（邱维声）高等代数课程笔记：矩阵的加法，数量乘法与乘法

\quad 前面已经看到，矩阵的初等行变换、矩阵的秩 在线性方程组理论中起着非常重要的作用，因此，系统地研究一下矩阵是非常有必要的。

\quad 本节主要讨论这样一件事情：虽然矩阵是一张“表格”，能否对矩阵引入 运算?

\quad 一般地，我们在数域 K K K 中讨论矩阵。考虑集合

M s × n ( K ) : = { 数域 K 上的 s × n 级矩阵 } . M_{s\times n}(K):= \{\text{数域} ~ K \text{上的} ~ s\times n ~ \text{级矩阵}\}. Ms×n(K):={数域 K上的 s×n 级矩阵}.

\quad 特别地，当 s = n s = n s=n 时，将其记为 M n ( K ) M_{n}(K) Mn(K).

相等：设 A , B ∈ M s × n A,B \in M_{s \times n} A,B∈Ms×n，则 A = B ⟺ A = B \Longleftrightarrow A=B⟺ A A A 与 B B B 行数、列数相等，对应元素也相等。

\quad 类似于数域 K K K 上 n \color{blue} n n 元有序数组关于加法与数量乘法的定义，可以定义矩阵的加法与数量乘法。

定义 1. 矩阵的加法： ( a i j ) s × n + ( b i j ) s × n : = ( a i j + b i j ) s × n (a_{ij})_{s \times n} + (b_{ij})_{s \times n} := (a_{ij} + b_{ij})_{s \times n} (aij)s×n+(bij)s×n:=(aij+bij)s×n. 即：

( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a s 1 ⋯ a s n ) + ( b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ b s 1 ⋯ b s n ) : = ( a 11 + b 11 ⋯ a 1 n + b 1 n ⋮ ⋮ a s 1 + b s 1 ⋯ a s n + b s n ) \left(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{s1} &\cdots &a_{sn} \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ b_{s1} &\cdots &b_{sn} \end{matrix}\right) := \left(\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{s1} + b_{s1} &\cdots & a_{sn} + b_{sn} \end{matrix}\right) a11⋮as1⋯⋯a1n⋮asn + b11⋮bs1⋯⋯b1n⋮bsn := a11+b11⋮as1+bs1⋯⋯a1n+b1n⋮asn+bsn

\quad 显然，矩阵的加法要求参与运算的两个矩阵的行列数分别相等。我们称行列数相等的两个矩阵为同型矩阵。

定义 2. 矩阵的数量乘法： ∀ k ∈ K , k ⋅ ( a i j ) s × n : = ( k ⋅ a i j ) s × n \forall ~ k \in K,~ k \cdot (a_{ij})_{s\times n}:=(k\cdot a_{ij})_{s \times n} ∀ k∈K, k⋅(aij)s×n:=(k⋅aij)s×n. 即：

k ⋅ ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a s 1 ⋯ a s n ) = ( k ⋅ a 11 ⋯ k ⋅ a 1 n ⋮ ⋮ k ⋅ a s 1 ⋯ k ⋅ a s n ) k \cdot \left(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{s1} &\cdots &a_{sn} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} k \cdot a_{11} & \cdots & k \cdot a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ k \cdot a_{s1} &\cdots &k \cdot a_{sn} \end{matrix}\right) k⋅ a11⋮as1⋯⋯a1n⋮asn = k⋅a11⋮k⋅as1⋯⋯k⋅a1n⋮k⋅asn

\quad 至此，我们在 M s × n ( K ) M_{s\times n}(K) Ms×n(K) 上定义了加法与数量乘法。容易联想到上一章的线性空间，自然而然地会考虑： M s × n ( K ) M_{s\times n}(K) Ms×n(K) 是否成为数域 K K K 上一个线性空间？答案是肯定的，可以进行验证。

