1.1 命题逻辑

1.1.1 引言

逻辑规则给出数学语句的准确含义，这些规则用来区分有效和无效的数学论证。逻辑规则用于计算机电路设计、计算机程序构造、程序正确性证明等等。

1.1.2

命题：一个陈述语句（陈述事实的语句），或真或假，但不能既真又假。
命题变元：代表命题的变量，用字母表示。
命题演算（命题逻辑）：设计命题的逻辑系统，它最初是2300多年前由古希腊哲学家亚里士多德系统地创建的。
命题否定：若 p 为一命题，则 ┐p 为 p 的否命题，其真值与 p 真值相反。
合取：令 p 与 q 为命题，则p、q的合取即命题“ p 并且 q ”，记作 p∧q 。当 p 和 q 均为真时，p∧q 命题为真，否则为假。
析取：令 p 与 q 为命题，则 p、q 的析取即命题“ p 或 q ”，记作 p∨q 。当 p 和 q 均为假时，p∨q 命题为假，否则为真。
异或：令 p 与 q 为命题，则 p、q 的异或，记作 p⊕q 。当 p 和 q 中恰有只有一个为真时命题为真，否则为假。

1.1.3 条件语句

蕴含：令 p 和 q 为命题，条件语句 p→q 是命题“ 如果 p ,则 q ”。当 p 为真而q为假时，p→q 为假，否则为真。p 成为假设（前件、前提），q 称为结论（后件）。
逆命题：命题 q→p 称为 p→q 的逆命题。
逆否命题：命题 ┐q→┐p 称为 p→q 的逆否命题。
反命题：命题 ┐p→┐q 称为 p→q 的逆否命题。
双向蕴含：令 p 和 q 为命题，双条件语句 p↔q 是命题“ p当且仅当 q ”。当 p 和 q 有同样的真值时，双条件语句为真，否则为假。

1.1.5 逻辑运算符的优先级

运算符	优先级
┐	1
∧	2
∨	3
→	4
↔	5

1.2 命题逻辑的应用

逻辑在数学、计算机科学和其他许多学科有着许多重要的应用。数学、自然科学以及自然语言中的语句通常不太准确，甚至有歧义。为了使其精确表达，可以将其翻译成逻辑与语言。例如，逻辑可用于软件和硬件的规范描述，因为在开发前这些规范必须要准确。另外，命题逻辑及其规则可用于设计计算机电路、构造计算机程序、验证程序的正确性以及构造专家系统。逻辑可用于分析和求解许多熟悉的谜题。基于逻辑规则的软件系统也已经开发出来，能够自动构造某种类型的证明。
系统规范说明：系统规范说明应该是一致的，其不应该包含可能导致矛盾的互相冲突的需求。
布尔搜索：搜索采用命题逻辑的技术。
逻辑谜题：用逻辑推理解决的谜题。
逻辑电路：接受输入信号p1,p2, … , pn，每个信号1位，产生输出信号s1,s2,…,sn，每个信号1位。

1.3 命题等价式

永真式、重言式（tautology）：一个真值永远是真的复合命题（无论命题变元真值如何）。
矛盾式（contradiction）：一个真值永远为假的复合命题。
逻辑等价：如果 p↔q 为永真式，则 p 和 q 称为逻辑等价，记为 p ≡ q 。

德 · 摩根律
┐( p ∧ q ) ≡ ┐p ∨ ┐q
┐( p ∨ q ) ≡ ┐p ∧ ┐q

命题的可满足性：如果存在一个对其变元的真值赋值使一个复合命题为真，则称其是可满足的。若复合命题对所有变元的真值赋值都是假的，则称其是不满足的。一个特定的使得复合命题为真的真值赋值称为可满足性的问题的一个解。

