愤怒的导数：一点可导和邻域内可导能推出来什么？

一、连续和可导的基本概念

01 连续的定义

设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 的某一邻域内有定义，如果满足以下条件：
lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0或lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0或\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right) Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0或x→x0limf(x)=f(x0)
那么就称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 连续；否则称 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_{0}x0 间断。

即函数在某点连续的充要条件是该点左极限右极限存在且相等并且等于该点函数值。

02 可导的定义

设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 的某邻域内有定义，当自变量 xxx 在 x0x_{0}x0 处有增量 Δx\Delta xΔx ( x0+Δxx_{0}+\Delta xx0+Δx 点仍在该邻域内 )，

函数相应地有增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)，则有：
f′(x0)=deflim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f^{\prime}\left(x_{0}\right)\stackrel{d e f}{=}\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} f′(x0)=defΔx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
如果极限存在，则称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 处可导，此极限值称为函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 处的导数 ( 微商 ) 。

补充：二阶可导的定义

设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 的某邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有一阶导数 ( f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在点 x0x_{0}x0 的某邻域内有定义 ) 。如果极限

lim⁡Δx→0f′(x0+Δx)−f′(x0)Δx=lim⁡x→x0f′(x)−f′(x0)x−x0\displaystyle{\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}\left(x_{0}+\Delta x\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}Δx→0limΔxf′(x0+Δx)−f′(x0)=x→x0limx−x0f′(x)−f′(x0) 存在，则称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 处二阶可导，

即 f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 处一阶可导。此极限值称为函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 处的二阶导数，记为 f′′(x0)f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)f′′(x0) 。

二、连续作为条件

01 某点连续

f(x)在 x0连续 ⇒{1. f(x)在 x0邻域内有定义 ✅2. lim⁡x→x0f(x)=f(x0)✅3. f(x)在 x0邻域内连续 ❌4. f(x)在 x0可导 ❌f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内有定义 } ✅\\ \text { 2. } \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)✅ \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内连续 }❌\\ \text { 4. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 }❌ \end{array}\right. f(x) 在 x0 连续 ⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1. f(x) 在 x0 邻域内有定义 ✅ 2. x→x0limf(x)=f(x0)✅ 3. f(x) 在 x0 邻域内连续 ❌ 4. f(x) 在 x0 可导 ❌

02 某邻域内连续

f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内连续 ⇒{1.f(x)在 Uδ(x0)邻域内有定义 ✅2.f(x)在 Uδ(x0)邻域内处处连续 ✅3.f(x)在 x0可导 ❌f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 1 . f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 邻域内有定义 } ✅\\ 2 . f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 邻域内处处连续 } ✅\\ 3 . f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 }❌ \end{array}\right. f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内连续 ⇒⎩⎨⎧1.f(x) 在 Uδ(x0) 邻域内有定义 ✅2.f(x) 在 Uδ(x0) 邻域内处处连续 ✅3.f(x) 在 x0 可导 ❌

03 某去心邻域内连续

f(x)在 x0去心邻域 U∘δ(x0)内连续 ⇒{1. f(x)在去心邻域 U∘δ(x0)内有定义 ✅2. f(x)在去心邻域 U∘δ(x0)内处处连续 ✅3. f(x)在 x0极限存在 ❌4. f(x)在 x0可导 ❌f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 }\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f(x) \text { 在去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 } ✅\\ \text { 2. } f(x) \text { 在去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内处处连续 } ✅\\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 极限存在 } ❌\\ \text { 4. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 }❌ \end{array}\right. f(x) 在 x0 去心邻域 U∘δ(x0) 内连续 ⇒⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 1. f(x) 在去心邻域 U∘δ(x0) 内有定义 ✅ 2. f(x) 在去心邻域 U∘δ(x0) 内处处连续 ✅ 3. f(x) 在 x0 极限存在 ❌ 4. f(x) 在 x0 可导 ❌

