吴军的数学通识讲义 读书笔记
通识教育、博雅教育 Liberal Arts
人想要成为社会的精英，首先要在精神上成为精英，这样才能以精英的方式思考，以主人的态度做事，才能超出常人。
基础篇
理解数学的线索：从毕达哥拉斯讲起
勾股定理
- 测量与逻辑推理的区别
- 事实证实和逻辑证明的区别
数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。
哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可以写成两个素数之和
定理theorem 严格证明、没有例外的的规律 定律law一般性规律
- 科学结论相对性和数学结论绝对性的区别
数学的预见性：无理数是毕达哥拉斯定理的推论
- 引发数学危机的无理数
- 数学带我们走出认知的盲区
宇宙的质量是负数 暗物质
世界上只有两样东西是值得我们深深景仰的，一个是我们头上的灿烂星空，另一个是我们内心的崇高道德法则
数学思维：如何从逻辑出发想问题
事实上很多人凑在一起，智商常常不是增加而是下降，这就是所谓的群体效应。
庞氏骗局
中国不可能既拥有全世界大部分的财富，还让世界其他地区买得起中国的产品。
黄金分割：数学和美学的桥梁
黄金分割的性质，剪掉一个宽度的正方形，剩下的还是黄金分割。
等角螺旋线 任何事物如果从中心出发，同比例放大，必然会得到
数学对绘画和建筑设计的助力
菲利普·布鲁内莱斯基 佛罗伦萨的圣母百花大教堂
优选法：华罗庚化繁为简的神来之笔
优选法
线性规划：用很多线性方程在多维空间里划定一个区域，在区域里找最佳值。
和二分法有什么区别？
数列与级数：承上启下的关键内容
- 数学的关联性质：斐波那契数列和黄金分割
数学的一个规律：很多现象在数学这个体系是统一的
- 数列变化：趋势比当下重要
- 级数：传销骗局里的数学原理
- 核裂变的链式反应能否持续的问题
- 传销中的收益问题
- 社交网络上的信息传播效率问题
- 等比级数：少付一半利息，多获得一倍回报
藏在贷款利息中的秘密
等额本金偿付 利息是在不断减少的，因为本金在不断减少
等额本息偿付（每个月还的本金和利息综合相同）
数学边界：数学是万能的吗
- 数学的局限性：从勾股定理到费马大定理
x^2 + y^2 = z^2 除了平方的情况，这种方程找不到整数解
尤里卡 Eureka 当年阿基米德在发现浮力定律喊出来的 意思是我发现了
- 探寻数学边界：从希尔伯特第十问题讲起
对于任意一个有理系数的多项式方程，我们能否在有限步内，判定它是否有整数解？
数学有别于人类所构建的所有其他的只是体系，它是唯一一个具有绝对正确理论的学科，因为数学是建立在公理和逻辑基础上的，只要自洽就是正确的。
数字篇
方程：新方法和新思维
重要的是把实际问题变成数学问题，然后知道如何利用各种软件功能工具来解决，而不是话很多时间学一大堆无法举一反三的技巧。
Mathematica数学工具
卡尔达诺-塔塔利亚公式：求解一元三次方程
无穷大和无穷小：从数值到趋势
无穷大加一还是无穷大
芝诺的四个悖论
第二次数学危机：牛顿和贝克莱的争论
第一次数学危机：无理数的发现
第二次数学危机：无穷小悖论
几何篇
基础几何学：公理化体系的建立
未经审视的人生没有价值，未经逻辑检验的结论也是靠不住的。
圆周率：数学工具的意义
解析几何：如何用代数的方法求解几何问题
几何学发展的四个阶段
- 以欧几里得确立几何学的公理、并且总结了当时世界几何学成就完成《几何原本》一书为标志
- 以笛卡尔提出解析几何为代表，将几何学和代数学相结合。。
- 以罗巴切夫斯基和黎曼提出非欧几何为标志
- 代数几何和微分几何的出现和发展
代数篇
函数：重要的数学工具
