动态规划-试题（1）-扔玻璃珠

扔玻璃珠

/**
*
* 某幢大楼有100层。
*
* 你手里有两颗一模一样的玻璃珠。当你拿着玻璃珠在某一层往下扔的时候，一定会有两个结果，
* 玻璃珠碎了或者没碎。这幢大楼有个临界楼层。低于它的楼层，往下扔玻璃珠，玻璃珠不会碎，
* 等于或高于它的楼层，扔下玻璃珠，玻璃珠一定会碎。玻璃珠碎了就不能再扔。
*
* 现在让你设计一种方式，使得在该方式下，最坏的情况扔的次数比其他任何方式最坏的次数都少。
* 也就是设计一种最有效的方式。
*/

分析

这段分析来自 http://www.cnblogs.com/grenet/archive/2009/12/20/1628425.html 作者：万仓一黍

这个问题的实质是找出临界楼层。要想使用2个玻璃珠来找到结果，有2类方法。
1、使用一个玻璃珠从1楼开始一直往上找，第一次玻璃珠碎掉的楼层就是临界楼层。假定为N，那么我们要扔N次。
2、第一次选择在60层扔，若碎了，说明临界点在60层及以下楼层，这时只有一颗珠子，剩下的只能是从第一层，一层一层往上实验，最坏的情况，要实验59次，加上之前的第一次，一共60次。若没碎，则只要从61层往上试即可，最多只要试40次，加上之前一共需41次。两种情况取最多的那种。故这种方式最坏的情况要试60次。

那该如何设计方式呢？
仔细分析一下，关键是第一次的选择，假设在第N层，如果第一次扔的时候就碎了，那么第二颗珠子只能是从第1层开始一层层往上试，此时，最坏的情况为N-1次，加上第一次，则一共为N层。那如果不碎呢，第二颗珠子会从N+1层开始试吗？很显然不会，此时大楼还剩100-N层，问题就转化为100-N，2颗珠子，请设计最有效方式。

定义一个函数F（N），表示N层楼最有效方式最坏情况的次数。
通过上面的分析，有

F（N）=Min（Max（1，1+F（N-1）），Max（2，1+F（N-2）），……，Max（N-1，1+F（1）））
F（1）=1
本面试题就是求F（100）

代码

    /*** 所有的数组的第一位，也就是int[0]是无效的，int[1]表示一楼或者第一次。* @param args*/public static void main(String[] args){int N = 100;//楼层总数int dp[] = new int[N+1];//用于保存第N楼的最佳次数dp[1] = 1;//一楼只需要1次int pos[] = new int[N+1];//pos[10]表示，10层大楼扔玻璃珠的位置pos[1] = 1;//只有1层楼只能在1楼扔//从2层大楼开始for (int i = 2; i <= N; i++) {int min = N;//每层大楼的最坏情况的最少次数for (int j = 1; j < i; j++) {int max = dp[i-j] + 1;if (max < j)max = j;if (min > max) {min = max;pos[i] = j;//记录投掷楼层}}dp[i] = min;}System.out.println(dp[N]);/*找出每次投掷的楼层*/int total = N;//每一次的楼层总数int[] cast = new int[dp[N]+1];//每一次投掷的位置for (int i = 1; i <= dp[N]; i++) {cast[i] = pos[total];total -= cast[i];}for (int i = 1; i <= dp[N]; i++) {cast[i] += cast[i-1];}/*打印结果*/for (int i : cast) {System.out.print(i + " ");}}

运行结果

14
0 9 22 34 45 55 64 72 79 85 90 94 97 99 100

为什么会出现0呢，别忘了int[0]是无效的。所以真正的每次扔玻璃珠的楼层是
9 22 34 45 55 64 72 79 85 90 94 97 99 100

感谢

http://www.cnblogs.com/grenet/archive/2009/12/20/1628425.html 的分析

http://t.cn/RK12kzL Dan2的回答