麦克劳林级数：
tanx=x+x3/3+(2x5)/15+O(x6)(Taylorseries)tanx=x + x^3/3 + (2 x^5)/15 + O(x^6) (Taylor \ series)tanx=x+x3/3+(2x5)/15+O(x6)(Taylor series)
求tanx级数展开可用sin/cos（即多项式长除法）求tanx级数展开可用sin/cos（即多项式长除法）求tanx级数展开可用sin/cos（即多项式长除法）

secx=1+x2/2+(5x4)/24+O(x6)(Taylorseries)secx=1 + x^2/2 + (5 x^4)/24 + O(x^6) (Taylor series)secx=1+x2/2+(5x4)/24+O(x6)(Taylorseries)

∑anx∧n=a0+a1x+a2x^2+ .+anx^n+.
∑bnx∧n=b0+b1x+b2x^2+ .+bnx^n+.
∑anx∧n×∑bnx∧n＝[a0+a1x+a2x^2+.+anxn+.][b0+b1x+b2x^2+.+bnxn+.]
=a0b0+(a0b1+a1b0)x+ .+(a0bn＋a1bn-1＋.anb0)x^n+.
类似多项式乘以多项式,把x^k的系数放在一起

secx=1+tan2xsecx=1+tan^2xsecx=1+tan2x
？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

原因是要求乘积的级数绝对收敛，如果只是条件收敛的话改变求和顺序就可能收敛到任意结果。原因是{\color{red}要求乘积的级数绝对收敛}，如果只是条件收敛的话改变求和顺序就可能\href{https://blog.csdn.net/ResumeProject/article/details/108367799}{收敛到任意结果}。原因是要求乘积的级数绝对收敛，如果只是条件收敛的话改变求和顺序就可能收敛到任意结果。

因为出现了Euler数和Bernoulli数
为偶函数，求导变号，待定系数法带入乘积为1，得到展开式

其他，必须要记的几个公式：

ex好求导直接记e^x好求导直接记ex好求导直接记
其次好记的就是sinx其次好记的就是sinx其次好记的就是sinx
sinx=x−x3/6+x5/120+O(x6)sinx=x - x^3/6 + x^5/120 + O(x^6)sinx=x−x3/6+x5/120+O(x6)
sinx为奇函数，在零点sinx的导数都是1，−1并且交错出现sinx为奇函数，在零点sinx的导数都是1，-1并且交错出现sinx为奇函数，在零点sinx的导数都是1，−1并且交错出现
cosx=1−x2/2+x4/24+O(x6)cosx=1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6)cosx=1−x2/2+x4/24+O(x6)
cosx为偶函数，sin求导得到cosx为偶函数，sin求导得到cosx为偶函数，sin求导得到

(1+t)a=1+at+……用二项式定理或者直接计算也是非常简单的( 1 + t ) ^ { a}=1+at +……用二项式定理或者直接计算也是非常简单的(1+t)a=1+at+……用二项式定理或者直接计算也是非常简单的
令t=x^2
arctanx由其导数11+x2的级数积分得到arctanx由其导数\frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } }的级数积分得到arctanx由其导数1+x21的级数积分得到
arcsinx由其导数11−x2的级数积分得到arcsinx由其导数\frac { 1 } { \sqrt {1-x^2}}的级数积分得到arcsinx由其导数1−x21的级数积分得到

11+x和11−x是首相为1的等比级数，有高斯的错位相减得到的公式\frac { 1 } { 1 + x }和 \frac { 1 } { 1 - x } 是首相为1的等比级数，有高斯的错位相减得到的公式1+x1和1−x1是首相为1的等比级数，有高斯的错位相减得到的公式

还有ln(1+x)=x−x2/2+x3/3−x4/4+x5/5+O(x6)根据ln(1+x)的图像知道，函数非机非偶，系数都在，由常用不等式知其小于x,系数不可能全是同号，实际上是交错的，x为首相，特点没有阶乘还有ln(1+x)=x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + O(x^6)根据ln(1+x)的图像知道，函数非机非偶 \\，系数都在，由常用不等式知其小于x,系数不可能全是同号，实际上是交错的，x为首相，特点没有阶乘还有ln(1+x)=x−x2/2+x3/3−x4/4+x5/5+O(x6)根据ln(1+x)的图像知道，函数非机非偶，系数都在，由常用不等式知其小于x,系数不可能全是同号，实际上是交错的，x为首相，特点没有阶乘常用不等式

逆函数的展开求法

f(x)=x+axα+……f(x)= x+ax^α+……f(x)=x+axα+……
f−1(x)=kx+bxβ+……f^{-1}(x)= kx+bx^β+…… f−1(x)=kx+bxβ+……

则：k=1,b=-a,α=β

证明方法：

将多项式1带入多项式2,f−1(f)=x将多项式1带入多项式2,f^{-1}(f)=x 将多项式1带入多项式2,f−1(f)=x
可用sin,arcsin,tan,arctan验证可用sin,arcsin,tan,arctan验证可用sin,arcsin,tan,arctan验证

tan(x)=(2tan(x/2))/(1−tan2(x/2))tan(x) = (2 tan(x/2))/(1 - tan^2(x/2))tan(x)=(2tan(x/2))/(1−tan2(x/2))
参考：
https://wenku.baidu.com/view/408b946e974bcf84b9d528ea81c758f5f71f296d.html
https://www.bilibili.com/read/cv4393698
Euler数和Bernoulli数：参考谢惠民数学分析习题课讲义
https://zhidao.baidu.com/question/1898101362676418260.html

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由n维球的体积的公式可以得到，因为e^x展开收敛，所以n维球的体积在n趋于无穷时为0。

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初等函数的麦克劳林级数展开+逆函数的展开求法

其他，必须要记的几个公式：

逆函数的展开求法

则：k=1,b=-a,α=β

证明方法：

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