三、可导作为条件

01 某点可导

f(x)在 x0可导 ⇒{1. f′(x)在 x0有定义 ✅2. f−′(x)=f+′(x)✅3. f(x)在 x0连续 ✅4. f(x)在 x0邻域内连续 ❌5. f(x)在 x0邻域内可导 ❌f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f^{\prime}(x) \text { 在 } x_{0} \text { 有定义 }✅ \\ \text { 2. } f_{-}^{\prime}(x)=f_{+}^{\prime}(x)✅ \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 }✅ \\ \text { 4. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内连续 }❌ \\ \text { 5. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内可导 }❌ \end{array}\right. f(x) 在 x0 可导 ⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ 1. f′(x) 在 x0 有定义 ✅ 2. f−′(x)=f+′(x)✅ 3. f(x) 在 x0 连续 ✅ 4. f(x) 在 x0 邻域内连续 ❌ 5. f(x) 在 x0 邻域内可导 ❌

02 某邻域内可导

f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内可导 ⇒{1.f(x)在 Uδ(x0)内连续 ✅2. f(x)在 Uδ(x0)内极限存在 ✅3. f(x)在 Uδ(x0)内有定义 ✅4. f′(x)在 Uδ(x0)内连续 ❌5. f′(x)在 Uδ(x0)内极限存在 ❌6. f′(x)在 Uδ(x0)内有定义 ✅f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内可导 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 1 . f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } ✅\\ \text { 2. } f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 } ✅\\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 } ✅\\ \text { 4. } f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 }❌ \\ \text { 5. } f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 }❌ \\ \text { 6. } f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 }✅ \end{array}\right. f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内可导 ⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.f(x) 在 Uδ(x0) 内连续 ✅ 2. f(x) 在 Uδ(x0) 内极限存在 ✅ 3. f(x) 在 Uδ(x0) 内有定义 ✅ 4. f′(x) 在 Uδ(x0) 内连续 ❌ 5. f′(x) 在 Uδ(x0) 内极限存在 ❌ 6. f′(x) 在 Uδ(x0) 内有定义 ✅

03 某去心邻域内可导

f(x)在 x0去心邻域 U∘δ(x0)内可导 ⇒{1. f′(x)在 U∘δ(x0)内有定义 ✅2. f(x)在 U∘δ(x0)内连续 ✅3. f(x)在 U∘δ(x0)内极限存在 ✅4. f′(x)在 U∘δ(x0)内有定义 ✅5. f(x)在 x0有定义 ❌6. f(x)在 x0连续 ❌7. f(x)在 x0极限存在 ❌8. f(x)在 x0有定义 ❌f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内可导 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f^{\prime}(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 }✅ \\ \text { 2. } f(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } ✅\\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 }✅ \\ \text { 4. } f^{\prime}(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)\text { 内有定义 }✅ \\ \text { 5. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 有定义 }❌ \\ \text { 6. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 }❌ \\ \text { 7. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 极限存在 }❌ \\ \text { 8. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 有定义 }❌ \end{array}\right. f(x) 在 x0 去心邻域 U∘δ(x0) 内可导 ⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 1. f′(x) 在 U∘δ(x0) 内有定义 ✅ 2. f(x) 在 U∘δ(x0) 内连续 ✅ 3. f(x) 在 U∘δ(x0) 内极限存在 ✅ 4. f′(x) 在 U∘δ(x0) 内有定义 ✅ 5. f(x) 在 x0 有定义 ❌ 6. f(x) 在 x0 连续 ❌ 7. f(x) 在 x0 极限存在 ❌ 8. f(x) 在 x0 有定义 ❌

