高数 | 一阶可导一阶连续可导二阶可导二阶连续可导为什么函数二阶可导却不能用两次洛必达法则?

导数的定义可以换一个说法：视f(x)为f(x)的零阶导数，若零阶导数在某点的近旁有定义，且其一阶导数在该点的值存在，那么称零阶导数在该点处一阶可导。

一阶导数是这样，二阶导数同理，n阶导数亦然。

分析：由在x=0处三阶可导可得：

1.三阶导数：f'''(0)存在，但f'''(x)在x=0处不一定连续，因为连续要求在x=0的某邻域内有定义；在x=0的空心邻域内也不一定可导，因为题目没说。

（“可导必连续”指的是比如函数在某点处一阶可导，则函数在该点处连续，但并不代表其一阶导函数在该点处连续。）

2.二阶导数：

3.一阶导数：因f''(x)在x=0处存在，所以f'(x)在x=0处连续可导，进一步有f(x)在x=0的某邻域内一阶可导

【注】

1.若函数在某点连续，则函数在该点的某邻域内有定义

2.若函数在某点可导，则函数在该点的某邻域内有定义，在该点的导数存在

3.若二阶导数在某点可导，则二阶导数在该点的某邻域内有定义，在该点的导数存在

4.若函数在某点三阶可导，则函数在该点的某邻域内有定义，在该点的三阶导数存在

函数n阶可导但只能用n-1次洛必达法则

函数n阶连续可导可以用n次洛必达法则

可导一定连续，连续不一定可导

函数一阶可导也就是原函数一定连续,一阶导数不一定连续

函数二阶可导也就是一阶导数一定连续,二阶导数不一定连续

一阶可导：

1.一阶导函数存在。可以求出一阶导数

2.所求出的一阶导数可能连续也可能不连续

3.一阶导数不能求极限。因为不知道一阶导数是否连续，可通过左右极限来判别

4. f(x)一阶可导，洛必达只能用到0阶可导，即一次洛必达法则都不能用!!!!!

一阶连续可导：

1.可以求一阶导数

2.一阶导函数连续

3.一阶导数可以求极限

4.f(x)n阶连续可导，用到f^(n)（x）

f(x)一阶连续可导，可以用到1阶可导，——那么可以用1次洛必达法则

二阶可导：

1.具有二阶导数

2.但是二阶导数的连续性无法确定

3.二阶导数不可以求极限

4.f(x)二阶可导，只能用到1阶可导，——那么只能用1次洛必达法则

二阶连续可导：

1.具有二阶导数

2.它的二阶导数是连续的

3.二阶导数可以求极限

4.f(x)二阶连续可导，可以用到2阶可导，——那么可以用2次洛必达法则

比如“f（x）二阶连续可导”，意思就是f ( x ) 有二阶导数，并且二阶导数连续

二阶偏导连续：混合偏导和次序没有关系

一点可导和邻域内可导能推出来什么？——可参考这篇。

高数 | 一点可导和邻域内可导能推出来什么？_我很丰富-CSDN博客_点可导和邻域可导

整理参考于

一阶可导和一阶连续可导关系区别和二阶可导和二阶连续可导关系区别 - 哔哩哔哩

为什么函数二阶可导却不能用两次洛必达法则? - 知乎