z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义, 当x从x0 取.PPT

微积分 第四章 多元函数微积分 制作：山东经济学院统计与数学学院 李勇 设函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义， 当 x 从 x0 取得增量 ?x(?x≠0)，而 y = y0 保持不变时，函 数 z 的增量为： §4.3、偏导数与全微分 一、偏导数的定义及其计算(Ⅰ) ?xz = f(x0+?x, y0) - f(x0, y0) 称为 f(x, y) 对于 x 的偏增量。 类似地，定义 f(x, y) 对于 y 的偏增量为： ?yz = f(x0, y0+?y) - f(x0, y0) 对于自变量 x, y 分别从 x0, y0 取得增量 ?x, ?y 时，函 数 f(x, y) 相应的增量 ?z = f(x0+?x, y0+?y) - f(x0, y0) 称为函数 f(x, y) 的全增量。 设函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义， 如果极限 存在，则称此极限值为函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的 偏导数。记作： 如果极限 存在，则称此极限值为函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 处对 y 的 偏导数。记作： 定义4.5 若函数 z = f(x, y) 在平面区域 D 内每一点 (x, y) 处对 x (或 y) 的偏导数都存在，则称函数 f(x, y) 在 D 内有对 x (或 y) 的偏导函数，简称偏导数。记作： 二元函数 z = f(x, y) 在点 (x0, y0) 的偏导数的几何意义： M0(x0, y0 , z0) 为曲面 z = f(x, y)上一点。 过 M0 的平面 y = y0 与曲面 的交线是 y = y0 平面上的曲线 f(x, y0)。则偏导数 f?x(x0, y0) 就 是一元函数 f(x, y0) 在 x = x0 处 的导数，亦表示曲线 z =f(x, y0) 在点 M0 处的切线 Tx 对 x 轴的 斜率。 同理，偏导数 f?y (x0, y0) 就是一元函数 f(x0, y) 在 y = y0 处的导数，亦表示曲线 z =f(x0, y) 在点 M0 处的 切线 Ty 对 y 轴的斜率。 由偏导数的定义可知，求偏导数的问题本质 上是一元函数的求导问题。 只要把 y 暂时看成常量，对 x 求导数 即可。 只要把 x 暂时看成常量，对 y 求导数 即可。 有关偏导数的几点说明： 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。 1、偏导数 是一个整体记号，不能拆分。 例1：求函数 f(x, y) = x3 + 2x2y - y3 在点 (1, 3) 处的 偏导数。 解： f?x(x, y) = 3x2 + 4xy f?y(x, y) = 2x2 – 3y2 f?x(1, 3) = 3×12 + 4×1×3 = 15 f?y(1, 3) = 2×12 – 3×32 = – 25 例2：求函数 f(x, y) = exy + x2y 的偏导数。 解： f?x(x, y) = (exy)?x + (x2y)?x = yexy + 2xy f?y(x, y) = (exy)?y + (x2y)?y = xexy + x2 例3：设 z = xy (x > 0, x≠1)。 证： 求证： 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 把 y, z 看作是常数，得： 例4：求三元函数 u = sin(x + y2 – e z) 的偏导数。 解： 把 x, z 看作是常数，得： 把 x, y 看作是常数，得： 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续。 偏导数存在 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续。 连续。 连续。 二元函数 f(x, y) 的二阶偏导数有如下几种： 二阶混合偏导数 二、高阶偏导数 高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数。 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 同样可以定义三阶、四阶以及 n 阶偏导数： 例1： 解： 问题： 混合偏导数都相等吗？