三角函数与代数恒等式（1）

证明：∏k=1n−1sin(kπn)=n2n−1\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}∏k=1n−1sin(nkπ)=2n−1n

先证明：

对于一切复数zzz都有zn−1=∏k=1n(z−e2πik/n)z^n-1=\prod_{k=1}^{n}(z-e^{2\pi ik/n})zn−1=∏k=1n(z−e2πik/n)

zn−1=0→zn=1=cos2kπ+isin2kπ=e2πik→z=e2πik/n(k=1,2,3...n)→zn−1=∏k=1n(z−e2πik/n)z^n-1=0\rightarrow z^n=1=cos2k\pi+isin2k\pi=e^{2\pi ik}\\ \rightarrow z=e^{2\pi ik/n}\ \ (k=1,2,3...n) \\ \rightarrow z^n-1=\prod_{k=1}^{n}(z-e^{2\pi ik/n)}zn−1=0→zn=1=cos2kπ+isin2kπ=e2πik→z=e2πik/n (k=1,2,3...n)→zn−1=∏k=1n(z−e2πik/n)

由复数正弦得

sinz=ez−e−z2i=e2z−1ez2isinz=\frac{e^z-e^{-z}}{2i}=\frac{e^{2z}-1}{e^z2i}sinz=2iez−e−z=ez2ie2z−1

∏k=1n−1sin(kπn)=∏k=1n−1e2πik/n−1eπik/n2i=1e(n−1)πi22n−1in−1∏k=1n−1(−1)(1−e2πik/n)=∏k=1n−1(1−e2πik/n)2n−1\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n})=\prod_{k=1}^{n-1} \frac{e^{2\pi ik/n}-1}{e^{\pi ik/n}2i}\\=\frac{1}{e^{\frac{(n-1)\pi i}{2}}2^{n-1}i^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1} (-1)(1-e^{2\pi ik/n})\\=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{2\pi ik/n})}{2^{n-1}}∏k=1n−1sin(nkπ)=∏k=1n−1eπik/n2ie2πik/n−1=e2(n−1)πi2n−1in−11∏k=1n−1(−1)(1−e2πik/n)=2n−1∏k=1n−1(1−e2πik/n)

由多项式分解得

zn−1=(z−1)∑k=1nzk−1z^n-1=(z-1)\sum_{k=1}^{n}z^{k-1}zn−1=(z−1)∑k=1nzk−1

zn−1=(z−1)∏k=1n−1(z−e2πik/n)z^n-1=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-e^{2\pi ik/n})zn−1=(z−1)∏k=1n−1(z−e2πik/n)

∑k=1nzk−1=∏k=1n−1(z−e2πik/n)\sum_{k=1}^{n}z^{k-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(z-e^{2\pi ik/n})∑k=1nzk−1=∏k=1n−1(z−e2πik/n)

令z=1z=1z=1得，∏k=11−1(z−e2πik/n)=∑k=1n1k−1=n\prod_{k=1}^{1-1}(z-e^{2\pi ik/n})=\sum_{k=1}^{n}1^{k-1}=n∏k=11−1(z−e2πik/n)=∑k=1n1k−1=n

结合上述式子，证毕。

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