1.4 谓词和量词

谓词：表明语句主语的一个性质。
命题函数: 形式为 P(x1,x3,…,xn) 的语句是命题函数 P 在 n 元组（x1,x2,…,xn），P 也称为 n 位谓词或 n 元谓词。
前置条件：描述合法输入的语句。
后置条件：程序运行的输出应满足的条件。
量化：量化表示在何种程度上谓词对于一定范围内的个体成立。
全称量词：P(x) 对 x 在其论域的所有值为真，记号 ∀。
存在量词：论域中存在一个个体满足P(x)，记号 ∃。
唯一性量词：存在一个唯一的x使得P(x)为真，记号 ∃!。
量词优先级：量词 ∀ 和 ∃ 比命题演算中的所有逻辑运算符都具有更高的优先级。
变量绑定：当量词作用于变量x，则说变量的这次出现是约束的。若没有被变量约束或设置为等于某一特定值，则说其是自由的。
逻辑等价：涉及谓词和量词的语句是逻辑等价的当且仅当无论用什么谓词代入这些语句，用 S ≡ T表示 S 和 T 是等价的。

量词的德 · 摩根律
┐∃x P(x) ≡ ∀x ┐P(x)
┐∀x P(x) ≡ ∃x ┐P(x)

** Prolog 事实**：通过指定那些满足谓词的元素定义谓词。
** Prolog 规则**：使用Prolog事实定义号的那些谓词来定义新的谓词。

1.5 嵌套谓词

将量化当作循环
当量词均为全称量词或均为存在量词时，可以交换量词顺序，否则交换则会改变表示的意思。如∀x ∃y P(x,y) 与 ∃y ∀x P(x,y) 意义不同，前者表示为对于任意的x都能够存在一个y满足P(x,y)，后者表示为存在一个y，其对任意的x都满足P(x,y)。

1.6 推理规则

论证(argument)：指一连串的命题并以结论为最后的命题。
有效性(valid)：指结论或论证的最后一个命题必须根据论证过程前面的命题或者前提（premise)的真实性推出，即一个论证是有效的当且仅当不可能出现所有前提为真而结论为假的情况。
谬论：常见的错误推理。

命题逻辑中的一个论证是一连串的命题。除了论证中最后一个命题外都叫做前提，最后那个命题叫做结论。一个论证是有效的，如果它的所有前提为真蕴含着结论为真。
命题逻辑中的论证形式是一连串涉及命题变元的复合命题。无论用什么特定命题来替换其中的命题变元，如果前提均为真时结论为真，则成该论证形式有效。
永真式（ p ∧ ( p → q )) → q 称为假言推理(modus ponens)或分离规则(law of detachment)的推理规则的基础。
modus ponens ：拉丁文，意思为确认模式（mode that affirms)。

永真式	名称
（ p ∧ ( p → q )) → q	假言推理
( ┐q ∧ ( p → q )) → ┐p	拒取式
( ( p → q ) ∧ ( q → r )） → ( p → r )	假言三段论
( ( p ∨ q ) ∧ ┐p) → q	析取三段论
( p → ( p ∨ q )	附加律
（ p ∧ q ) → p	化简律
( ( p ) ∧ ( q )) → （ p ∧ q)	合取律
( ( p ∨ q ) ∧ ( ┐p ∨ r) ) → ( q ∨ r)	消解律

谬论：不正确的推理，部分谬论看上去时推理规则，其实际上时基于可满足性而非永真式。
全称实例（universal instantiation）：是从给定前提∀x P(x)得出P( c )为真的推理规则，其中c为论域例的一个特定成员。
全称引入（universal generalization）：是从对论域里所有元素c都有P©为真的前提推出∀x P(x)为真的推理规则。
存在实例（existential instantiation）: 是允许从“如果我们知道∃x P(x)，得出在论域中存在一个元素c使得P©为真的推理规则。
存在引入（existential generalization）：是用来从“已知有以特定的c使得P©为真时得出∃x P(x)为真”的推理规则。

1.7 证明导论

定理（theorem）：一个能够被证明是真的语句。不太重要的定理有时被称为命题、事实(fact)或结论(result)。用一个证明展示一个定理是真的。
证明（proof）：建立定理真实性的有效论证，证明中可以用到的语句包括公立（axiom）或假设（postulate)。
引理（lemma） ：一个不太重要但有助于证明其他结论的定理。
推论（corollary）：是从一个已经被证明的定理可以直接建立起来的一个定理。
猜想（conjecture）：是一个被提出认为是真的命题，通常是基于部分证据、启发式论证或者专家的直觉。

参考书籍《离散数学及其应用》

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