算法学习笔记——动态规划：高楼扔鸡蛋
LeetCode 887. 鸡蛋掉落
建筑有n层（取值1,2,...n），存在一个楼层F（0<=F<=n，注意F取值比n多一个），从高于F的楼层扔鸡蛋，鸡蛋会碎；否则鸡蛋不会碎
给你k枚相同的鸡蛋，每次可以在任意楼层向下扔鸡蛋（如果鸡蛋没碎，可以重复使用）问：在最坏情况下，至少要扔几次鸡蛋，才能确定F楼层的位置
如k = 2, n = 6时，返回3（在3层处扔鸡蛋，然后若鸡蛋碎了，只剩下一颗鸡蛋，就只能用线性扫描1~2楼）
理解题意：
最坏情况的含义：就是一定要等到搜索区间穷尽时才找到目标楼层，即每次向下摔鸡蛋，不管碎或没碎，都只能将目标区间缩小一定程度
i.e. 应该排除在1楼做一次实验就刚好碎了，结果得到
F=0这种“幸运成分”
而是应当认为，在1楼做一次实验，最坏情况是鸡蛋没碎，那么就只能继续在更高楼层去做实验
——每次扔鸡蛋会将高楼分为上下两部分，应该做最坏的打算，即包含F的目标区间位于[剩余楼层数更多的那一部分]
思路：
- 如果不限制鸡蛋个数，显然用二分思路可以得到最少的尝试次数；
但问题是鸡蛋个数有限，二分不可行（假如只有一颗鸡蛋，碎了就没有机会实验了，于是只能线性扫描，从低楼层向高楼层逐次尝试）
能不能先用二分搜索，等到只剩一颗鸡蛋时，再执行线性扫描呢？
这样也不是最优解，比如有100层楼和2颗鸡蛋，在50楼扔一次，剩下49次线性扫描，这样就不如“十分”：第一个鸡蛋每隔10楼扔一次，碎了后用第二颗鸡蛋线性扫描10层楼，总次数不超过20次。
因此，此题不能轻易看出最佳策略，只能穷举所有可能性并取最值（然后用动态规划进行优化）
- 如果在某一层楼扔了一个鸡蛋，结果会将整幢楼划分为下面部分的一号楼和上面部分的二号楼（收缩了
F的目标区间）
如果鸡蛋碎了，应该到一号楼中寻找F；
如果鸡蛋没碎，应该到二号楼中寻找F
（有种二分搜索的感觉）
同时，要注意题目求的是最坏情况：每次扔鸡蛋会将高楼分为上下两部分，应该做最坏的打算，即总认为包含F的目标区间位于[剩余楼层数更多的那一部分]
根据上面的分析，我们只需关注目前的搜索区间的长度（区间中剩余的楼层数）
当搜索区间长度为0：找到了目标楼层
当搜索区间长度为1：相当于在n=1的楼中寻找F，此时仍需扔一次鸡蛋，确定F=0/1
从上面的思路出发，找出状态和选择，然后穷举所有可能，先得到暴力解法，然后优化即可
状态：目前剩下的搜索区间长度和剩余的鸡蛋数
选择：在哪一层楼扔鸡蛋dp数组的定义：
dp[k][n]代表有n层楼和k个鸡蛋时，最坏情况下确定F值的最少次数状态转移：在
n层楼的i层扔鸡蛋，本身扔鸡蛋次数+1
鸡蛋没碎，dp[k][n]=1+dp[k][n-i]，搜索区间为下半部分
鸡蛋碎了，dp[k][n]=1+dp[k-1][i-1]，搜索区间为上半部分
首先，考虑最坏情况，要求dp[k][n]取两者中的最大值（在低层扔鸡蛋，鸡蛋碎了需要搜索上半部分，这是最坏情况；在高层扔鸡蛋，鸡蛋没碎需要搜索下半部分，这是最坏情况；）
其次，我们不知道在n层楼的哪一层开始扔鸡蛋能得到最少的尝试次数，因此需要遍历尝试并比较所有可能的层数i（1<=i<=n）至于下次怎么做选择不用关心，交给递归完成，最终对各个选择的代价取最小值即为最优解base case：
k==1，dp[1][n]=n只有一颗鸡蛋，必须线性扫描（k==0无意义）
n==0，dp[k][0]=0，搜索区间长度为0，代表已经找出F
实现：
动态规划不一定非要用dp数组，对于这题用递归更方便
写出递归的暴力解法后，用备忘录优化即可达到dp数组同样的复杂度
