高等代数笔记4：线性空间

线性空间

线性空间的定义与实例

从本节开始，我们将解析几何、向量空间、矩阵空间的一些共同性质作一个进一步的抽象，得到线性空间的概念。所谓线性空间，就是在一个集合上，定义了线性运算，从而形成线性空间。所谓线性运算，就是两类：加法和数域KKK上的数乘。回顾解析几何、向量空间、矩阵空间的相关知识，在这些空间上，都定义了加法和数乘，并且加法和数乘都有类似的性质，即以下八条：
A.加法交换律：a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a
B.加法结合律：a+b+c=a+(b+c)a+b+c=a+(b+c)a+b+c=a+(b+c)
C.存在零元：0+a=a0+a=a0+a=a
D.存在相反元：a+(−a)=0a+(-a)=0a+(−a)=0
E.数乘结合律：(kl)a=k(la)(kl)a=k(la)(kl)a=k(la)
F.1.a=a1.a =a1.a=a
G.数乘分配律1：(k+l)a=ka+la(k+l)a=ka+la(k+l)a=ka+la
H.数乘分配律2：k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kb
两个运算，加上以上八条运算性质，就形成了抽象的"线性空间"：

定义4.1 VVV是一集合，KKK是一数域，如果在VVV上定义了一个二元运算"+++"，满足：
A.加法交换律：∀a,b∈V,a+b=b+a\forall a,b\in V,a+b=b+a∀a,b∈V,a+b=b+a
B.加法结合律：∀a,b,c∈V,a+b+c=a+(b+c)\forall a,b,c \in V, a+b+c=a+(b+c)∀a,b,c∈V,a+b+c=a+(b+c)
C.存在零元：∃0∈V,∀a∈V,0+a=a\exists 0 \in V,\forall a\in V,0+a=a∃0∈V,∀a∈V,0+a=a
D.存在相反元：∀a∈V,∃−a∈V,a+(−a)=0\forall a \in V,\exists -a \in V, a+(-a)=0∀a∈V,∃−a∈V,a+(−a)=0
又定义了VVV和KKK的运算...，满足：
E.数乘结合律：∀k,l∈K,∀a∈V,(kl)a=k(la)\forall k,l \in K,\forall a \in V,(kl)a=k(la)∀k,l∈K,∀a∈V,(kl)a=k(la)
F.∀a∈V,1.a=a\forall a \in V,1.a =a∀a∈V,1.a=a
G.数乘分配律1：∀k,l∈K,∀a∈V,(k+l)a=ka+la\forall k,l \in K,\forall a \in V,(k+l)a=ka+la∀k,l∈K,∀a∈V,(k+l)a=ka+la
H.数乘分配律2：∀k∈K,∀a,b∈V,k(a+b)=ka+kb\forall k \in K,\forall a,b \in V,k(a+b)=ka+kb∀k∈K,∀a,b∈V,k(a+b)=ka+kb
则称VVV是数域KKK上的线性空间

解析几何中的平面向量空间、空间向量空间、KKK上的nnn维向量空间，Mm,n(K)M_{m,n}(K)Mm,n(K)都是线性空间的典型代表。不仅如此，即便看起来与代数毫无关系的数学分析，也有大量线性空间的例子。例如：

例4.1 C[a,b]C[a,b]C[a,b]是[a,b][a,b][a,b]上全体连续函数构成的空间，C[a,b]C[a,b]C[a,b]是RRR上的线性空间

可见，线性空间存在于世界各个角落，或者可以这么说：只要在一个集合中定义了加法和数乘运算，并且满足八条运算性质，这个集合就是一个"抽象化"的向量空间，集合中的元素，不过是"抽象化"后的点罢了。线性空间，从几何上去理解，就是"抽象化"的向量空间。以连续函数空间为例，从线性空间的角度上看，闭区间上的连续函数，不过是连续函数空间上一个个向量罢了，连续函数空间，不过是抽象的解析几何空间罢了。线性泛函分析，就是以这里为出发点的。认识到这点，对于理解后面许多定理和命题都很有帮助。
命题4.1 VVV是数域KKK上的线性空间，则
(1)零元是唯一的
(2)∀a∈V\forall a \in V∀a∈V，相反元−a-a−a是唯一的
(3)∀a∈V,0.a=0\forall a \in V,0.a=0∀a∈V,0.a=0
(4)∀a∈V,(−1).a=−a\forall a \in V,(-1).a=-a∀a∈V,(−1).a=−a

