虚数的意义，虚数到底是什么

四轴飞行姿态的解算需要用到虚数、四元数，无奈重温高等数学，BetterExplained上面有关于虚数的非常好的解释，很浅显易懂，转给大家参考。

四轴飞行姿态的解算需要用到虚数、四元数，无奈重温高等数学， BetterExplained 上面有关于虚数的非常好的解释，很浅显易懂，转给大家参考。

这个网站有一篇文章叫做《虚数的图解》，将虚数解释得很简单。读后让人恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

一、什么是虚数？
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

　 (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道， 虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

二、复数的定义
既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。 这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的作用：加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

5度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
就到这里，更深入的请参考高等数学及
http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

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