的解为右行波解。

在(x,t,u)(x,t,u)(x,t,u)空间看（图1.3.2），波形沿特征线传播。在特征线x−at=hx-at=hx−at=h上，u=φ(x−at)=φ(h)u=\varphi(x-at)=\varphi(h)u=φ(x−at)=φ(h)，故当观察者沿某条特征线前行时，看到的波形始终不变。如果初始扰动φ(x)\varphi(x)φ(x)只发生在区间h1≤x≤h2h_1\leq x\leq h_2h1≤x≤h2内，则这个扰动沿着(x,t)(x,t)(x,t)平面上的特征条形域h1≤x−at≤h2h_1\leq x-at\leq h_2h1≤x−at≤h2传播。

本例中初始条件给在非特征线的直线t=0t=0t=0上，从通解可唯一确定特解。如果初始条件给在一条特征线x−at=h0x-at=h_0x−at=h0上，初始条件u∣x−at=h0=g(x−at)∣x−at=h0=g(h0)=φ(x)u|_{x-at=h_0}=g(x-at)|_{x-at=h_0}=g(h_0)=\varphi(x)u∣x−at=h0=g(x−at)∣x−at=h0=g(h0)=φ(x)，当φ(x)\varphi(x)φ(x)为非常值函数时无解，当φ(x)\varphi(x)φ(x)为常数φ0\varphi_0φ0时有无穷多个解g(ξ)g(\xi)g(ξ)，只要g(h0)=φ0g(h_0)=\varphi_0g(h0)=φ0。

对于左行单波方程∂u∂t−a∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=0∂t∂u−a∂x∂u=0，同样可求得其通解为左行波u=g(x+at)u=g(x+at)u=g(x+at)，ggg为任意C1C^1C1函数（一阶连续导数）。

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