求树的直径算法以及证明

以下为两次dfs（bfs）的做法以及正确性证明。

算法步骤
（1）任取树上一点S，以S为源点BFS得S到各个顶点的d值；
（2）取d值最大者之一为P，再以P为源点BFS得P到各个顶点的d值；
（3）再取d值最大者之一为Q，PQ为树的其中一条直径。
算法的时间复杂度为两次BFS用时，即 2 O ( V + E ) 2O(V+E) 2O(V+E).

正确性证明：

假设AB为树的直径，且|AB|>|PQ|.
（1）若P为A或者B，则PQ=AB，|AB|=|PQ|，矛盾；
（2）若PQ与AB相交，设交点为C，如图

根据算法操作(2)， ∣ P Q ∣ ≥ ∣ P A ∣ , ∣ P Q ∣ ≥ ∣ P B ∣ |PQ|\geq|PA|,|PQ|\geq|PB| ∣PQ∣≥∣PA∣,∣PQ∣≥∣PB∣,
减去公共部分得 ∣ C Q ∣ ≥ ∣ C A ∣ , ∣ C Q ∣ ≥ ∣ C B ∣ |CQ|\geq|CA|,|CQ|\geq|CB| ∣CQ∣≥∣CA∣,∣CQ∣≥∣CB∣,
对于 ∣ A Q ∣ = ∣ A C ∣ + ∣ C Q ∣ ≥ ∣ A C ∣ + ∣ C B ∣ = ∣ A B ∣ |AQ|=|AC|+|CQ|\geq|AC|+|CB|=|AB| ∣AQ∣=∣AC∣+∣CQ∣≥∣AC∣+∣CB∣=∣AB∣,同理 ∣ B Q ∣ ≥ ∣ A B ∣ |BQ|\geq|AB| ∣BQ∣≥∣AB∣,
由于AB为直径，且 ∣ A B ∣ > ∣ P Q ∣ |AB|>|PQ| ∣AB∣>∣PQ∣,只能有 ∣ C Q ∣ = ∣ C A ∣ = ∣ C B ∣ > ∣ C P ∣ |CQ|=|CA|=|CB|>|CP| ∣CQ∣=∣CA∣=∣CB∣>∣CP∣,
将树视为以C为根的树，设A，B，Q，P所在子树为{A}，{B}，{Q}，{P}，
S点在{A}，{B}，{Q}，{P}其中之一，
根据算法操作(1)， ∣ S P ∣ > ∣ S A ∣ |SP|>|SA| ∣SP∣>∣SA∣，S点只能在{A}；
∣ S P ∣ > ∣ S B ∣ |SP|>|SB| ∣SP∣>∣SB∣，S点只能在{B}；
∣ S P ∣ > ∣ S Q ∣ |SP|>|SQ| ∣SP∣>∣SQ∣，S点只能在{S}；
综上，不存在这样的S点，矛盾；
（3）若PQ与AB无交点，则设MN为两者联络线，如图

根据算法操作(2)， ∣ P Q ∣ ≥ ∣ P A ∣ , ∣ P Q ∣ ≥ ∣ P B ∣ |PQ|\geq|PA|,|PQ|\geq|PB| ∣PQ∣≥∣PA∣,∣PQ∣≥∣PB∣,
减去公共部分得 ∣ N Q ∣ ≥ ∣ N A ∣ , ∣ N Q ∣ ≥ ∣ N B ∣ |NQ|\geq|NA|,|NQ|\geq|NB| ∣NQ∣≥∣NA∣,∣NQ∣≥∣NB∣,
容易得 ∣ Q M ∣ = ∣ N Q ∣ + ∣ M N ∣ > ∣ M A ∣ |QM|=|NQ|+|MN|>|MA| ∣QM∣=∣NQ∣+∣MN∣>∣MA∣,
因此， ∣ B Q ∣ = ∣ B M ∣ + ∣ Q M ∣ > ∣ B M ∣ + ∣ M A ∣ = ∣ A B ∣ |BQ|=|BM|+|QM|>|BM|+|MA|=|AB| ∣BQ∣=∣BM∣+∣QM∣>∣BM∣+∣MA∣=∣AB∣，与AB为树的直径相矛盾；
综上所述，假设不成立，PQ为树的直径.

以下为老师ppt上的证明：

反证法，假设v不是直径的一个端点。 δ ( u , x ) ≥ δ ( u , w ) \delta(u,x)\geq\delta(u,w) δ(u,x)≥δ(u,w)的前提是不妨设路径 w → u w\rightarrow u w→u和 x → u x\rightarrow u x→u有公共点，取 w = v w=v w=v，而这与算法步骤中 δ ( u , v ) \delta(u,v) δ(u,v)最大相矛盾。

根据第一点图①不存在，这和我证明的第（3）点对应，但我否定了图①情况后并没有进一步推证 u v uv uv和 x y xy xy存在公共部分（不仅仅是我第（2）点提及只有一个交点）的情形。或者说我的证明分类讨论的对象是算法求解出的 P Q PQ PQ和假设直径 A B AB AB之间的关系，遗漏了该情形。从 ∀ u \forall u ∀u出发讨论更容易分类。

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