\quad 简单地验证一下。

按照定义，如上定义的矩阵的加法与数量乘法可归结为相应运算的加法与数量乘法。而由数的运算法则，容易验证： M s × n ( K ) M_{s\times n}(K) Ms×n(K) 满足线性空间定义 8 8 8 条运算中的 1 o , 2 o , 5 o , 6 o , 7 o , 8 o 1^{o},2^{o},5^{o},6^{o},7^{o},8^{o} 1o,2o,5o,6o,7o,8o. 因此，我们主要的工作是判断 3 o , 4 o 3^{o},4^{o} 3o,4o 是否成立？

显然， M s × n ( K ) M_{s \times n}(K) Ms×n(K) 中存在 零元：元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 0 s × n 0_{s\times n} 0s×n.

显然，对于 ∀ A ∈ M s × n ( K ) \forall ~ A\in M_{s\times n}(K) ∀ A∈Ms×n(K)， A A A 有 负元：将矩阵 A A A 中的每个元素取反号，即可得到 A A A 的负矩阵，可记作 − A -A −A。

另外，利用负矩阵，可以定义矩阵的减法： A − B : = A + ( − B ) A - B:= A + (-B) A−B:=A+(−B).

综上， M s × n ( K ) M_{s\times n}(K) Ms×n(K) 是数域 K K K 上的一个线性空间。

\quad 现在，我们要讨论的是：可否对矩阵定义乘法？一种非常直觉的方式是：对两个同型矩阵，定义它们的“乘积”为对应元素相乘。显然，这种定义是受到前面 定义 1 与 定义 2 的启发，但遗憾的是，这种简单的定义的实际应用并不多，并不受欢迎，因而没有太大的应用价值。

\quad 下面介绍的矩阵乘法无论是在理论上、还是在实际应用中，都是非常受欢迎的定义方式。我们以一个具体的几何问题为背景，从 映射 的角度来引出矩阵的乘法。

\quad 在平面上取定一个直角坐标系 x O y xOy xOy，将所有以原点为起点的向量构成的集合记作 V V V. 考虑 V V V 中的旋转变换。

\quad 任取 P ⃗ ∈ V , P ⃗ = ( x , y ) \vec{P} \in V,\vec{P} = (x,y) P ∈V,P =(x,y)，利用极坐标表示，则有：

{ x = r cos ⁡ α y = r sin ⁡ α \begin{cases} x = r\cos \alpha\\ y = r\sin \alpha \end{cases} {x=rcosαy=rsinα

\quad 设 σ \boldsymbol{\sigma} σ 为 V V V 中的一个旋转变换，它将 V V V 中的任意向量绕原点 O O O 逆时针旋转角度 θ \theta θ. 设 P ⃗ \vec{P} P 在 σ \boldsymbol{\sigma} σ 下的像为 P ′ ⃗ \vec{P'} P′ ，则：

{ x ′ = r cos ⁡ ( α + θ ) y ′ = r sin ⁡ ( α + θ ) \begin{cases} x' = r\cos(\alpha + \theta) \\ y' = r \sin(\alpha + \theta) \end{cases} {x′=rcos(α+θ)y′=rsin(α+θ)

由于

r cos ⁡ ( α + θ ) = r cos ⁡ α cos ⁡ θ − r sin ⁡ α sin ⁡ θ = x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ r sin ⁡ ( α + θ ) = r sin ⁡ α cos ⁡ θ + r cos ⁡ α sin ⁡ θ = x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ \begin{aligned} r\cos(\alpha + \theta) &= r\cos\alpha \cos \theta - r\sin \alpha \sin \theta = x \cos \theta - y \sin \theta \\ r \sin(\alpha + \theta) &= r \sin \alpha \cos \theta + r \cos \alpha \sin \theta = x \sin \theta + y \cos \theta \end{aligned} rcos(α+θ)rsin(α+θ)=rcosαcosθ−rsinαsinθ=xcosθ−ysinθ=rsinαcosθ+rcosαsinθ=xsinθ+ycosθ

因此：

{ x ′ = x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ y ′ = x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ \begin{cases} x' = x \cos \theta - y \sin \theta \\ y' = x \sin \theta + y \cos \theta \end{cases} {x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ

