定积分的概念与基本性质
- 定积分的定义
- 定积分的基本性质
- 定积分基本性质的推广
基本理论
- 积分基本定理
- - 定理1 引理
  - 定理2 牛顿莱布尼茨公式
- 定积分的特殊性质
- - 1.对称区间上函数的定积分性质
  - 2.三角函数定积分的性质
  - - 性质一
    - 性质二
    - 性质三
    - 性质四
  - 3.周期函数定积分的性质
广义积分
- 区间无限
- - 1.无上限
  - 2.无下限
- 区间有限
定积分应用

定积分的概念与基本性质

定积分的定义

这三个符号分别的意思分别是
所有区间里最宽的那个区间，第i个小区间上的任意点，第i个小区间的长度

几个注解，注意一下，第四个，那个地方是负号是因为你看函数表达式啊，+和-1

第六点是之前提到过的定积分的定义

两个小例题，巩固一下你对于定积分定义的理解

定积分的基本性质

定积分的几个基本性质，着重注意一下5和7，重点
给出积分中值定理的证明；

积分中值定理的证明

注意一下，积分中值定理是可能取到端点值的

定积分基本性质的推广

积分中值定理的推广

这个是很重要很关键的地方，和你之前一个地方连起来了，就是如果你需要用罗尔的话，那么必须保证那两个函数值相等的点的x不相等。
然后如果你用的是积分中值定理的话，那么就不能保证这一点了，但是如果你用推广的积分中值定理的话就可以了。

基本理论

下面是预备知识

两个注解

积分基本定理

定理1 引理

定理内容及其证明

几个注解

如果只看不定积分式子，x是常数，t才是变量
然后这个x你不能把它放在式子里面，由于它是常数，你可以直接给它拆分
洛必达，注意定积分求导之后的样子
你做不出来了，你需要凑出导数的样子，然后利用一下题目给出的条件你就能做出来了。

定理2 牛顿莱布尼茨公式

牛顿莱布尼茨的证明，利用到了定理1，引理

定积分的特殊性质

1.对称区间上函数的定积分性质

证明部分

这个对称公式确实挺有用的

2.三角函数定积分的性质

性质一

意思就是这个意思，就是x+t等于a+b（左边的）就可以了
比如下面这个例子说a+t等于-a，然后左边的下线是-a，于是右边的下限就是0了

对于那个微分的变换的方式，就是两边求微分

证出来了

不定积分的公式你在定积分里面照样用，就是你需要注意一下积分限也需要变换
变换是这样变换的，相加是这样相加的，说实话，很妙

特别的性质，说实话，看了例子之后会发现很好用

看了之后发现这个很好用

要不直接一整题挖空？
（挖空位置随点）

看到可以变成平方和去变
尽量全部都变成一个形态的
积分的话，你里面的东西无所谓，直接替换，就是你的积分限需要变一下
考虑把平方和乘出来
发现对称区间，找机会利用以下奇函数和偶函数的规则

插播一下奇函数和偶函数的加减乘除规则
乘除就是把奇函数当作负数，偶函数当作正数，规则一样
加减：
两个奇函数或者偶函数相加减还是奇函数偶函数
一个基函数和偶函数相加减是非奇非偶函数

最后那个是I⁴

这种第二问你必须得找机会用到第一问的结论

在这里插入图片描述

做题就是找指引，无指引，不做题，你也做不了题，从题目给你的信息中找到蛛丝马迹，看他想要你怎么走

小积累

性质二

cos用这个公式的条件

一步一步全部都是知识点

这里最后一步的两倍是因为不是0到Π/2而是0到Π

性质三

性质四

3.周期函数定积分的性质

广义积分

正常积分：

积分区间有限
被积函数在有限区间上连续或存在有限第一类间断点

稍微看看就好，不用空

区间无限

1.无上限

看看就好

这样看来，反常积分，和普通积分有差吗？没差啊

判别法及其应用，重要

很重要就是要全背下来，1和2的差别就是一个是2是整数，1可以不是

就这么简单，就你现在的空可以开始尝试全挖，答案全挖试一下

2.无下限

如果说上下界都是无限，那么你就从中间断开，看上和下的敛散性，如果有一个发散，那整个就是发散

区间有限

就是你的区间是有限的，但是你的区间一个东西代进去会发现右边的式子不存在

判别法

上面那一步就是单纯公式啊，公式你忘记了

这么多判别法呢，这里总结一下吧
就是好像没有特别特别好的规律，就前两个和后两个是差不多的，不过还是得自己去背嗯

找到规律了！！！

x 趋于无穷：大于1收敛
x 趋于一个固定值：小于1收敛

（x是指你需要判别的瑕点！需要你自己找的）

反正如果等于1就肯定是发散了

暂且就这样记忆，到时候出问题了再进一步细化找另一个规律

定积分应用

小推导，就是注意一下那个是ds，是斜的

不是很清楚，说实话，到时候依据例题再次理解一下吧

看不懂了？

公式这里暂时摆烂。后面例题中再理解

好题，结合了前面很多的知识点

然后对于这种东西呢，公式不重要，好推的

好题，联系了几个知识点

这种题呢就深刻地告诉了你，这公式不是必要的，你就把它看作是能绕一圈的去绕一圈，然后把x和y中的一个当作自变量，最后出现的式子没有另一个就行了。

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