证：
(1)假设a,ba,ba,b都满足：对任意的c∈Vc\in Vc∈V，都有
a+c=ca+c=ca+c=cb+c=cb+c=cb+c=c那么
a+b=b=b+a=aa+b=b=b+a=aa+b=b=b+a=a由于零元唯一，我们记零元为000\
(2)∀a∈V\forall a \in V∀a∈V，若b,cb,cb,c都满足：
a+b=0a+b=0a+b=0a+c=0a+c=0a+c=0则
a+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=ba+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=ba+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=b从而相反元唯一，相反元记为−a-a−a\
(3)a+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=aa+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=aa+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=a
(4)(−1).a+a=(−1).a+1.a=(1+−1)a=0.a=0(-1).a+a=(-1).a+1.a=(1+-1)a=0.a=0(−1).a+a=(−1).a+1.a=(1+−1)a=0.a=0

线性空间的结构

接下来，类似于向量空间，我们也可以给出线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组等概念。

定义4.2 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，k1,⋯,knk_1,\cdots,k_nk1,⋯,kn是KKK上的nnn个数，称
k1x1+⋯+knxnk_1x_1+\cdots+k_nx_nk1x1+⋯+knxn是x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn的一个线性组合，y∈Vy\in Vy∈V，存在k1,⋯,kn∈Kk_1,\cdots,k_n\in Kk1,⋯,kn∈K，使得
y=k1x1+⋯+knxny=k_1x_1+\cdots+k_nx_ny=k1x1+⋯+knxn则称yyy能被x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性表示

定义4.3 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，如果存在不全为000的KKK的一组数k1,⋯,knk_1,\cdots,k_nk1,⋯,kn，使得
k1x1+⋯+knxn=0k_1x_1+\cdots+k_nx_n=0k1x1+⋯+knxn=0则称x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性相关，否则称x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性无关

可以看到，一般线性空间上的线性相关和线性无关和向量空间是"一致的"，只不过这里是抽象化的线性相关和线性无关，而向量空间是具体的线性相关和线性无关，并且向量空间上，我们可以借助线性方程组来理解线性表示、线性相关和线性无关，一般线性空间上的线性表示、线性相关和线性无关，就很难借助具体的工具来表述。然而，一般线性空间上线性相关、线性无关性质上却和向量空间没有本质差别。

定理4.1 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性相关的充分必要条件是某个向量可被其他向量线性表示

定义4.3 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn和y1,⋯,ymy_1,\cdots,y_my1,⋯,ym是VVV的两个向量组，如果y1,⋯,ymy_1,\cdots,y_my1,⋯,ym的每一个向量都能被x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性表示，则称向量组y1,⋯,ymy_1,\cdots,y_my1,⋯,ym能被x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性表示，如果两个向量组可以相互线性表示，则称两个向量组等价

引理4.1 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn和y1,⋯,ymy_1,\cdots,y_my1,⋯,ym是VVV的两个向量组，如果x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性无关，m>nm>nm>n，则y1,⋯,ymy_1,\cdots,y_my1,⋯,ym一定线性相关

推论4.1 VVV是KKK上的线性空间，VVV上任意两个等价的线性无关的向量组一定有相同数量的向量

类似地可以给出极大线性无关组和向量组的秩
定义4.4 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，如果存在线性无关的子向量组xn1,⋯,xnrx_{n_1},\cdots,x_{n_r}xn1,⋯,xnr，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn能被xn1,⋯,xnrx_{n_1},\cdots,x_{n_r}xn1,⋯,xnr线性表示，则称xn1,⋯,xnrx_{n_1},\cdots,x_{n_r}xn1,⋯,xnr是x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn的极大线性无关组，rrr称为向量组x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn的秩