自然而然地，在分析 ( x , y ) (x,y) (x,y) 与 ( x ′ , y ′ ) (x',y') (x′,y′) 的关系时，我们会考虑到矩阵

( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) \left(\begin{matrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right) (cosθsinθ−sinθcosθ)

显然，这个矩阵是与旋转变换 σ \boldsymbol{\sigma} σ 相对应的。

\quad 现在，我们多考虑几个旋转变换：

绕原点 O O O 逆时针旋转角度 θ \theta θ 的旋转变换记作 σ \boldsymbol{\sigma} σ，则 σ \boldsymbol{\sigma} σ 对应一个矩阵，不妨记作 A A A，即：

A = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) A = \left(\begin{matrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right) A=(cosθsinθ−sinθcosθ)

绕原点 O O O 逆时针旋转角度 φ \varphi φ 的旋转变换记作 τ \boldsymbol{\tau} τ，则 τ \boldsymbol{\tau} τ 对应一个矩阵，不妨记作 B B B，即：

B = ( cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) B = \left(\begin{matrix} \cos \varphi & -\sin\varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{matrix}\right) B=(cosφsinφ−sinφcosφ)

绕原点 O O O 逆时针旋转角度 ( θ + φ ) (\theta + \varphi) (θ+φ) 的旋转变换记作 τ ⋅ σ \boldsymbol{\tau \cdot \sigma} τ⋅σ，则 τ ⋅ σ \boldsymbol{\tau \cdot \sigma} τ⋅σ 对应一个矩阵，不妨记作 C C C，即：

C = ( cos ⁡ ( θ + φ ) − sin ⁡ ( θ + φ ) sin ⁡ ( θ + φ ) cos ⁡ ( θ + φ ) ) = ( cos ⁡ θ cos ⁡ φ − sin ⁡ θ sin ⁡ φ − sin ⁡ θ cos ⁡ φ − cos ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ cos ⁡ φ + cos ⁡ θ sin ⁡ φ cos ⁡ θ cos ⁡ φ − sin ⁡ θ sin ⁡ φ ) C = \left(\begin{matrix} \cos (\theta+\varphi) & -\sin (\theta+\varphi)\\ \sin (\theta+\varphi) & \cos (\theta+\varphi) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \cos \theta \cos \varphi - \sin \theta \sin \varphi & - \sin \theta \cos \varphi - \cos \theta \sin\varphi \\ \sin \theta \cos \varphi + \cos \theta \sin\varphi & \cos \theta \cos \varphi - \sin \theta \sin \varphi \end{matrix}\right) C=(cos(θ+φ)sin(θ+φ)−sin(θ+φ)cos(θ+φ))=(cosθcosφ−sinθsinφsinθcosφ+cosθsinφ−sinθcosφ−cosθsinφcosθcosφ−sinθsinφ)

\quad 注意这样一件事情：旋转角度 ( θ + φ ) (\theta + \varphi) (θ+φ) 与“先旋转角度 θ \theta θ，再旋转角度 φ \varphi φ” 本质上是一回事。于是，我们有理由定义：

C = A ⋅ B , C = A \cdot B, C=A⋅B,

即：

( cos ⁡ ( θ + φ ) − sin ⁡ ( θ + φ ) sin ⁡ ( θ + φ ) cos ⁡ ( θ + φ ) ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) ⋅ ( cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) \left(\begin{matrix} \cos (\theta+\varphi) & -\sin (\theta+\varphi)\\ \sin (\theta+\varphi) & \cos (\theta+\varphi) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \cos \theta & \sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} \cos \varphi & -\sin\varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{matrix}\right) (cos(θ+φ)sin(θ+φ)−sin(θ+φ)cos(θ+φ))=(cosθsinθsinθcosθ)⋅(cosφsinφ−sinφcosφ)

\quad 由此受到启发，定义定义矩阵的乘法。

定义 3. 矩阵的乘法：设 A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n × m A = (a_{ij})_{s\times n}, ~ B =(b_{ij})_{n \times m} A=(aij)s×n, B=(bij)n×m，则定义：

C = A ⋅ B . C = A \cdot B. C=A⋅B.

