高等代数--多项式与线性空间

1.多项式的定义：

形如 f（x）= an*x^n+.......ai*x^i+...a0 ，叫做多项式，其中ai 是系数，x 是未知数，i 叫做指数。

若an 不为0称f（x）位 n 次多项式，记作 deg f（x）

如果 a0 ！=0，且 ai ==0 （i=1.2....n）则称f（x）为零次多项式，f（x）=b；等同于K 中非零元

规定 0 多项式的次数，deg0 = -INF ；

deg(f(x)+g(x))=max(degf(x),deg g(x));

deg(f(x)*g(x)) =degf(x)+deg g(x);

多项式加法满足结合律、交换律，多项式乘法满足交换律与结合律。

2.环的定义。

定义一个非空集合R，如果有两个代数运算，加法与乘法。

那么 a, b 是集合中的两个元。

且满足加法与乘法，结合律，交换律，分配率，那么称这个集合R是一个环

3.线性空间的定义：

设有一个多项式k[x]可以由

集合 s={1，x, x^2,........x^n}重的有限多个多项式线性表示，任意取s中的一个子集s1={x^i.....x^j};

设 k1x^i+............km*x^j=0;

显然k1...km=0,因此s1是线性无关的，从而 s 线性无关所以s 是 k【x】的一个基。

从而 k【x】是无限维度的线性空间。

4.一元多项式环

设R是一个环，R对加法封闭，R对乘法封闭。

1>若R 的乘法满足交换律，称 R 是交换环

2>若R中有一个元素e,a是一个元

s.t a*e=e*a =a ，则称 e是单位元，如果还有单位元，单位元只有一个。

3>如果a 属于 R 如果存在 b 属于R 且 b 不为0 使得 a*b=0；

则称a 是一个左零因子或右乘因子。

特别的 0 成为特别0因子

子环的定义：

如果对于R的加法和乘法运算也成为一个环，则称环R 的一个非空子集合 R1是R的一个子环，

定义如果 R1中任意元 a 属于 R1，且 -a 属于R1则称R 1是R的一个子环。

同构映射的应用：

这里直接简化来理解：

因为（x+3)^2 =（x^2+6*x+9）

设矩阵A ，单位矩阵 I；

显然有子环定义矩阵矩阵 I是矩阵 A 的一个子环。

那么（A+3*I）^2= A^2+6*A+9*I(把A 看作x ，I看作常数 1)；

同构映射，一个双映射中元素是一一对应的，且对加法运算和乘法运算保持封闭

例如：f（x）+g（x）=h（x），f（x）*g（x）=p（x）

定理1

设K是一个数域，R 是一个由单位环 I 的交换环，且K到R1 有一个同构映射 t

上图表示的是任意给 t 属于 R ，令k【x】------>R 的映射

设t 是 f【x】的同构映射，由于 f（x）的表示方法唯一。

通用性质：设 f（x）+g（x）=h（x），f（x）*g（x）=p（x）；

则 f（t）+g（t）=h（t），f（t）*g（t）=p（t）用t 带入。

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