【整理】一堆磨人の数学概率期望

都是水题 = =

↑ 这四个字太能概括一切了

【1】 ZOJ 3785 What day is that day? （找规律）

题意：求1¹ + 2² + 3³ + ... + N^N mod 7 的值

打表可以找到循环节

实际上可以用费马小定理证明 sigma(i ^ i % 7) = sigma(i ^ (i % 6) % 7)

ans = (n / 42 % 7 * (s[42] % 7) % 7 + s[n % 42] % 7) % 7

【2】 ZOJ 3777 Problem Arrangement （状压dp + 数学期望）

题意：给定一个n*n的矩阵在矩阵中每行选一个数求第一次选出的数字和>=m的期望

设p为和小于m的概率则 p = 不合法方案数 / 总方案数

设T为次数期望则 T = (1 - p) * 1 + p * (1 - p) * 2 + p^2 * (1 - p) * 3 + ... + p^(n-1) * (1 - p) * n ①

① * p 得 p * T = p * (1 - p) * 1 + p^2 * (1 - p) * 2 + ... + p^(n-1) * (1 - p) * (n - 1) + p^n * (1 - p) * n ②

(① - ②) / (1 - p) 得 T = 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + ... + p ^ (n - 1) + p^n * n

其中n → ∞ 则 T → 1 / (1 - p) 即 T → 1 / 合法方案数

其中合法方案数用状压dp可求出 dp[S][k] 表示二进制集合为S数字和为k的方案数

【3】可重复组合

给出n个数字b1,b2,……,bn。求有多少个有序序列a1，a2,……,an，满足b1*b2*……*bn=a1*a2*……*an?（ai>1）
(1<bi<=1000000, b1*b2*…*bn<=10^25) n(1<=n<=20)

将数列b的每个数质因数分解并把系数相加于是 a1 * a2 * ... * an = p1 ^ m1 + p2 ^ m2 + ... + pn ^ mn

既是将每个系数分配给a数列的每个数对于每个pi的分法有 C( mi + n - 2, n - 1 ) 再相乘即可

至于分法的个数计算见很高端的一篇论文 ← 其实就是在n-1个位置放m-1个东西（可重复放置）的方案数

【4】 poj2096 Collecting Bugs

题意：软件s个子系统会产生n种bug 每种bug被发现几率和存在每个系统的概率相等如果一天发现一种bug 求每个子系统都发现bug且所有bug都被发现的天数期望

当时看到这道题的时候就觉得眼熟 = =zsl给过的一道题当时推公式推好久来着orz 其实特别基础的题。。而且这道题和那个在棋盘里放棋子每行每列都要放一颗的那道题其实是差不多的orz

dp[i][j] 表示已经发现了i种bug属于j个子系统剩余天数的期望（一定要注意是倒着求）

dp[i][j] = dp[i][j] * (i * j) / (n * s) + dp[i + 1][j] * ((n - i)*j ) / (n * s) + dp[i][j + 1] * (i * (s - j)) / (n * s) + dp[i + 1][j + 1] * (n - i) * (s - j) / (n * s) + 1

移向然后就可以直接记忆化搜索啦

【5】zoj3329 One Person Game

题解：http://blog.csdn.net/qq_21841245/article/details/44094977

【6】sgu485 Kids and Prizes

题意：有n个盒子每个盒子里有一个礼物然后m个人每人去拿一次拿完以后盒子还原求期望拿走的礼物数

这题我开始时写了dp方程的。。后来发现它就是个数学题。。。

其实有个东西叫二项分布你造吧。。。

对于每个盒子：

每一次不被选择的概率为（n - 1) / n
m次都不被选择的概率为 [(n - 1) / n] ^ m

对于n个盒子：
m次不被选择的盒子的期望为 n * [ (n - 1) / n ] ^ m (二项分布）

一个盒子要么被选要么不被选所以被选的+不被选的期望为n

那么答案就是 n - (n * [ (n - 1) / n ] ^ m) 了

【7】 ZOJ 3380 Patchouli's Spell Cards

题意：m个位置每个位置填入一个数数的范围是1~n 求至少有L个位置的数一样的概率输出最简分数的形式

这题是神题c++不可做。。。不知道有没有角虫写了c++高精度过了的。。。

贴个思路：

对于 l >m/2我们可以直接用组合数来求的 ans = n*Σ( C(m,i)*(n-1)^(m-i) )

如果 l <= m/2用DP f[i][j]表示前 i 个数放在 j 个位置并且相同的元素个数小于 l 的数目

f[i][j]=sum{dp[i-1][j-k]*choose[m-(j-k)][k] | k≤j && k<l}

【8】HDU 4405 Aeroplane chess

题意：有n个格子掷骰子往前走其中有m个飞行通道可以直接从第xi格走到第yi格求到终点的掷骰子次数期望

e[i] = e[link[i]] 或 sigma(e[j] / 6) + 1 其中link[i]为飞行通道能抵达i的 j为掷骰子可以到达i的这个要反向递推我开始写记忆化搜索爆栈了。。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;int N, M;
int link[100005];
double e[100005];int main()
{while(~scanf("%d%d", &N, &M) && N){memset(link, 0, sizeof(link));memset(e, 0, sizeof(e));while(M--) {int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);link[x] = y;}for(int i = N-1; ~i; i--){if(link[i]) e[i] = e[link[i]];else{e[i] = 1.;for(int j = 1; j <= 6 && i + j < N; ++j)e[i] += e[i + j] / 6;}}printf("%.4lf\n", e[0]);}return 0;
}

【9】HDU4336 Card Collector（状压+数学期望）

题意：有n种卡片在一包零食里每种卡片有一个出现的概率求要多少包零食才可以集齐所有卡片（召唤神龙）

题解：http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/archive/2013/03/02/2939601.html

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;int N;
double p[21], f[1<<20];int main()
{while(~scanf("%d", &N)){for(int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%lf", &p[i]);f[(1 << N) - 1] = 0. ; double temp;for(int S = (1 << N) - 2; ~S; S--){f[S] = 1. , temp = 0. ;for(int i = 1; i <= N; ++i){if(S & (1 << (i - 1))) continue;temp += p[i];f[S] += p[i] * f[S | 1 << (i - 1)];}f[S] /= temp;}printf("%.4f\n", f[0]);}return 0;
}