其中， C = ( c i j ) s × m C = (c_{ij})_{s \times m} C=(cij)s×m，且：

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j = ∑ k = 1 n a i k b k j . c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}. cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=k=1∑naikbkj.

\quad 从 定义 3 中可以看到：

参与乘法运算的两个矩阵要满足条件：左矩阵的列数等于右矩阵的行数；
矩阵乘积的行数等于左矩阵的行数，矩阵乘积的列数等于右矩阵的列数。

为了突出上述特点，矩阵乘法可以表示为：

A s × n ⋅ B n × m = C s × m . A_{s\times n} \cdot B_{n \times m} = C_{s\times m}. As×n⋅Bn×m=Cs×m.

\quad 另外，需要特别指出的是：上述定义的矩阵乘法不满足 交换律！

例 1：

A = ( 1 2 0 0 ) , B = ( 0 0 0 1 ) A = \left(\begin{matrix} 1 & 2\\ 0 & 0 \end{matrix}\right),~ B = \left(\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right) A=(1020), B=(0001)

但

A B = ( 0 2 0 0 ) , B A = ( 0 0 0 0 ) AB =\left(\begin{matrix} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{matrix}\right),~ BA = \left(\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right) AB=(0020), BA=(0000)

显然 A B ≠ B A AB \ne BA AB=BA.

例 2：可以利用矩阵重新定义 n n n 维向量：

n n n 维行向量可视为 1 × n 1\times n 1×n 级矩阵；
n n n 维列向量可视为 n × 1 n \times 1 n×1 级矩阵。

根据矩阵乘法，有：

( 1 , 1 , ⋯ , 1 ) ( 1 1 ⋮ 1 ) = 1 , ( 1 1 ⋮ 1 ) ( 1 , 1 , ⋯ , 1 ) = ( 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 ) \left(1,1,\cdots,1\right)\left(\begin{matrix} 1\\1\\\vdots \\ 1 \end{matrix}\right) = 1,\left(\begin{matrix} 1\\1\\\vdots \\ 1 \end{matrix}\right) \left(1,1,\cdots,1\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ 1 & 1 &\cdots & 1 \end{matrix} \right) (1,1,⋯,1) 11⋮1 =1, 11⋮1 (1,1,⋯,1)= 11⋮111⋮1⋯⋯⋯11⋮1

\quad 定义了运算之后，自然要考虑运算的运算法则。下面，我们来讨论矩阵的运算法则。

1 o 1^{o} 1o：由于 M s × n ( K ) M_{s\times n}(K) Ms×n(K) 是数域 K K K 上的一个线性空间，因此若 A , B , C ∈ M s × n ( K ) , k , l ∈ K A,B,C \in M_{s\times n}(K),~ k,l\in K A,B,C∈Ms×n(K), k,l∈K，则：

A + B = B + A A + B = B + A A+B=B+A;
( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A + B) + C = A + (B + C) (A+B)+C=A+(B+C);
A + O = O + A = A A + O = O + A = A A+O=O+A=A;
A + ( − A ) = ( − A ) + A = O A + (-A) = (-A) + A = O A+(−A)=(−A)+A=O;
1 ⋅ A = A 1 \cdot A = A 1⋅A=A;
( k ⋅ l ) ⋅ A = k ⋅ ( l ⋅ A ) (k\cdot l) \cdot A = k \cdot (l \cdot A) (k⋅l)⋅A=k⋅(l⋅A);
( k + l ) ⋅ A = k ⋅ A + l ⋅ A (k + l) \cdot A = k \cdot A + l \cdot A (k+l)⋅A=k⋅A+l⋅A;
k ⋅ ( A + B ) = k ⋅ A + k ⋅ B k \cdot (A + B) = k \cdot A + k \cdot B k⋅(A+B)=k⋅A+k⋅B.