命题4.2 VVV是KKK上的线性空间，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一个向量组，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性无关，而x1,⋯,xn,yx_1,\cdots,x_n,yx1,⋯,xn,y线性相关，则yyy能被x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn唯一线性表示

按照这个命题，任一向量组的每一个向量能被其极大线性无关组唯一线性表示。极大线性无关组就起到解析几何中的基的作用。

线性空间上的基、基变换与坐标变换

上一小结，我们引出了极大线性无关组，并且说明了，任一向量组的每一个向量都能被极大线性无关组唯一表示。那么，对于整一个线性空间，能不能也找到这么一组线性无关向量，整个空间能被这组线性无关的向量唯一线性表示呢？

首先，如果存在一组线性无关的向量x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn，对任意的x∈Vx\in Vx∈V，都存在k1,⋯,kn∈Kk_1,\cdots,k_n\in Kk1,⋯,kn∈K，使得
x=k1x1+⋯+knxnx=k_1x_1+\cdots+k_nx_nx=k1x1+⋯+knxn我们就称x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是线性空间VVV的一组基，显然，任意两组基是等价的，因而，基中向量个数是相等的，这个向量的个数称为VVV的维数。

是不是每一个线性空间都存在一个向量组是VVV的基呢？答案是否定的。至少，连续函数空间C[a,b]C[a,b]C[a,b]就不存在有限个向量可以线性表示所有的连续函数，不然，连续函数空间不就过分简单，以至于没有研究的价值了吗？如果存在nnn个线性无关的向量可以线性表示空间中所有的向量，那么，就称VVV是nnn维线性空间，nnn是VVV的维数，记为dim⁡(V)=n\dim(V)=ndim(V)=n，VVV是有限维线性空间，否则，称VVV是无穷维线性空间，记为dim⁡(V)=∞\dim(V)=\inftydim(V)=∞。这里我们研究的对象是有限维线性空间，无穷维线性空间主要是一些函数空间，对无穷维线性空间的研究将在泛函分析中进行，这里不作讨论。

定义4.5 VVV是KKK上的线性空间，如果存在线性无关的向量组x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn，对任意的x∈Vx\in Vx∈V，xxx能被x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性表示，则称x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一组基，nnn是VVV的维数，记为dim⁡(V)=n\dim(V)=ndim(V)=n，VVV是nnn维线性空间，否则，称VVV是无穷维线性空间，dim⁡(V)=∞\dim(V)=\inftydim(V)=∞

命题4.3 VVV是KKK上的线性空间，dim⁡(V)=n<∞\dim(V)=n<\inftydim(V)=n<∞，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是线性无关的向量组，则x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一组基

