1.强连通和强连通图

简介：在有向图G中，如果两个顶点互通，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的两两都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量，总共三个强连通分量。

算法1：直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。

算法2：更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

2.[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。DFN[] 数组存储访问顺序，也就是先遍历的点，会先分配一个的序号(小到大)，然后序号存在这个数组当中。如：DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)Low[] 表示该点所能直接或间接达到时间最小的顶点。如：Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号stack 存储该连通子图的所有点。

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下tarjan(u)

{

DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

Stack.push(u) // 将节点u压入栈中

for each (u, v) in E // 枚举每一条边

if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

tarjan(v) // 继续向下找

Low[u]= min(Low[u], Low[v])//记录最小顶点

else if (v in S) // 如果节点v还在栈内

Low[u]= min(Low[u], DFN[v])

if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

repeat

v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

print v

until (u== v)

}

3.算法流程的演示

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

Tarjan算法：每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

参考博客：

HDU 1269 (模板题)：

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define inf 0x3f3f3f3f

#define ll long long

#define sscc ios::sync_with_stdio(false);

#define ms(a) memset(a,0,sizeof(a))

#define mss(a) memset(a,-1,sizeof(a))

#define msi(a) memset(a,inf,sizeof(a))

using namespace std;

const int M=1e5+6;

int pre[M],ten,ans;//链式前向星

int dfn[M],low[M],cens,vis[M];//tarjan

stack st;

struct A{

int y,next;

}tens[M];

int add(int x,int y)//加边{

tens[ten].y=y,tens[ten].next=pre[x],pre[x]=ten++;

}

void tarjan(int v){

dfn[v]=low[v]=cens++,vis[v]=1,st.push(v);//分配一个序号 ，并进栈，标记

for(int i=pre[v];~i;i=tens[i].next)//遍历v点出发的全部边

{

int u=tens[i].y;//v->u的u点

if(dfn[u]==0)//如果这个点没访问过

{

tarjan(u);//向下访问

low[v]=min(low[v],low[u]);//去v和u的最小序

}else if(vis[u])//如果访问过，那就取最小序

low[v]=min(low[v],dfn[u]);

}

if(dfn[v]==low[v])//将该连通子图回退

{

int nums=0,j;

do{

j=st.top();//取栈顶

st.pop();//出栈

vis[j]=0;//取消标记

nums++;//统计改强连通分量的点的数量

}while(j!=v);//直到栈顶是v为止(v会被拿出来)

ans=max(ans,nums);

}

}

int main(){

sscc;

int n,m;

while(cin>>n>>m&&(n+m))

{

mss(pre),ten=0,cens=1,ans=-inf;

ms(dfn),ms(low),ms(vis);

for(int i=0;i

{

int x,y;

cin>>x>>y;

add(x,y);

}

for(int i=1;i<=n;i++)//防止有点不连通

{

if(!dfn[i])

tarjan(i);

}

if(ans==n)

cout<

else

cout<

}

return 0;

}