UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论3 电磁场的能量守恒

时变电磁场的传播成为电磁波，它可以携带能量，这一讲我们讨论电磁场的能量。回忆一下电荷守恒，麦克斯韦在推导他的方程组的时候，用电荷守恒修正了Ampere定律，他导出的微分形式的电荷守恒是
∂ρ∂t+∇⋅J⃗=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \vec J = 0∂t∂ρ+∇⋅J=0

与电荷类似，在无外源的条件下，电磁场的能量也是一个守恒量，我们可以类似电荷守恒的思路导出电磁场能量守恒的微分方程。

假设空间中r⃗′\vec r'r′的位置存在scalar potential为Φ(r⃗′)\Phi(\vec r')Φ(r′)的电场，我们把一个电荷δρ(r⃗′)\delta \rho(\vec r')δρ(r′)从无穷远处移到r⃗′\vec r'r′的位置需要做功
δW(r⃗′)=Φ(r⃗′)δρ(r⃗′)\delta W(\vec r')=\Phi(\vec r')\delta \rho(\vec r')δW(r′)=Φ(r′)δρ(r′)

这里的δ\deltaδ表示变分，用VVV表示全空间，则
δW=∫VΦ(r⃗′)δρ(r⃗′)d3r⃗′\delta W = \int_V \Phi(\vec r')\delta \rho(\vec r') d^3 \vec r'δW=∫VΦ(r′)δρ(r′)d3r′

下面我们尝试移除与电磁场无关的量，根据Gauss定理，
ρ=14π∇⋅E⃗δρ=14π∇⋅δE⃗\rho = \frac{1}{4 \pi }\nabla \cdot \vec E \\ \delta \rho = \frac{1}{4 \pi } \nabla \cdot \delta \vec Eρ=4π1∇⋅Eδρ=4π1∇⋅δE

对下面第二个等号的第一项用Gauss散度定理，得到的曲面积分为0（只要S(V)S(V)S(V)足够大）
δW=∫VΦ(r⃗′)14π∇⋅δE⃗(r⃗′)d3r⃗′=−14π∫V[∇⋅(δE⃗Φ)−δE⃗⋅∇Φ]d3r⃗′=−14π∫VδE⃗⋅∇Φd3r⃗′=14π∫VδE⃗⋅E⃗d3r⃗′\delta W = \int_V \Phi(\vec r') \frac{1}{4 \pi } \nabla \cdot \delta \vec E(\vec r')d^3 \vec r' \\ = -\frac{1}{4 \pi} \int_V[\nabla \cdot (\delta \vec E \Phi)-\delta \vec E \cdot \nabla \Phi]d^3 \vec r' \\ = - \frac{1}{4 \pi}\int_V \delta \vec E \cdot \nabla \Phi d^3 \vec r' = \frac{1}{4 \pi} \int_V \delta \vec E \cdot \vec E d^3 \vec r' δW=∫VΦ(r′)4π1∇⋅δE(r′)d3r′=−4π1∫V[∇⋅(δEΦ)−δE⋅∇Φ]d3r′=−4π1∫VδE⋅∇Φd3r′=4π1∫VδE⋅Ed3r′

现在对这个式子取积分
W=14π∫V∫0E⃗δE⃗⋅E⃗d3r⃗′=18π∫VE⃗2d3r⃗W=\frac{1}{4 \pi} \int_V \int_0^{\vec E} \delta \vec E \cdot \vec E d^3 \vec r'=\frac{1}{8 \pi} \int_V \vec E^2 d^3 \vec rW=4π1∫V∫0EδE⋅Ed3r′=8π1∫VE2d3r

于是能量密度(energy density)为
uE=18πE⃗2u_E = \frac{1}{8\pi}\vec E^2uE=8π1E2

假设空间中存在磁感应强度为B⃗\vec BB的磁场，对于一段电流微元Idl⃗Id\vec lIdl，它在磁场中移动δr⃗\delta \vec rδr的位移需要做功
δW=−Icdl⃗×B⃗⋅δr⃗=Icdl⃗×δr⃗⋅B⃗=IcdA⃗⋅B⃗=IδΦBc\delta W = -\frac{I}{c}d\vec l \times \vec B \cdot \delta \vec r = \frac{I}{c} d\vec l\times \delta \vec r \cdot \vec B = \frac{I}{c}d \vec A \cdot \vec B = \frac{I \delta \Phi_B}{c}δW=−cIdl×B⋅δr=cIdl×δr⋅B=cIdA⋅B=cIδΦB