2 o 2^{o} 2o：映射的乘法（复合）具有结合律，我们以映射的乘法为背景引入了矩阵的乘法，于是可以猜测：矩阵的乘法具有结合律，即：

( A B ) C = A ( B C ) . (AB) C = A(BC). (AB)C=A(BC).

猜测是正确的，现在给出证明。

证明：

\quad 前面已经叙述过什么是“矩阵的相等”，简单来说就是：形状相同，对应元素也相同。

\quad 由矩阵乘法的定义， ( A B ) C (AB)C (AB)C 与 A ( B C ) A(BC) A(BC) 的形状显然是相同的。

\quad 现在验证第二点，对应元素相同。设 A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n m , C = ( c i j ) m × r A = (a_{ij})_{s \times n},B = (b_{ij})_{nm},C = (c_{ij})_{m\times r} A=(aij)s×n,B=(bij)nm,C=(cij)m×r，则：

[ ( A B ) C ] ( i , j ) = ∑ l = 1 m [ ( A B ) ( i , l ) ] c l j = ∑ l = 1 m ( ∑ k = 1 n a i k b k l ) c l j = ∑ l = 1 m ( ∑ k = 1 n a i k b k l c l j ) [ A ( B C ) ] ( i , j ) = ∑ k = 1 n a i k [ ( B C ) ( k , j ) ] = ∑ k = 1 n a i k ( ∑ l = 1 m b k l c l j ) = ∑ k = 1 n ( ∑ l = 1 m a i k b k l c l j ) \begin{aligned} [(AB)C](i,j) &= \sum_{l=1}^{m}\left[(AB)(i,l)\right]c_{lj} \\ &= \sum_{l=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kl}\right)c_{lj} \\ & = \sum_{l=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kl}c_{lj}\right) \\ [A(BC)](i,j) &= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}[(BC)(k,j)] \\ &= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\left(\sum_{l = 1}^{m}b_{kl}c_{lj}\right) \\ & = \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{l=1}^{m}a_{ik}b_{kl}c_{lj}\right) \end{aligned} [(AB)C](i,j)[A(BC)](i,j)=l=1∑m[(AB)(i,l)]clj=l=1∑m(k=1∑naikbkl)clj=l=1∑m(k=1∑naikbklclj)=k=1∑naik[(BC)(k,j)]=k=1∑naik(l=1∑mbklclj)=k=1∑n(l=1∑maikbklclj)

显然， [ ( A B ) C ] ( i , j ) = [ A ( B C ) ] ( i . j ) [(AB)C](i,j) = [A(BC)](i.j) [(AB)C](i,j)=[A(BC)](i.j). 综上，结论成立。

3 o 3^{o} 3o：前面举例过，矩阵的乘法不满足交换律。但在某些特定情况下，矩阵的乘法也可以交换。主对角线上元素全为 1 1 1，其余元素全为 0 0 0 的 n n n 级方阵称为 n \color{blue} n n 级单位矩阵，记作 I n I_{n} In. 在不引发混淆的情况下，可简记作 I I I.

( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) \left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 &0 & \cdots &1 \end{matrix}\right) 10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1

\quad 容易验证：

I s ⋅ A s × n = A s × n , A s × n ⋅ I n = A s × n . I_{s} \cdot A_{s\times n} = A_{s\times n},~ A_{s\times n} \cdot I_{n} = A_{s\times n}. Is⋅As×n=As×n, As×n⋅In=As×n.

特别地，若 A A A 为 n n n 级方阵，则有：

I ⋅ A = A ⋅ I = A ( 可交换 ) . I\cdot A = A \cdot I =A ~ ~ (\text{可交换}). I⋅A=A⋅I=A (可交换).

