矩阵论笔记(一) - 线性空间、线性子空间、矩阵的值域和核空间

文章目录

1.线性空间
- 1.1 线性空间的定义
- 1.2 线性空间的性质
- 1.3 线性空间的维数
- 1.4 线性空间的基
- 1.5 基变换与坐标变换
- - 1.5.1 基变换：
  - 1.5.2 坐标变换：
2. 线性子空间
- 2.1 定义
- 2.2 性质
- 2.3 子空间的运算
- - 2.3.1 和空间
  - 2.3.2 交空间
3. 矩阵的值域、核空间
- 3.1 向量张成的空间
- 3.2 矩阵的值域
- 3.3 矩阵的核空间

1.线性空间

1.1 线性空间的定义

设非空集合 V V V，一个数域 K K K， x , y , z ∈ V x,y,z \in V x,y,z∈V， k , l ∈ K k,l\in K k,l∈K，如果 V V V满足加法封闭和数乘封闭，则称 V V V为线性空间。

加法封闭：加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。

数乘封闭：数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。

1.2 线性空间的性质

零元素唯一
任一元素的负元素唯一
设数 k , 0 , 1 ∈ K k,0,1\in K k,0,1∈K，向量 x , 0 , − x ∈ V x, 0, -x \in V x,0,−x∈V，有：
- 0 x = 0 0x=0 0x=0
- ( − 1 ) x = − x (-1)x=-x (−1)x=−x
- k 0 = 0 k0=0 k0=0
- 若 k x = 0 kx=0 kx=0, 则 k = 0 k=0 k=0 或 x = 0 x=0 x=0

1.3 线性空间的维数

线性空间 V V V中线性无关向量组所含向量最大个数 n n n，称为 V V V的维数，记作 d i m V = n dimV = n dimV=n。

n n n 维线性空间记作 V n V^n Vn。

1.4 线性空间的基

n n n维线性空间中，任意 n n n个线性无关的向量 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，构成该空间的一组基。这n个线性无关的向量称作基向量。

空间中任意一个向量 x x x 可由这组基唯一表示，即 x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n x=a1x1+a2x2+...+anxn 。
此时，称 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an 为 x x x 在该基下的坐标，记为 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T [a_1, a_2, ..., a_n]^T [a1,a2,...,an]T。

向量 x x x在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 下的矩阵表示为：
x = [ x 1 x 2 . . . x n ] ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} x=[x1x2...xn]⋅⎣⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎤

1.5 基变换与坐标变换

1.5.1 基变换：

设 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 是空间 V n V^n Vn 的旧基， y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn 是新基。新基可以用旧基表示为
[ y 1 y 2 . . . y n ] = [ x 1 x 2 . . . x n l i a n g g e ] ⋅ C n × n \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n} [y1y2...yn]=[x1x2...xnliangge]⋅Cn×n
其中，矩阵 C n × n C_{n×n} Cn×n为 (旧基到新基的) 过渡矩阵。

1.5.2 坐标变换：

向量 x x x在旧基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn下的矩阵表示：
(1) x = [ x 1 x 2 . . . x n ] ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1} x=[x1x2...xn]⋅⎣⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎤(1)
其中， [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T [a_1, a_2, ..., a_n]^T [a1,a2,...,an]T为 x x x 在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn下的坐标。

向量 x x x在新基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn下的矩阵表示：
(2) x = [ y 1 y 2 . . . y n ] ⋅ [ b 1 b 2 . . . b n ] x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2} x=[y1y2...yn]⋅⎣⎢⎢⎡b1b2...bn⎦⎥⎥⎤(2)
其中， [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] T [b_1, b_2, ..., b_n]^T [b1,b2,...,bn]T为 x x x 在基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn下的坐标。
由式(1)=式(2)，得
[ b 1 b 2 . . . b n ] = C − 1 ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡b1b2...bn⎦⎥⎥⎤=C−1⋅⎣⎢⎢⎡a1a2...an⎦⎥⎥⎤
称作 向量 x x x在基变换C下的坐标变换公式。

个人理解：

对线性空间作变换，也就是对线性空间的基做变换。（这是因为，线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示，即一组基可决定一个空间。但是，一个空间可对应不同的多组基）

线性空间中的一个向量本身是不变的，但对基作变换后，基改变，从而基下的坐标改变，称为坐标变换，即，同一向量在不同基下的表示是不同的。

2. 线性子空间

2.1 定义

V 1 V_1 V1是线性空间 V V V的非空子集和， V 1 V_1 V1中满足数乘封闭和加法封闭，则称 V 1 V_1 V1是 V V V的线性子空间或子空间。

个人理解：三维空间中的一个过原点的二维平面，或一条过原点的直线，都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

2.2 性质

线性子空间也是线性空间。（定义中满足数乘、加法封闭，即线性子空间首先要是线性的）
非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身以及零空间he。
一个线性空间的子空间，其维数小于等于线性空间的维数（显然）。

延伸：n元齐次线性方程组的解空间 W W W 是 n n n维向量空间 V n V^n Vn 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。

2.3 子空间的运算

2.3.1 和空间

V 1 + V 2 = { x 1 + x 2 ∣ x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \} V1+V2={x1+x2 ∣ x1∈V1,x2∈V2}

2.3.2 交空间

V 1 ∩ V 2 = { a ∣ a ∈ V 1 且 a ∈ V 2 } V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \} V1∩V2={a ∣ a∈V1且a∈V2}

3. 矩阵的值域、核空间

3.1 向量张成的空间

x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn张成的空间，记为
V 1 = L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = { k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k n x n } V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \} V1=L(x1,x2,...,xn)={k1x1+k2x2+...+knxn}其中 k i k_i ki为常数。

个人理解：类似以向量组为基所生成的空间。

3.2 矩阵的值域

矩阵 A ∈ C m × n A\in C^{m×n} A∈Cm×n的 n n n 个列向量为 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an，则矩阵A的值域为 R ( A ) = L ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = { y ∣ y = A x } R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \} R(A)=L(a1,a2,...,an)={y ∣ y=Ax}

个人理解：矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间。
若把 A A A 看作一种线性变换，那么矩阵的值域 y = A x y=Ax y=Ax 为线性空间中的原向量 x x x 经线性变换后所得到的象。

3.3 矩阵的核空间

N ( A ) = { x ∣ A x = 0 } N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \} N(A)={x ∣ Ax=0}
核空间也叫零空间，零空间的维数为零度，记作 n ( A ) n(A) n(A) 。

个人理解：使 A x = 0 Ax=0 Ax=0 成立的 x x x。
若把 A A A 看作一种线性变换，那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量（原象）。