class Solution:def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:memo = dict() # 备忘录def dp(k, n):# dp[k][n]代表有n层楼和k个鸡蛋时，最坏情况下确定F值的最少次数# base case# k==1，dp[1][n]=n，只有一颗鸡蛋，必须线性扫描（k==0无意义）# n==0，dp[k][0]=0，搜索区间长度为0，代表已经找出Fif k == 1:return nif n == 0:return 0if (k, n) not in memo:# 我们不知道在n层楼的哪一层开始扔鸡蛋是最好的选择，因此需要遍历尝试所有可能的层数i（`1<=i<=n`），取最小值minans = float('inf')for i in range(1, n + 1):ans = min(ans, 1 + max(dp(k - 1, i - 1), dp(k, n - i))) # 在碎了/没碎中，取最坏情况maxmemo[(k, n)] = ansreturn memo[(k, n)] return dp(k,n)
子问题数目=状态总数=KN，子问题本身复杂度=N（dp函数中的for循环）
总复杂度O(kN^2)
优化效率：二分搜索优化
注意，二分搜索优化与之前提到的用二分思路扔鸡蛋没有任何关系，能用二分搜索仅仅是因为这个问题的
dp函数具有单调性，因而可以用二分搜索来快速寻找最值（具有单调性的问题，大多可以通过二分搜索来优化）
回顾dp(k,n)定义：有n层楼和k个鸡蛋时，最坏情况下确定F值的最少次数
注意到这样一个事实:对于dp(k,n)，当k固定时，整个函数的值随着n的增大而单调递增
- 我们之前所做的，就是对于
i (1<=i<=n)求函数max(dp(k-1, i-1), dp(k, n-i))+1的值，然后找到[使函数取最小值的i值] - 在子问题中，
k和n可以是为常数，则dp(k-1, i-1)随着i单调递增，而dp(k, n-i)随着i单调递减，画图表示为
- 最终，问题转化为：两个随着
i单调变化的函数组合称为另一个函数（上图红色部分），求这个函数的山谷(Valley)值
实现：
对于i，维护其左右边界l和r，每次使用二分法取值i=mid=(l+r)//2，比较dp(k-1, i-1)和dp(k, n-i)，可以判断：若该处位于山谷值左侧，向右收缩区间；否则向左收缩区间（并不断更新红色部分的函数的最小值）
class Solution:def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:memo = dict() # 备忘录def dp(k, n):# dp[k][n]代表有n层楼和k个鸡蛋时，最坏情况下确定F值的最少次数# base case# k==1，dp[1][n]=n，只有一颗鸡蛋，必须线性扫描（k==0无意义）# n==0，dp[k][0]=0，搜索区间长度为0，代表已经找出Fif k == 1:return nif n == 0:return 0if (k, n) not in memo:# 我们不知道在n层楼的哪一层开始扔鸡蛋是最好的选择，因此要尝试所有可能的层数i（1<=i<=n），取最小值minans = float('inf')# for i in range(1, n + 1):# ans = min(ans, 1 + max(dp(k - 1, i - 1), dp(k, n - i))) # 在碎了/没碎中，取最坏情况max# 二分法求山谷值,代替线性搜索l, r = 1, nwhile l <= r:mid = (l + r) // 2i = midbroken = dp(k - 1, i - 1) # 碎了notBroken = dp(k, n - i) # 没碎if broken < notBroken: # 该处位于山谷值左侧l = mid + 1ans = min(ans, notBroken + 1)else:r = mid - 1ans = min(ans, broken + 1)memo[(k, n)] = ansreturn memo[(k, n)]return dp(k, n)
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