证：
首先，设e1,⋯,ene_1,\cdots,e_ne1,⋯,en是VVV的一组基，我们首先证明任意n+1n+1n+1个向量都是线性相关的。
按照基的定义，对任意n+1n+1n+1个向量y1,⋯,yn+1y_1,\cdots,y_{n+1}y1,⋯,yn+1，存在n(n+1)n(n+1)n(n+1)个KKK中的数kij,1≤i≤n+1,1≤j≤nk_{ij},1\le i\le n+1,1\le j \le nkij,1≤i≤n+1,1≤j≤n，使得
yi=ki1e1+⋯+kinen,i=1,⋯,n+1y_i=k_{i1}e_1+\cdots+k_{in}e_{n},i=1,\cdots,n+1yi=ki1e1+⋯+kinen,i=1,⋯,n+1令
z1y1+z2y2+⋯+zn+1yn+1=0z_1y_1+z_2y_2+\cdots+z_{n+1}y_{n+1}=0z1y1+z2y2+⋯+zn+1yn+1=0由e1,⋯,ene_1,\cdots,e_ne1,⋯,en线性无关，得到齐次方程组
{k11z1+⋯+k(n+1)1zn+1=0k12z1+⋯+k(n+1)2zn+1=0⋯k1nz1+⋯+k(n+1)nzn+1=0\begin{cases} k_{11}z_1+\cdots+k_{(n+1)1}z_{n+1}=0\\ k_{12}z_1+\cdots+k_{(n+1)2}z_{n+1}=0\\ \cdots\\ k_{1n}z_1+\cdots+k_{(n+1)n}z_{n+1}=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧k11z1+⋯+k(n+1)1zn+1=0k12z1+⋯+k(n+1)2zn+1=0⋯k1nz1+⋯+k(n+1)nzn+1=0由于变量个数大于方程个数，齐次方程必有非零解，从而y1,⋯,yn+1y_1,\cdots,y_{n+1}y1,⋯,yn+1线性相关
其次证明x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一组基，对任意x∈Vx\in Vx∈V，不妨设x≠xi,i=1,⋯,nx\neq x_i,i=1,\cdots,nx=xi,i=1,⋯,n，则x1,⋯,xn,xx_1,\cdots,x_n,xx1,⋯,xn,x线性相关，而x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn线性无关，从而xxx能被x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn唯一线性表示，对于xix_ixi，自然有
xi=0.x1+⋯+0.xi−1+1.xi+0.xi+1+⋯+0.xnx_i=0.x_1+\cdots+0.x_{i-1}+1.x_{i}+0.x_{i+1}+\cdots+0.x_nxi=0.x1+⋯+0.xi−1+1.xi+0.xi+1+⋯+0.xn因此，x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn是VVV的一组基

这也就意味着，只要你选择nnn个线性无关的向量，就能找到VVV的一组基。反过来，不存在一组基，也就是说，只要不是平凡的线性空间（只有零元），那么一定能找到一个非零的向量，如果dim⁡(V)≠1\dim(V)\neq 1dim(V)=1，那么说明，有一个向量不能被这个向量线性表示，加入到向量组中，就是两个线性无关的向量，以此类推，如果无论找多少个线性无关的向量(有限个)，都无法表示全空间，那么说明这个线性空间有"无穷个"基，这就不难理解为何称为无穷维线性空间了。

类似地，容易证明如下命题：

命题4.4 VVV是KKK上的线性空间，dim⁡(V)=n<∞\dim(V)=n<\inftydim(V)=n<∞，e1,⋯,ene_1,\cdots,e_ne1,⋯,en是VVV的一组基，则VVV中任意向量可表为e1,⋯,ene_1,\cdots,e_ne1,⋯,en的一个唯一的线性组合

与定义不同的是，这个命题强调线性组合系数的唯一性，这个唯一线性组合的系数称为xxx的坐标。当然，同一个向量在不同的基下，有不同的坐标，那么，同一个向量在不同基下的坐标，究竟有何联系呢？这就是基变换和坐标变换讨论的话题。

假设e1,⋯,ene_1,\cdots,e_ne1,⋯,en和ε1,⋯,εn\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_nε1,⋯,εn是nnn维线性空间VVV的两组基，那么按照基的定义：
{ε1=k11e1+k12e2+⋯+k1nenε2=k21e1+k22e2+⋯+k2nen⋯εn=kn1e1+kn2e2+⋯+knnen\begin{cases} \varepsilon_1=k_{11}e_1+k_{12}e_2+\cdots+k_{1n}e_n\\ \varepsilon_2=k_{21}e_1+k_{22}e_2+\cdots+k_{2n}e_n\\ \cdots\\ \varepsilon_n=k_{n1}e_1+k_{n2}e_2+\cdots+k_{nn}e_n \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ε1=k11e1+k12e2+⋯+k1nenε2=k21e1+k22e2+⋯+k2nen⋯εn=kn1e1+kn2e2+⋯+knnen这在形式上，就类似于向量空间上的线性变换，实际上，在下一章中，我们会讲到这是一种"特殊"的线性变换，是从一组基变换到另一组基的线性变换，只不过，这里的线性变换，比向量空间上线性变换更加"广义"。回到我们正在讨论的话题当中，假设x∈Vx\in Vx∈V在ε1,⋯,εn\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_nε1,⋯,εn下的坐标为x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn，则
x=x1ε1+⋯+xnεnx=x_1\varepsilon_1+\cdots+x_n\varepsilon_nx=x1ε1+⋯+xnεn于是，按照坐标的唯一性，设y1,⋯,yny_1,\cdots,y_ny1,⋯,yn是xxx在e1,⋯,ene_1,\cdots,e_ne1,⋯,en下的坐标，就有
{y1=x1k11+x2k21+⋯+xnkn1y2=x1k12+x2k22+⋯+xnkn2⋯yn=x1k1n+x2k2n+⋯+xnknn\begin{cases} y_1=x_1k_{11}+x_2k_{21}+\cdots+x_nk_{n1}\\ y_2=x_1k_{12}+x_2k_{22}+\cdots+x_nk_{n2}\\ \cdots\\ y_n=x_1k_{1n}+x_2k_{2n}+\cdots+x_nk_{nn} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=x1k11+x2k21+⋯+xnkn1y2=x1k12+x2k22+⋯+xnkn2⋯yn=x1k1n+x2k2n+⋯+xnknn很显然，同一个向量在两组基下的坐标，竟然是线性变换的关系。这就是在一般有限维线性空间上的基变换和坐标变换，更加具体的内容我们在下一章再作详细的补充。

