UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论5 电磁场的角动量

回顾一下angle momentum的定义
L⃗=r⃗×p⃗\vec L= \vec r \times \vec pL=r×p

它关于时间的全微分为
dL⃗dt=dr⃗dt×P⃗+r⃗×dP⃗dt=r⃗×dP⃗dt\frac{d \vec L}{dt} = \frac{d \vec r}{dt} \times \vec P+\vec r \times \frac{d \vec P}{dt} = \vec r \times \frac{d \vec P}{dt}dtdL=dtdr×P+r×dtdP=r×dtdP

其中dr⃗dt\frac{d \vec r}{dt}dtdr与P⃗\vec PP方向相同，所以叉积为0，将动量的变化率替换为电磁力
dL⃗dt=r⃗×(ρE⃗+J⃗×B⃗c)\frac{d \vec L}{dt} = \vec r \times (\rho \vec E+\frac{\vec J \times \vec B}{c})dtdL=r×(ρE+cJ×B)

上一讲我们已经处理过电磁力这一项了，这里直接用结论：
ddt(L⃗+∫Vr⃗×g⃗d3r⃗′)=∫Vr⃗×∇⋅Td3r⃗\frac{d }{dt}( \vec L+\int_V \vec r \times \vec g d^3 \vec r')=\int_V\vec r \times \nabla \cdot Td^3 \vec rdtd(L+∫Vr×gd3r′)=∫Vr×∇⋅Td3r

其中L⃗\vec LL是电磁场中粒子的角动量，r⃗×g⃗\vec r \times \vec gr×g是电磁场的角动量，
r⃗×∇⋅T=∇⋅(r⃗×T)−T⋅∇r⃗=∇⋅(r⃗×T⃗)\vec r \times \nabla \cdot T = \nabla \cdot (\vec r \times T)-T \cdot \nabla \vec r = \nabla \cdot (\vec r \times \vec T) r×∇⋅T=∇⋅(r×T)−T⋅∇r=∇⋅(r×T)

根据散度定理
∫Vr⃗×∇⋅Td3r⃗=∮S(V)r⃗×T⋅dA⃗′\int_V\vec r \times \nabla \cdot Td^3 \vec r = \oint_{S(V)} \vec r \times T \cdot d\vec A'∫Vr×∇⋅Td3r=∮S(V)r×T⋅dA′

其中r⃗×T\vec r \times Tr×T表示torque per area，即单位面积的扭矩。

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