100层楼扔鸡蛋或者玻璃珠问题

---------------------------以下网上别人的解答----------------------------------------------

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破，在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下，最小化鸡蛋下落的次数。(假设每次摔落时，如果没有摔碎，则不会给鸡蛋带来损耗)

在参考下面的解答之前，请你先仔细思考10分钟。看你给出的方案最小下落次数是多少。如果题目总分10分，看看自己能得几分。

解答1：得0分的答案

用二分法。

这基本可以说就是没有通过大脑得出来的答案，而且还貌似很牛掰的样子，并常常带着一个lgn的复杂度。如果你接着问怎么个二分法，他就答不上来了。

这个答案不是我杜撰出来的，而是我拿这个题目问过身边的一些人，其中有几个人真的随口就把二分法给说出来了。每当我听到二分法时，当我没问。

解答2：得5分的答案

如果我们动一下脑子仔细思考这个问题，我们会得到一个相对不错的答案。参加BAT面试那位朋友就给出了下面的这种方案，并自认为是一种很完美的答案。但面试官给出的回答是：我还是不满意。

据说，他这种思路的灵感来自于数学中的求极值问题。

[cpp] view plaincopy

/*已知两个自然数的和为25，求这两个数的平方和的最大、最小值。*/
解：设一个自然数为x 另一个自然数为25-x
x²+(25-x)²
=2x²-50x+625
=2(x²-25x+312.5)
=2[(x-12.5)²-156.25+312.5]
=2[（x-12.5）²+156.25]
所以可得：
当x取12.5时有最小值2×156.25=312.5 //（当x==y==12.5时取得极小值）
当x取25时有最大值2×（12.5²+156.5）=625

因此，很容易得到启发(当然，这只是一种直觉，并没有什么理论依据。)。100层楼，平均分成10分，每份刚好10层。

那么我们的做法如下：

将100层楼分成10分，每一份就是10层楼。首先，将鸡蛋从第10层楼开始扔。那么结果有两种可能：
情况1：如果碎了，说明临界楼层在1到10之间，但现在只剩下一个鸡蛋了，只能从第一层一直到第10层。
情况2：如果没有碎，接下来从第20层扔鸡蛋。
该方法的思路是，用一个鸡蛋来试探，找到临界楼层的大致范围[1~10]、[11-20]….[91-100]。然后用另一个鸡蛋在大致范围内找出精确楼层。该方法的最坏次数是：18次。(自己去算，如果你算出来是17次，那就17次呗：))

解答3：得10分的答案

这是真正有理有据的解答。具体如下所述：

我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为x，即我们为了找出N，一共用鸡蛋做了x次的实验。那么，我们第一次应该在哪层楼往下扔鸡蛋呢？先让我们假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋，如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N，只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。由于第一个鸡蛋在第y层就摔破了，所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果，噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。) 这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。OK，那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N肯定要比x大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？我们可以模仿前面的操作，如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了，那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层；第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)，同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层， ……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即

[cpp] view plaincopy

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100
(x+1)*x/2 >= 100

得出答案是14。

即我先用第1个鸡蛋在以下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试，即可保证在最坏情况下也只需要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始，往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。

[cpp] view plaincopy

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

比如，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试，第二个鸡蛋最多只需要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏情况只需要测试14次即可得出答案。

--------------------------------------以下是知乎上的答案---------------------------------------------------------------

解法：
记n层s球的问题为Q(n,s),对应的最坏情况最优解为ba(n,s);

一些简单的结果：
(0) ba(m,2)>=ba(n,2) 如果m>n,trivial.
(1) ba(n,1)=n
当你只剩下一个球，为了能够检验出临界点，你只能逐层检验，最坏情况下所需的检验次数为n；
(2)ba(1,2)=1
(3)iterative: 假设你从k层扔球，有两种情形：

球破。那么临界层必然在1层到k-1层之间，剩下一球，由(1)得出，最坏情况最优所需的步数为: 1 + ba(k-1,1)=k;
球不破。问题变成n-k层两球的问题Q(n-k,2), 所以最坏情况最优所需步数是：1+ba(n-k,2);

综合1，2，最坏情况所需步数：
当k=1+ba(n-k,2)的时候，
ba(n,2)=ba(n-k,2)+1
结合(2),(3),由(2)迭代得知:
当n = 1+2+3+...+k
ba(n,2)=k
当k=13时， n=91；
ba(100,2)=max(9,1+ba(91,2))=14

所以100层，最坏情况最优策略的步数是14.
--------------------------------------------------------------------------知乎答案2-----------------------------------------------------------------------------------------------

作者：feilengcui008
链接：http://www.zhihu.com/question/31855632/answer/54747429
来源：知乎
著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。

/* * * m个球，n层楼，最少几次（假设为最坏情况下的最少次数，不是平均次数） * 能判断从哪层楼开始扔球会坏掉，假设球摔坏的概率与楼层高度无关且每层相等, * 并且不一定肯定有一层能摔坏 * 递推公式： * b(m,n) = min{ max{ b(m-1,k-1)+1, b(m,n-k)+1 } } * * */#include <stdio.h>int max(const int &a, const int &b){ return a>b ? a : b;}int min(const int &a, const int &b){ return a>b ? b : a;}void mball_nfloor(int m, int m);int main(int argc, char **argv){ fprintf(stdout, "\n**********************mball_nfloor(4, 100)************************\n"); mball_nfloor(4, 100); fprintf(stdout,"\n******************************************************************\n"); fprintf(stdout, "\n**********************mball_nfloor(1, 100)************************\n"); mball_nfloor(1, 200); fprintf(stdout,"\n******************************************************************\n"); fprintf(stdout, "\n**********************mball_nfloor(4, 1)**************************\n"); mball_nfloor(4, 1); fprintf(stdout, "\n******************************************************************\n"); return 0;}//b(m,n) = min{ max{ b(m-1,k-1)+1, b(m,n-k)+1 } }//n>=1,m>=2,1<=k<=n//For convenience, we handle m=1, n=0 separatelyvoid mball_nfloor(int m, int n){ if(m<=0 || n<=0) return; int result[m+1][n+1]; int temp_min = n+1; int temp_max = 0; //for n==0 and n==1 for(int i=0;i<=m;i++){ result[i][0] = 0; result[i][1] = 1; } //for m==0 and m==1 for(int i=0;i<=n;i++){ result[1][i] = i; result[0][i] = 0; } if(m>1 && n>1){ //start from 2 balls for(int a=2;a<=m;a++){ //start from 1 floors for(int i=1;i<=n;i++){ for(int k=1;k<=i;k++){ temp_max = max(result[a-1][k-1]+1, result[a][i-k]+1); temp_min = min(temp_min, temp_max); } result[a][i] = temp_min; temp_min = n+1; } } } for(int i=1;i<=m;i++){ fprintf(stdout, "\n======%d个球，%d层，每种楼层各种丢球方法中最坏情况下的最少丢球次数======\n", i, n); for(int j=1;j<=n;j++){ fprintf(stdout, "%d\t", result[i][j]); } fprintf(stdout, "\n"); }}

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