- 定义的本质：从静态到动态，从数量到趋势
- 因果关系：决定性和相关性的差别
事实上在投资时，很多时候需要考虑的是在特定的投资回报率之下，多少年投资才能翻一番。
相关性不代表必然性。
线性代数：超乎想象的实用工具
- 向量：数量的方向与合力的形成
余弦定理 - 余弦定理：文本分类和简历筛选
画蛇添足的内容恰恰稀释了求职者的竞争力 - 矩阵：多元思维的应用
微积分篇
简单来讲，微分就是通过对宏观现象，获得对微观规律的了解；而积分则是通过对微观变化的积累，获得对宏观趋势的把握。
微分：如何理解宏观和微观的关系
导数：揭示事物变化的新规律
- 极限：连接宏观和微观规律
- 导数：从定性估计到定量分析
导数的本质，就是对原函数变化快慢的规律性的描述。
微分：描述微观世界的工具
- 微分的用处
- 梯度：该朝哪个方向努力
偏微分、偏导数 全微分？
例：体积函数相对半径的偏导数是dV/drdV/drdV/dr,相对高度的偏导数是dV/dhdV/dhdV/dh
把这个两个微分以向量的形式放到一起，就是梯度。也就是说圆柱体积函数的梯度是：(dVdr{dV}\over{dr}drdV,dVdh{dV}\over{dh}dhdV) = (2πrh,πr2)(2\pi rh,\pi r^2)(2πrh,πr2)
登山时路程最短的路径是沿着梯度最大的方向前进。
奇点：变化连续和冠华是稳定性的基础
- 函数的连续性
如果一个函数，当变量xxx的增量Δx\Delta xΔx趋近于零时，函数yyy的增量Δy\Delta yΔy也趋近于零，我们就说这个函数时连续的。
如果一条曲线在某一个点处是连续的，“光滑的”，该曲线在这个点就可导。
- 函数可导的用处
积分：从微观变化了解宏观趋势
积分：微分的逆运算
- 给定一个曲线，求它下方到x轴之间的面积，就是积分。
积分的意义：从细节了解全局
- 积分的认知意义
整体等于部分之和 - 积分的滞后效应
凡是需要通过积分获得的数量，它的结果会滞后于瞬间变化，有时还要经过相当长的时间之后才能看到
这种有积分获得的数量，一旦大到被大家都观察到之后，要逆转这个趋势是非常难的
飞轮效应。。 - 最优化问题：用变化的眼光看最大值和最小值
- 体系的完善：微积分公理化的过程
0.99999是否等于1
戴德金分割
概率和数理统计篇
随机性和概率论：如何看待不确定性
- 古典概率：拉普拉斯对概率论的系统性论述
基本事件
原子概率 - 拉普拉斯古典概率定义的漏洞
- 伯努利试验：随机性到底意味着什么
伯努利试验，非A即B
为什么理论和试验结果不一样
两点分布、伯努利分布 - 均值和方差：理想与现实的差距
在概率论中，用于描述一个随机事件或者随机变量性质的重要概念就是平均值或者叫做数学期望。
方差 标准差
小概率和大概率：如何资源共享和消除不确定性
泊松分布：为什么保险公司必须有很大的客户群
- 准备资源时，为什么要多备一些冗余量
泊松定律：如果随机事件AAA发生的概率是ppp。进行nnn次独立的试验，恰巧发生了kkk次，则相应的概率可以用公式xxx
来计算。 - 保险公司是如何计算保费的？
3.（正态分布） 高斯分布：大概率事件意味着什么
泊松分布揭示的是诸多小事件发生时的统计规律
一个非高斯分布的概率分布，可以用多个高斯分布的线形组合来近似
3 σ\sigmaσ原则 68 95 99.7
概率公理化：理论和现实的统一
柯尔莫哥洛夫
前提条件：度量随机性的新方法
- 前提条件：条件对随机性的影响
条件概率的计算公式 - 差异：概率、联合概率和条件概率
- 相关性：条件概率在信息处理中的作用
- 贝叶斯公式：机器翻译是怎样工作的
终章
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