四、命题不成立的反例

f(x)在 x0连续 ⇏f(x)在 x0邻域内连续 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 } \nRightarrow f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内连续 }f(x) 在 x0 连续 ⇏f(x) 在 x0 邻域内连续
f(x)={x,当 x为有理数; 0,当 x为无理数. =x⋅D(x),其中D(x)为狄利克雷函数:D(x)={1,x为有理数; 0,x为无理数. lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0[xD(x)]=0=f(0),从而f(x)在x=0处连续.但如果在x0≠0处,选择不同的路径:(1)x→x0时选择有理数路径,则lim⁡x→x0f(x)=x0,(2)x→x0时选择无理数路径,则lim⁡x→x0f(x)=0.所以lim⁡x→x0f(x)不存在,从而f(x)在x0≠0处不连续.\begin{aligned} & f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { 当 } x \text { 为有理数; } \\ 0, \text { 当 } x \text { 为无理数. } \end{array}=x \cdot D(x),\right.\\ & 其中 D(x) 为狄利克雷函数: D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \text { 为有理数; } \\ 0, x \text { 为无理数. }\end{array}\right. \\ & \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}[x D(x)]=0=f(0), 从而 f(x) 在 x=0 处连续. \\ & 但如果在 x_{0} \neq 0 处, 选择不同的路径:\\ & (1) x \rightarrow x_{0} 时选择有理数路径, 则 \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=x_{0},\\ & (2) x \rightarrow x_{0} 时选择无理数路径, 则 \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0. \\ & 所以 \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) 不存在, 从而 f(x) 在 x_{0} \neq 0 处不连续. \end{aligned} f(x)={x, 当 x 为有理数; 0, 当 x 为无理数. =x⋅D(x),其中D(x)为狄利克雷函数:D(x)={1,x 为有理数; 0,x 为无理数. x→0limf(x)=x→0lim[xD(x)]=0=f(0),从而f(x)在x=0处连续.但如果在x0=0处,选择不同的路径:(1)x→x0时选择有理数路径,则x→x0limf(x)=x0,(2)x→x0时选择无理数路径,则x→x0limf(x)=0.所以x→x0limf(x)不存在,从而f(x)在x0=0处不连续.
f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内连续 ⇏f(x)在 x0可导 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 }\nRightarrow f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 }f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内连续 ⇏f(x) 在 x0 可导

处处连续但处处不可导：维尔斯特拉斯函数
可导是光滑的充分不必要条件

处处光滑不一定处处可导
f(x)在 x0可导 ⇏f(x)在 x0邻域内连续 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 } \nRightarrow f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内连续 }f(x) 在 x0 可导 ⇏f(x) 在 x0 邻域内连续

一点可导推不出邻域内连续。
f(x)={x2,x为有理数 0,x为无理数=x2⋅D(x)，其中D(x)为狄利克雷函数:D(x)={1,x为有理数 0,x为无理数 f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0x2D(x)x=lim⁡x→0[xD(x)]=0.lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0[x2D(x)]=0=f(0)，从而f(x)在x=0连续。但在其他点，均为间断点，不连续。\begin{aligned} & f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为有理数 } \\ 0, x \text { 为无理数}\end{array}=x^{2} \cdot D(x)\right.，\\ & 其中 D(x) 为狄利克雷函数: D(x)=\left\{\begin{array}{l}1 \ ,\ x \text { 为有理数 } \\ 0 \ ,\ x \text { 为无理数 }\end{array}\right.\\ & f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} D(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}[x D(x)]=0 .\\ & \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left[x^{2} D(x)\right]=0=f(0)，从而 f(x) 在 x=0 连续。\\ & 但在其他点，均为间断点，不连续。 \end{aligned} f(x)={x2,x 为有理数 0,x 为无理数=x2⋅D(x)，其中D(x)为狄利克雷函数:D(x)={1 , x 为有理数 0 , x 为无理数 f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limxx2D(x)=x→0lim[xD(x)]=0.x→0limf(x)=x→0lim[x2D(x)]=0=f(0)，从而f(x)在x=0连续。但在其他点，均为间断点，不连续。
f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内可导 ⇏f′(x)在 Uδ(x0)内连续 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内可导 } \nRightarrow f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 }f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内可导 ⇏f′(x) 在 Uδ(x0) 内连续

f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内可导 ⇏f′(x)在 Uδ(x0)内极限存在 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内可导 } \nRightarrow f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 }f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内可导 ⇏f′(x) 在 Uδ(x0) 内极限存在

邻域内处处可导，但导函数不连续，极限不存在。
f(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0，f(x)在R上处处可导，但f′(x)不连续，有振荡间断点。f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0x2sin⁡1xx=lim⁡x→0xsin⁡1x=0x≠0时，f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1x，所以f′(x)={2xsin⁡1x−cos⁡1x,x≠00,x=0但lim⁡x→0f′(x)=lim⁡x→0(2xsin⁡1x−cos⁡1x)不存在，从而f′(x)在x=0处不连续。\begin{aligned} & f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0 \quad, x=0\end{array}\right.\ \ ， f(x)\ 在 R 上处处可导，但\ f^{\prime}(x)\ 不连续，有振荡间断点。 \\ & f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0\\ & x \neq 0\ 时，f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\ ，所以\ f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0 \quad, x=0\end{array}\right. \\ & 但 \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right) 不存在，从而 f^{\prime}(x) 在 x=0 处不连续。 \end{aligned} f(x)={x2sinx1,x=00,x=0 ，f(x) 在R上处处可导，但 f′(x) 不连续，有振荡间断点。f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limxx2sinx1=x→0limxsinx1=0x=0 时，f′(x)=2xsinx1−cosx1 ，所以 f′(x)={2xsinx1−cosx1,x=00,x=0但x→0limf′(x)=x→0lim(2xsinx1−cosx1)不存在，从而f′(x)在x=0处不连续。