4 o 4^{o} 4o：矩阵的乘法不满足消去律。

例 3：

A = ( 1 2 3 4 ) , B = ( 0 3 2 5 ) , C = ( 1 1 1 1 ) A = \left(\begin{matrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{matrix}\right), ~ B = \left(\begin{matrix} 0 & 3\\ 2 & 5 \end{matrix}\right), ~ C = \left(\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix}\right) A=(1324), B=(0235), C=(1111)

显然，

A C = ( 1 2 3 4 ) ( 1 1 1 1 ) = ( 3 3 7 7 ) AC = \left(\begin{matrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 3 & 3\\ 7 & 7 \end{matrix}\right)\\ AC=(1324)(1111)=(3737)

B C = ( 0 3 2 5 ) ( 1 1 1 1 ) = ( 3 3 7 7 ) BC = \left(\begin{matrix} 0 & 3\\ 2 & 5 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 3 & 3\\ 7 & 7 \end{matrix}\right) BC=(0235)(1111)=(3737)

虽然 A C = B C , C ≠ O AC=BC,C \ne O AC=BC,C=O，但 A ≠ B A\ne B A=B.

5 o 5^{o} 5o：矩阵的加法与乘法有分配律，但由于矩阵乘法不满足交换律，因此有：

A ( B + C ) = A B + A C ( 左分配律 ) ( B + C ) D = B D + C D ( 右分配律 ) \begin{aligned} A(B+C) &= AB + AC \quad (\text{左分配律}) \\ (B+C)D &= BD + CD \quad (\text{右分配律}) \end{aligned} A(B+C)(B+C)D=AB+AC(左分配律)=BD+CD(右分配律)

6 o 6^{o} 6o：矩阵的乘法与数量乘法具有相容性。

k ⋅ ( A B ) = ( k ⋅ A ) B = A ( k ⋅ B ) , ∀ k ∈ K . k \cdot (AB) = (k \cdot A) B = A (k \cdot B),\quad \forall ~ k \in K. k⋅(AB)=(k⋅A)B=A(k⋅B),∀ k∈K.

7 o 7^{o} 7o：由于矩阵的乘法具有结合律，因此可以定义矩阵的幂：

n n n 级方阵 A A A 的非负整数次幂：

A n = A ⋅ A ⋅ ⋯ A ⏟ n 个 , n ∈ Z + . A^n=\begin{array}{c} \underbrace{A\cdot A\cdot \cdots A}\\ n\text{个}\\ \end{array},\quad n \in \mathbb{Z}^{+}. An= A⋅A⋅⋯An个,n∈Z+.

特别地，规定：

A 0 = I . A^{0} = I. A0=I.

容易验证：

A k ⋅ A l = A k + l , ( A k ) l = A k l , ∀ k , l ∈ N . A^{k} \cdot A^{l} = A^{k+l},~ (A^{k})^{l} = A^{kl},\quad \forall ~ k,l \in \mathbb{N}. Ak⋅Al=Ak+l, (Ak)l=Akl,∀ k,l∈N.

8 o 8^{o} 8o：容易验证，矩阵地加法、数乘与矩阵地转置满足：

( A + B ) ′ = A ′ + B ′ (A+B)' = A' + B' (A+B)′=A′+B′;
( k ⋅ A ) ′ = k ⋅ A ′ (k \cdot A)' = k \cdot A' (k⋅A)′=k⋅A′;
( A B ) ′ = B ′ A ′ (AB)' = B'A' (AB)′=B′A′.

\quad 下面，探讨矩阵乘法的第二种表示方式。首先，做一些符号说明：

若矩阵 A A A 的列向量组为 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn，则可将 A A A 形式地记作：

A = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) . A = (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}). A=(α1,α2,⋯,αn).

若矩阵 A A A 的行向量组为 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s \boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{s} γ1,γ2,⋯,γs，则也可将 A A A 形式地记作：

A = ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ s ) T . A = (\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{s})^{T}. A=(γ1,γ2,⋯,γs)T.

