UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论6 用含时Green函数求解时变电磁场问题的例子

在一个nuclear中有一些photon，photon受激产生e−,e+e^-,e^+e−,e+两个electron，其中e−e^-e−沿k^\hat kk^方向运动，e+e^+e+沿−k^-\hat k−k^方向运动，速度大小记为vvv，现在我们试图计算这个过程激发的电磁场。

回顾一下相关方程为：
(∇2−1c2∂2∂t2)Φ=−4πρ(∇2−1c2∂2∂t2)A⃗=−4πcJ⃗\left( \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\Phi = -4 \pi \rho \\ \left( \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\vec A = -\frac{4 \pi }{c}\vec J (∇2−c21∂t2∂2)Φ=−4πρ(∇2−c21∂t2∂2)A=−c4πJ

以及
B⃗=∇×A⃗E⃗=−∇Φ−1c∂A⃗∂t\vec B = \nabla \times \vec A \\ \vec E =-\nabla \Phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec A}{\partial t}B=∇×AE=−∇Φ−c1∂t∂A

这个问题没有边界条件，并且是过去的事件造成未来某个时刻某个位置可以观测到电磁场，所以需要retarded solution
Φ(−)(r⃗,t)=∬G+(r⃗,t,r⃗′,t′)ρ(r⃗′,t′)d3r⃗′dt′A⃗(−)(r⃗,t)=1c∬G+(r⃗,t,r⃗′,t′)J⃗(r⃗′,t′)d3r⃗′dt′\Phi^{(-)}(\vec r ,t)=\iint G^{+}(\vec r, t , \vec r' ,t') \rho(\vec r ' ,t ')d^3 \vec r' dt' \\ \vec A^{(-)}(\vec r ,t)=\frac{1}{c}\iint G^{+}(\vec r, t , \vec r' ,t') \vec J(\vec r ' ,t ')d^3 \vec r' dt'Φ(−)(r,t)=∬G+(r,t,r′,t′)ρ(r′,t′)d3r′dt′A(−)(r,t)=c1∬G+(r,t,r′,t′)J(r′,t′)d3r′dt′

Green函数为
G±(r,t−t′)=δ(t−t′−rc)rG^{\pm}(r,t-t')=\frac{\delta(t-t' - \frac{r}{c})}{r}G±(r,t−t′)=rδ(t−t′−cr)

下面计算电磁场的source：
ρ(r⃗′,t′)=−eδ(3)(r⃗′−(0,0,vt′))+eδ(3)(r⃗′−(0,0,−vt′))J⃗(r⃗′,t′)=−evδ(3)(r⃗′−(0,0,vt′))k^+evδ(3)δ(3)(r⃗′−(0,0,−vt′))(−k^)\rho(\vec r',t')=-e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,vt'))+e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt')) \\ \vec J(\vec r',t')=-ev\delta^{(3)}(\vec r' - (0,0,vt'))\hat k+ \\ ev\delta^{(3)}\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt'))(-\hat k)ρ(r′,t′)=−eδ(3)(r′−(0,0,vt′))+eδ(3)(r′−(0,0,−vt′))J(r′,t′)=−evδ(3)(r′−(0,0,vt′))k^+evδ(3)δ(3)(r′−(0,0,−vt′))(−k^)

然后计算积分
∬G+(r⃗,t,r⃗′,t′)ρ(r⃗′,t′)d3r⃗′dt′=∬δ(t−t′−rc)r[−eδ(3)(r⃗′−(0,0,vt′))+eδ(3)(r⃗′−(0,0,−vt′))]dt′d3r⃗′=∫d3r⃗′r[−eδ(3)(r⃗′−(0,0,vt−vr/c))+eδ(3)(r⃗′−(0,0,−vt+vr/c))]=−ex2+y2+(z−z0)2+ex2+y2+(z−z02)z0=vt−vcx2+y2+(z−z0)2\iint G^{+}(\vec r, t , \vec r' ,t') \rho(\vec r ' ,t ')d^3 \vec r' dt' \\ = \iint\frac{\delta(t-t' - \frac{r}{c})}{r}[-e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,vt'))+e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt'))]dt'd^3 \vec r' \\ = \int \frac{d^3 \vec r'}{r}[-e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,vt-vr/c))+e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt+vr/c))] \\ = -\frac{e}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}}+\frac{e}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0^2)}} \\ z_0 = vt - \frac{v}{c}\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}∬G+(r,t,r′,t′)ρ(r′,t′)d3r′dt′=∬rδ(t−t′−cr)[−eδ(3)(r′−(0,0,vt′))+eδ(3)(r′−(0,0,−vt′))]dt′d3r′=∫rd3r′[−eδ(3)(r′−(0,0,vt−vr/c))+eδ(3)(r′−(0,0,−vt+vr/c))]=−x2+y2+(z−z0)2e+x2+y2+(z−z02)ez0=vt−cvx2+y2+(z−z0)2

基于这个结果可以确定电磁场的标量势，类似的操作可以计算出向量势，
A⃗(r⃗,t)=−1cevk^x2+y2+(z−z0)2−1cevk^x2+y2+(z+z0)2\vec A(\vec r,t)=-\frac{1}{c}\frac{ev\hat k}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}}-\frac{1}{c}\frac{ev\hat k}{\sqrt{x^2+y^2+(z+z_0)^2}}A(r,t)=−c1x2+y2+(z−z0)2evk^−c1x2+y2+(z+z0)2evk^

然后计算磁感应强度和电场强度太难算了就懒得写了。

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