五、概念判断练习

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 二阶可导，判断以下命题是否正确。

f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。✅
lim⁡x→x0f′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime \prime}(x)x→x0limf′′(x) 存在。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。✅
lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)x→x0limf′(x) 存在。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 连续。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。✅
lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0limf(x) 存在。✅
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。❌
lim⁡x→tf′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime \prime}(x)x→tlimf′′(x) 存在, t∈Uδ(x0)t \in U_{\delta}\left(x_{0}\right)t∈Uδ(x0)。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime}(x)x→tlimf′(x) 存在, t∈Us(x0)t \in U_{s}\left(x_{0}\right)t∈Us(x0)。❌
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Us(x0)U_{s}\left(x_{0}\right)Us(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf(x)\lim \limits_{x \rightarrow t}f(x)x→tlimf(x) 存在，t∈Uδ(x)t \in U_{\delta}(x)t∈Uδ(x) 。✅

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的邻域 Uδ(x0)U_{\delta}(x_0)Uδ(x0) 内二阶可导，判断以下命题是否正确。

f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。✅
lim⁡x→x0f′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime \prime}(x)x→x0limf′′(x) 存在。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。✅
lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)x→x0limf′(x) 存在。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 连续。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。✅
lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0limf(x) 存在。✅
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime \prime}(x)x→tlimf′′(x) 存在, t∈Uδ(x0)t \in U_{\delta}\left(x_{0}\right)t∈Uδ(x0)。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf′(x)\lim _{x \rightarrow t} f^{\prime}(x)limx→tf′(x) 存在, t∈Us(x0)t \in U_{s}\left(x_{0}\right)t∈Us(x0)。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Us(x0)U_{s}\left(x_{0}\right)Us(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf(x)\lim \limits_{x \rightarrow t}f(x)x→tlimf(x) 存在，t∈Uδ(x)t \in U_{\delta}(x)t∈Uδ(x) 。✅

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域 Uδ(x0)U_{\delta}(x_0)Uδ(x0) 内二阶可导，判断以下命题是否正确。

f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。❌
lim⁡x→x0f′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime \prime}(x)x→x0limf′′(x) 存在。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。❌
lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)x→x0limf′(x) 存在。❌
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 可导。❌
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 连续。❌
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。❌
lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0limf(x) 存在。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。❌
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime \prime}(x)x→tlimf′′(x) 存在, t∈Uδ(x0)t \in U_{\delta}\left(x_{0}\right)t∈Uδ(x0)。❌
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime}(x)x→tlimf′(x) 存在, t∈Us(x0)t \in U_{s}\left(x_{0}\right)t∈Us(x0)。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Us(x0)U_{s}\left(x_{0}\right)Us(x0) 内有定义。✅
lim⁡x→tf(x)\lim \limits_{x \rightarrow t}f(x)x→tlimf(x) 存在，t∈Uδ(x)t \in U_{\delta}(x)t∈Uδ(x) 。✅

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_{0}x=x0 处存在一阶连续导数，判断以下命题是否正确。

f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 处可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内可导。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 处连续。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内连续。

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_{0}x=x0 处存在二阶导数，判断以下命题是否正确。

f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 处可导。✅
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内可导。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 处连续。✅
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内连续。❌
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内存在二阶导数。❌