\quad 设 A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n × m A = (a_{ij})_{s\times n},~ B = (b_{ij})_{n\times m} A=(aij)s×n, B=(bij)n×m. 若 A A A 的列向量组为 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn，则：

A B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n ) ⋅ ( b 11 b 12 ⋯ b 1 m b 21 b 22 ⋯ b 2 m ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m ) \begin{aligned} AB &= \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \end{matrix}\right) \end{aligned} AB= a11a21⋮as1a12a22⋮as2⋯⋯⋯a1na2n⋮asn ⋅ b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2⋯⋯⋯b1mb2m⋮bnm

按照矩阵乘法的定义， A B AB AB 的第 j j j 列为：

( ∑ k = 1 n a 1 k b k j ∑ k = 1 n a 2 k b k j ⋮ ∑ k = 1 n a s k b k j ) = ( a 11 b 1 j + a 12 b 2 j + ⋯ + a 1 n b n j a 21 b 1 j + a 22 b 2 j + ⋯ + a 2 n b n j ⋮ a s 1 b 1 j + a s 2 b 2 j + ⋯ + a s n b n j ) = b 1 j α 1 + b 2 j α 2 + ⋯ + b n j α n \begin{aligned} \left(\begin{matrix} \sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{kj}\\ \sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{kj}\\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n}a_{sk}b_{kj} \end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix} a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j} + \cdots + a_{1n}b_{nj} \\ a_{21}b_{1j} + a_{22}b_{2j} + \cdots + a_{2n}b_{nj} \\ \vdots\\ a_{s1}b_{1j} + a_{s2}b_{2j} + \cdots + a_{sn}b_{nj} \end{matrix}\right) \\ &= b_{1j}\boldsymbol{\alpha}_{1} + b_{2j} \boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots + b_{nj} \boldsymbol{\alpha}_{n} \end{aligned} ∑k=1na1kbkj∑k=1na2kbkj⋮∑k=1naskbkj = a11b1j+a12b2j+⋯+a1nbnja21b1j+a22b2j+⋯+a2nbnj⋮as1b1j+as2b2j+⋯+asnbnj =b1jα1+b2jα2+⋯+bnjαn

从而

A B = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 m b 21 b 22 ⋯ b 2 m ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m ) = ( ∑ k = 1 n b k 1 α k , ∑ k = 1 n b k 2 α k , ⋯ , ∑ k = 1 n b k m α k ) \begin{aligned} AB &= (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}) \left(\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm} \end{matrix}\right)\\ &= \left(\sum_{k=1}^{n}b_{k1}\boldsymbol{\alpha}_{k},\sum_{k=1}^{n}b_{k2}\boldsymbol{\alpha}_{k},\cdots,\sum_{k=1}^{n}b_{km}\boldsymbol{\alpha}_{k}\right) \end{aligned} AB=(α1,α2,⋯,αn) b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2⋯⋯⋯b1mb2m⋮bnm =(k=1∑nbk1αk,k=1∑nbk2αk,⋯,k=1∑nbkmαk)

\quad 上述过程表明了： A A A 的列向量组与 B B B 的每一列的对应元素的乘积之和正是 A B AB AB 对应的列向量。换言之， A B AB AB 的列向量组可由 A A A 的列向量组线性表出。

\quad 分别记 A B AB AB 与 A A A 的列向量组为 ( I ) , ( I I ) (I),(II) (I),(II)，则由线性表出的性质可得：

r a n k ( A B ) = r a n k ( I ) ≤ r a n k ( I I ) = r a n k ( A ) . rank(AB) = rank(I) \le rank(II) = rank(A). rank(AB)=rank(I)≤rank(II)=rank(A).

\quad 前面是考虑的列向量组的情形，实际上，完全可以按照相似的流程探讨行向量组的情形。具体细节不再赘述。此时，同样可有结论：

r a n k ( A B ) ≤ r a n k ( B ) . rank(AB) \le rank(B). rank(AB)≤rank(B).

\quad 综上，

r a n k ( A B ) ≤ min ⁡ { r a n k ( A ) , r a n k ( B ) } . rank(AB) \le \min\{rank(A),rank(B)\}. rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}.

参考：

邱维声. 高等代数课程.

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