这里ΦB\Phi_BΦB表示magnetic flux（磁通量），同样可以对这个式子求积分得到能量密度
uB=18πB⃗2u_B = \frac{1}{8 \pi}\vec B^2uB=8π1B2

于是电磁场(E⃗,B⃗)(\vec E,\vec B)(E,B)的总能量密度为
u=uE+uB=18π(E⃗2+B⃗2)u=u_E+u_B=\frac{1}{8 \pi}(\vec E^2+\vec B^2)u=uE+uB=8π1(E2+B2)

下面我们推导能量守恒，
∂∂t∫Vud3r⃗′=18π∫V(2E⃗⋅∂E⃗∂t+2B⃗⋅∂B⃗∂t)d3r⃗′\frac{\partial}{\partial t} \int_V u d^3 \vec r' = \frac{1}{8 \pi} \int_V \left( 2 \vec E \cdot \frac{\partial \vec E}{\partial t}+ 2 \vec B \cdot \frac{\partial \vec B}{\partial t}\right)d^3 \vec r'∂t∂∫Vud3r′=8π1∫V(2E⋅∂t∂E+2B⋅∂t∂B)d3r′

使用安培定律与法拉第定律，上式等于
14π∫VE⃗⋅(c∇×B⃗−4πJ⃗)+B⃗⋅(−c∇×E⃗)d3r⃗′\frac{1}{4 \pi} \int_V \vec E \cdot (c \nabla \times \vec B - 4 \pi \vec J)+\vec B \cdot (-c \nabla \times \vec E)d^3 \vec r'4π1∫VE⋅(c∇×B−4πJ)+B⋅(−c∇×E)d3r′

其中
−B⃗⋅∇×E⃗+E⃗⋅∇×B⃗=∇⋅(E⃗×B⃗)-\vec B \cdot \nabla \times \vec E+\vec E \cdot \nabla \times \vec B = \nabla \cdot (\vec E \times \vec B)−B⋅∇×E+E⋅∇×B=∇⋅(E×B)

所以
∂∂t∫Vud3r⃗′=−∫VJ⃗⋅E⃗d3r⃗′+c4π∫V−∇⋅(E⃗×B⃗)d3r⃗′\frac{\partial}{\partial t} \int_V u d^3 \vec r' = -\int_V \vec J \cdot \vec E d^3 \vec r'+\frac{c}{4 \pi} \int_V -\nabla \cdot (\vec E \times \vec B)d^3 \vec r'∂t∂∫Vud3r′=−∫VJ⋅Ed3r′+4πc∫V−∇⋅(E×B)d3r′

它的微分形式为
∂u∂t+c4π∇⋅(E⃗×B⃗)=−J⃗⋅E⃗\frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{c}{4 \pi}\nabla \cdot (\vec E \times \vec B)=-\vec J \cdot \vec E∂t∂u+4πc∇⋅(E×B)=−J⋅E

定义
S⃗=c4πE⃗×B⃗\vec S = \frac{c}{4 \pi} \vec E \times \vec BS=4πcE×B

它被称为Poynting vector，于是
∂u∂t+∇⋅S⃗=−J⃗⋅E⃗\frac{\partial u}{\partial t}+ \nabla \cdot \vec S=-\vec J \cdot \vec E∂t∂u+∇⋅S=−J⋅E

−J⃗⋅E⃗-\vec J \cdot \vec E−J⋅E被称为dissitation term，代表电磁场的能量损失，因为电场会对电流元施加电场力，在变化的电磁场中电场力做功导致电磁场能量耗散；如果J⃗=0\vec J=0J=0，那么系统能量守恒。

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