六、无答案练习纯享版

f(x)f(x)f(x) 在某点连续，判断以下命题是否正确。
f(x)在 x0连续 ⇒{1. f(x)在 x0邻域内有定义 2. lim⁡x→x0f(x)=f(x0)3. f(x)在 x0邻域内连续 4. f(x)在 x0可导 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内有定义 } \\ \text { 2. } \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right) \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内连续 }\\ \text { 4. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 } \end{array}\right. f(x) 在 x0 连续 ⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1. f(x) 在 x0 邻域内有定义 2. x→x0limf(x)=f(x0) 3. f(x) 在 x0 邻域内连续 4. f(x) 在 x0 可导

f(x)f(x)f(x) 在某邻域内连续，判断以下命题是否正确。
f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内连续 ⇒{1.f(x)在 Uδ(x0)邻域内有定义 2.f(x)在 Uδ(x0)邻域内处处连续 3.f(x)在 x0可导 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 1 . f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 邻域内有定义 } \\ 2 . f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 邻域内处处连续 } \\ 3 . f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 } \end{array}\right. f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内连续 ⇒⎩⎨⎧1.f(x) 在 Uδ(x0) 邻域内有定义 2.f(x) 在 Uδ(x0) 邻域内处处连续 3.f(x) 在 x0 可导

f(x)f(x)f(x) 在某去心邻域内连续，判断以下命题是否正确。
f(x)在 x0去心邻域 U∘δ(x0)内连续 ⇒{1. f(x)在去心邻域 U∘δ(x0)内有定义 2. f(x)在去心邻域 U∘δ(x0)内处处连续 3. f(x)在 x0极限存在 4. f(x)在 x0可导 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 }\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f(x) \text { 在去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 } \\ \text { 2. } f(x) \text { 在去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内处处连续 } \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 极限存在 } \\ \text { 4. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 } \end{array}\right. f(x) 在 x0 去心邻域 U∘δ(x0) 内连续 ⇒⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ 1. f(x) 在去心邻域 U∘δ(x0) 内有定义 2. f(x) 在去心邻域 U∘δ(x0) 内处处连续 3. f(x) 在 x0 极限存在 4. f(x) 在 x0 可导

f(x)f(x)f(x) 在某点可导，判断以下命题是否正确。
f(x)在 x0可导 ⇒{1. f′(x)在 x0有定义 2. f−′(x)=f+′(x)3. f(x)在 x0连续 4. f(x)在 x0邻域内连续 5. f(x)在 x0邻域内可导 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 可导 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f^{\prime}(x) \text { 在 } x_{0} \text { 有定义 } \\ \text { 2. } f_{-}^{\prime}(x)=f_{+}^{\prime}(x) \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 } \\ \text { 4. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内连续 } \\ \text { 5. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 邻域内可导 } \end{array}\right. f(x) 在 x0 可导 ⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ 1. f′(x) 在 x0 有定义 2. f−′(x)=f+′(x) 3. f(x) 在 x0 连续 4. f(x) 在 x0 邻域内连续 5. f(x) 在 x0 邻域内可导

f(x)f(x)f(x) 在某邻域内可导，判断以下命题是否正确。
f(x)在 x0某邻域 Uδ(x0)内可导 ⇒{1.f(x)在 Uδ(x0)内连续 2. f(x)在 Uδ(x0)内极限存在 3. f(x)在 Uδ(x0)内有定义 4. f′(x)在 Uδ(x0)内连续 5. f′(x)在 Uδ(x0)内极限存在 6. f′(x)在 Uδ(x0)内有定义 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 某邻域 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内可导 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 1 . f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } \\ \text { 2. } f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 } \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 } \\ \text { 4. } f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } \\ \text { 5. } f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 } \\ \text { 6. } f^{\prime}(x) \text { 在 } U_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 } \end{array}\right. f(x) 在 x0 某邻域 Uδ(x0) 内可导 ⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.f(x) 在 Uδ(x0) 内连续 2. f(x) 在 Uδ(x0) 内极限存在 3. f(x) 在 Uδ(x0) 内有定义 4. f′(x) 在 Uδ(x0) 内连续 5. f′(x) 在 Uδ(x0) 内极限存在 6. f′(x) 在 Uδ(x0) 内有定义

