本文主要以《陶哲轩教你学数学》为主要参考书，记录一些自己的读后感。我一直认为世界观与方法论是我在高中政治课学到的最重要的内容，因此，对于方法论讲的很好的这本书，进行详细的记录。

问题1.1

一个三角形的三条边长构成公差为d的等差数列，三角形的面积为t。求这个三角形的边长和角度。

理解问题

数学中的问题主要分三类：

“证明……”或“推算……”型问题。这类问题要求证明某个命题成立或推算某个表达式的值。// 我觉得这里的推算值与下面那个求值问题，主要的区别在于题目的限定，限定范围小到一眼可以看出来就是算的，那就是推算，你得去想方设法去找的，是求值问题。比如给你一个微积分计算题，就是推算；求值类问题我一下举不出了例子。我也不保证我的理解一定正确。
“求……（值）”或“求所有的……（值）”型问题。这类问题要求找出满足某些条件的一个或所有的值。
“是否存在……”型问题。这类问题要求证明一个命题或给出一个反例。

问题的类型决定了解题的基本方法或方式，所以它至关重要。

在“证明……”或“推算……”型问题中，从给定的信息入手，其目的是根据事先给出的信息推导出某个命题或计算某个表达式的值。由于这类问题有清晰的目标，所以通常比另外两类问题来的容易。

“求……（值）”型问题更依赖运气，通常要先猜一个相近的答案，再做些小的调整，使它更接近于正确答案；或者先修改题目的要求，使之更容易满足，再考虑原来的要求。// 说实话，我觉得在证明不等式的时候，或者在证明几何题的时候，我会先猜一个答案什么的。所以我很不能理解作者的分类方式。不知所措。虽然心里大概有点感觉，但是就是说不清。

“是否存在……”型问题通常是最难的，因为我们必须先判断讨论的对象是否存在，再提供证明或举出反例。

————————–分割线，说一些我自己的感受————————————

我认为上面的划分方法，可能是陶哲轩大神自己的分类方法，至少我感觉起来不是很能接受，因为划分的界限不是很清楚。但是我是很认同需要将问题划分成不同的类型来进行处理的，至少我在高三整理错题的时候，是这么做的。我当时有个观点是，可以根据题目的形式，观察出题目的大概解题思路。

————————-下面回到正文——————————–

当然，并不是所有的问题都可以这样简单地归类。但通常问题的类型将提供解题的基本策略。例如，要解决这样的问题“在这座城市里找一个今晚可以睡觉的旅馆”，就应先把要求改成如“找一个在5km以内的、有空闲房间的旅馆，且一晚房费不超过100美元”，然后采用排除法找。这种策略比证明这样的旅馆存在或不存在要好，也可能比先随便选一家旅馆，然后证明是否适合休息要好。// 对于给定的问题，我认为作者给出的优化思想是，从问题的目的出发——让人休息，而不是为了给旅馆打分。优化方法是，通过增加条件减少选择范围。实际上，我们在给别人推荐上大学的时候，也可以使用这样的方法。比如有个大佬考了满分，这时候不知道选什么学校，你可能会问问，对什么科目感兴趣，然后你可能就在那个科目强的学校里给大佬推荐。

以下很神奇

在问题1.1这个“推算……”型问题中，需要在给定若干变量的情况下求出几个未知量。这就提示我们用代数方法建立多个联系d,t以及三角形的三条边和三个角的方程，并最终求解未知量，而不是用几何方法。 // 此处理解作者说的几何方法的含义比较重要，我猜是指用如全等、相似等知识。总之，我觉得可能作者的思维体系下，这种分类方法对应这样的解题思路。分类方法是因人而异的。

————-分割线—————————————

我将选择一部分内容来讲述，而不是选择全部，甚至我不去讲解法。

————分割线结束——————————-

选择恰当的符号。

设三边为a,b,c；三个角为α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 。

由于三边等差，因此可以用a,a+d,a+2d代替。如果用b-d,b,b+d使之对称，也可以。但是缺陷是，b必须大于d。但是b>d提供了额外的消息。对于角度的调整没有必要，要记住α+β+γ=180∘\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

写下所有想到的方程和不等式

α,β,γ>0,b>d\alpha,\beta,\gamma > 0, b > d

α+β+γ=180∘\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

正弦定理

余弦定理

正弦定理的三角形面积公式

海伦公式

三角形不等式

对问题稍作修改。

可用多种方法修改问题，使其更容易处理。如：

(a) 考虑该问题的一种特定情形，例如极端情形或退化情形。

(b) 解决该问题的一种简化情形。

(d) 导出该问题的某个推论，并试图先解决它。

(e) 重新表达该问题（例如用反证法证明其逆否命题，或者尝试其某种替代形式）。

(f) 研究类似问题的解。

(g) 推广该问题。

对于前面提到的题目。可以从d=0d = 0 的特定情形开始。虽然用处不大。

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