第十一届山东省大学生程序设计竞赛 L. Construction of 5G Base Stations（概率期望，递推前缀和优化）

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第十一届山东省大学生程序设计竞赛 L. Construction of 5G Base Stations（概率期望，递推前缀和优化）

Weblink

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/15600/L

Problem

数轴上 1∼n1\sim n1∼n，每个点都有一个人站在整点上。有 mmm 个基站，每个基站 {x,p[x]}\{x,p[x]\}{x,p[x]}，代表位置为 xxx ，每一个人连接该基站成功的概率为 pxp_xpx。

每个人，都会按照由近及远，先左后右的顺序依次尝试连接基站，成功连接基站 iii 的概率是 pip_ipi ，如果都
失败了，那么重新再来一遍。

每个基站的开销是连接人数的平方。求所有基站期望运行总代价。

Solution

显然考虑几何概型。

Time

O(n)O(n)O(n)

Code

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 7, mod = 998244353;int n, m;
int a[N];
int pre[N], pre2[N], suf[N], suf2[N];
int F, ans;
int p[N], now;int qpow(int a, int b)
{int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1; }return res;
}int inv(int x)
{return qpow(x, mod - 2);
}signed main()
{F = 1;scanf("%lld%lld", &n, &m);for(int i = 1; i <= m; ++ i) {int x, pi;scanf("%lld%lld", &x, &pi);p[x] = pi;F = F * (1 - pi + mod) % mod;}if(n == 1) {puts("1");return 0;}F = inv(1 - F + mod);pre[2] = (1 - p[1] + mod) % mod;pre2[2] = (1 - p[1] + mod) % mod * (1 - p[1] + mod) % mod;now = (1 - p[1] + mod) % mod;for(int i = 3; i <= n; ++ i) {int ansb = (1 - p[i - 1] + mod) % mod * (1 - p[i - 2] + mod) % mod;//先左再右，x在右边now = now * (1 - p[i - 1] + mod) % mod;int ansa = pre[i - 2];pre[i] = (ansb * ansa % mod + ansb + now) % mod;ansa = pre2[i - 2];pre2[i] = (ansb * ansb % mod * ansa % mod + ansb * ansb % mod + now * now % mod) % mod;}suf[n - 1] = (1 - p[n] + mod) % mod;suf2[n - 1] = (1 - p[n] + mod) % mod * (1 - p[n] + mod) % mod;now = (1 - p[n] + mod) % mod;for(int i = n - 2; i >= 1; -- i) {int ansb = (1 - p[i + 1] + mod) % mod * (1 - p[i + 2] + mod) % mod;int tmp = (1 - p[i + 1] + mod) % mod;//先左再右，x在左边now = now * (1 - p[i + 1] + mod) % mod;int ansa = suf[i + 2];suf[i] = (ansb * ansa % mod + tmp + now) % mod;ansa = suf2[i + 2];suf2[i] = (ansb * ansb % mod * ansa % mod + tmp * tmp % mod + now * now % mod) % mod;}for(int i = 1; i <= n; ++ i) {int A = (pre[i] + 1 + suf[i]) % mod * p[i] % mod * F % mod;int B = (pre2[i] + 1 + suf2[i]) % mod * p[i] % mod * p[i] % mod * F % mod * F % mod;ans = (ans + A * A % mod - B + A + mod) % mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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