f(x)f(x)f(x) 在某去心邻域内可导，判断以下命题是否正确。
f(x)在 x0去心邻域 U∘δ(x0)内可导 ⇒{1. f′(x)在 U∘δ(x0)内有定义 2. f(x)在 U∘δ(x0)内连续 3. f(x)在 U∘δ(x0)内极限存在 4. f′(x)在 U∘δ(x0)内有定义 5. f(x)在 x0有定义 6. f(x)在 x0连续 7. f(x)在 x0极限存在 8. f(x)在 x0有定义 f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 去心邻域 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内可导 } \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \text { 1. } f^{\prime}(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内有定义 } \\ \text { 2. } f(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内连续 } \\ \text { 3. } f(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right) \text { 内极限存在 } \\ \text { 4. } f^{\prime}(x) \text { 在 } \stackrel{\circ}{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)\text { 内有定义 } \\ \text { 5. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 有定义 } \\ \text { 6. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 连续 } \\ \text { 7. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 极限存在 } \\ \text { 8. } f(x) \text { 在 } x_{0} \text { 有定义 } \end{array}\right. f(x) 在 x0 去心邻域 U∘δ(x0) 内可导 ⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 1. f′(x) 在 U∘δ(x0) 内有定义 2. f(x) 在 U∘δ(x0) 内连续 3. f(x) 在 U∘δ(x0) 内极限存在 4. f′(x) 在 U∘δ(x0) 内有定义 5. f(x) 在 x0 有定义 6. f(x) 在 x0 连续 7. f(x) 在 x0 极限存在 8. f(x) 在 x0 有定义

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 二阶可导，判断以下命题是否正确。

f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime \prime}(x)x→x0limf′′(x) 存在。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)x→x0limf′(x) 存在。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0limf(x) 存在。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime \prime}(x)x→tlimf′′(x) 存在, t∈Uδ(x0)t \in U_{\delta}\left(x_{0}\right)t∈Uδ(x0)。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf′(x)\lim _{x \rightarrow t} f^{\prime}(x)limx→tf′(x) 存在, t∈Us(x0)t \in U_{s}\left(x_{0}\right)t∈Us(x0)。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Us(x0)U_{s}\left(x_{0}\right)Us(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf(x)\lim \limits_{x \rightarrow t}f(x)x→tlimf(x) 存在，t∈Uδ(x)t \in U_{\delta}(x)t∈Uδ(x) 。

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的邻域 Uδ(x0)U_{\delta}(x_0)Uδ(x0) 内二阶可导，判断以下命题是否正确。

f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime \prime}(x)x→x0limf′′(x) 存在。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)x→x0limf′(x) 存在。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0limf(x) 存在。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime \prime}(x)x→tlimf′′(x) 存在, t∈Uδ(x0)t \in U_{\delta}\left(x_{0}\right)t∈Uδ(x0)。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf′(x)\lim _{x \rightarrow t} f^{\prime}(x)limx→tf′(x) 存在, t∈Us(x0)t \in U_{s}\left(x_{0}\right)t∈Us(x0)。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Us(x0)U_{s}\left(x_{0}\right)Us(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf(x)\lim \limits_{x \rightarrow t}f(x)x→tlimf(x) 存在，t∈Uδ(x)t \in U_{\delta}(x)t∈Uδ(x) 。

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域 Uδ(x0)U_{\delta}(x_0)Uδ(x0) 内二阶可导，判断以下命题是否正确。

f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime \prime}(x)x→x0limf′′(x) 存在。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)x→x0limf′(x) 存在。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 有定义。
lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0limf(x) 存在。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f′′(x)f^{\prime \prime}(x)f′′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf′′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime \prime}(x)x→tlimf′′(x) 存在, t∈Uδ(x0)t \in U_{\delta}\left(x_{0}\right)t∈Uδ(x0)。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf′(x)\lim \limits_{x \rightarrow t} f^{\prime}(x)x→tlimf′(x) 存在, t∈Us(x0)t \in U_{s}\left(x_{0}\right)t∈Us(x0)。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Uδ(x0)U_{\delta}\left(x_{0}\right)Uδ(x0) 内连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 邻域 Us(x0)U_{s}\left(x_{0}\right)Us(x0) 内有定义。
lim⁡x→tf(x)\lim \limits_{x \rightarrow t}f(x)x→tlimf(x) 存在，t∈Uδ(x)t \in U_{\delta}(x)t∈Uδ(x) 。

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_{0}x=x0 处存在一阶连续导数，判断以下命题是否正确。

f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 处可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 处连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内连续。

如果 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_{0}x=x0 处存在二阶导数，判断以下命题是否正确。

f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 处可导。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内可导。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 处连续。
f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内连续。
f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 的去心邻域内存在二阶导数。

七、附图