子空间与商空间

子空间的定义

讨论每一个空间，我们都会给出子空间的概念，所谓子空间，就是空间的一个子集，但是这个子集不是任意的，一定是保有空间的最基本性质，对于线性空间，这个最基本的性质就是加法和数乘。

定义4.6 VVV是KKK上的线性空间，M⊂VM\subset VM⊂V，如果MMM满足：
(1)∀x1,x2∈M,x1+x2∈M\forall x_1,x_2\in M,x_1+x_2\in M∀x1,x2∈M,x1+x2∈M
(2)∀x∈M,∀k∈K,kx∈M\forall x\in M,\forall k\in K,kx\in M∀x∈M,∀k∈K,kx∈M
则称MMM是VVV的子空间

可见子空间就是就是线性空间保有加法和数乘运算的子集。该如何理解子空间呢？实际上，对于平面来说，过原点的直线上每一个点构成的集合就是平面的一个子空间，对空间来说，过原点的平面，过原点的直线的集合就是空间的子空间。可见，子空间的几何含义，就是空间中的平面或直线，平面中的直线，比原空间的维度要低。对有限维线性空间，任意子空间都是有限维线性空间，都有各自的一组基。

子空间的交空间、和空间

子空间是VVV的子集，自然可以考虑集合的运算，但是，两个子空间的并不一定还是子空间，但两个子空间之交还是子空间。

命题4.5 VVV是KKK上的线性空间，M1,M2M_1,M_2M1,M2是VVV的两个子空间，则M1∩M2M_1\cap M_2M1∩M2是VVV的子空间

只要按照子空间的定义直接验证即可，显然，交空间的维度小于两个子空间。更重要地，我们来考虑子空间的另一个运算——和空间。

定义4.7 VVV是KKK上的线性空间，M1,M2M_1,M_2M1,M2是VVV的两个子空间，
M1+M2={x1+x2:x1∈M1,x2∈M2}M_1+M_2=\{x_1+x_2:x_1\in M_1,x_2\in M_2\}M1+M2={x1+x2:x1∈M1,x2∈M2}称为M1,M2M_1,M_2M1,M2的和空间

当然，按照定义可以直接验证M1+M2M_1+M_2M1+M2是子空间。下面我们给出一个维度公式

命题4.6(维度公式) VVV是KKK上的有限维线性空间，V=M1+M2V=M_1+M_2V=M1+M2，则
dim⁡(V)=dim⁡(M1)+dim⁡(M2)−dim⁡(M1∩M2)\dim(V)=\dim(M_1)+\dim(M_2)-\dim(M_1\cap M_2)dim(V)=dim(M1)+dim(M2)−dim(M1∩M2)

线性空间的直和分解

下面我们先给出和空间的几何意义，我们知道，子空间在几何上表现为平面上的直线，空间上平面和直线。对平面上两条过原点不重合的直线，任一平面向量都可以唯一表示成两个子空间各取一个向量的和。

值得注意的是，这里我们加了"唯一"二字，说明，不仅能够分解，还能被唯一分解。下面我们给出直和分解的定义：

定义4.8 VVV是KKK上的线性空间，M1,M2M_1,M_2M1,M2是VVV的两个子空间，如果对于任意的x∈M1+M2x\in M_1+M_2x∈M1+M2，如果xxx的分解是唯一的，即：x=x1+x2=y1+y2,x1,y1∈M1,x2,y2∈M2x=x_1+x_2=y_1+y_2,x_1,y_1\in M_1,x_2,y_2\in M_2x=x1+x2=y1+y2,x1,y1∈M1,x2,y2∈M2，则x1=y1,x2=y2x_1=y_1,x_2=y_2x1=y1,x2=y2，则称M1,M2M_1,M_2M1,M2的和是直和，记为M1⊕M2M_1\oplus M_2M1⊕M2

把一个线性空间分解为两个子空间的直和，有两层含义：
(1)VVV的每一个向量能表为M1,M2M_1,M_2M1,M2向量的和(能分解)
(2)每一个向量分解式都是唯一的(分解的唯一性)
因此验证直和需要验证能分解以及分解的唯一性。

接下来，我们来给出判断是否是直和分解的另一些充要条件。

命题4.7 VVV是KKK上的有限维线性空间，M1,M2M_1,M_2M1,M2是两个子空间，V=M1+M2V=M_1+M_2V=M1+M2，则以下命题等价：
(1)V=M1⊕M2V=M_1\oplus M_2V=M1⊕M2
(2)M1∩M2=0M_1\cap M_2 = {0}M1∩M2=0
(3)0=x1+x2,x1∈M1,x2∈M20=x_1+x_2,x_1\in M_1,x_2\in M_20=x1+x2,x1∈M1,x2∈M2，则x1=x2=0x_1=x_2=0x1=x2=0
(4)dim⁡(V)=dim⁡(M1)+dim⁡(M2)\dim(V)=\dim(M_1)+\dim(M_2)dim(V)=dim(M1)+dim(M2)

证：
(1)→\rightarrow→(2)：
∀x∈M1∩M2\forall x \in M_1\cap M_2∀x∈M1∩M2，x=x+0=0+xx=x+0=0+xx=x+0=0+x
由分解的唯一性，就有x=0x=0x=0
(2)→\rightarrow→(3)：
由0=x1+x2,x1∈M1,x2∈M20=x_1+x_2,x_1\in M_1,x_2\in M_20=x1+x2,x1∈M1,x2∈M2，就有
x1=−x2∈M2x_1=-x_2\in M_2x1=−x2∈M2因此，x1∈M1∩M2x_1\in M_1\cap M_2x1∈M1∩M2，于是x1=0x_1=0x1=0，从而x2=0x_2=0x2=0
(3)→\rightarrow→(1)：
∀x∈V\forall x \in V∀x∈V，设x=x1+x2=y1+y2x=x_1+x_2=y_1+y_2x=x1+x2=y1+y2
其中x1,y1∈M1,x2,y2∈M2x_1,y_1\in M_1,x_2,y_2\in M_2x1,y1∈M1,x2,y2∈M2
于是，0=(x1−x2)+(y1−y2)0=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)0=(x1−x2)+(y1−y2)，因此
x1=x2,y1=y2x_1=x_2,y_1=y_2x1=x2,y1=y2从而V=M1⊕M2V=M_1\oplus M_2V=M1⊕M2

商空间与线性流形（未完成）

子空间是过原点的直线或平面，那么不过原点的直线或平面在一般的线性空间中应当如何表示呢？实际上，不过原点的直线可以考虑成过原点的直线再平移一个向量，整个平面就被这些密密麻麻的直线划分成若干个部分，以每一条直线作为向量，再赋予加法和数乘运算，又可以产生一个新的线性空间。