在AP微积分、IBHL、Alevel中都有幂级数的身影，我们不仅要知道

处展开的泰勒级数公式

，还要熟悉常见函数的麦克劳林展开公式(

处展开)，比如

看到那么多公式，很多同学都感到很绝望，这些公式长得不是都差不多嘛？？

有些程度好的同学可能在想，根本不用记这些公式，到时直接推一下就可以了，不就是求

阶导。

但是，不是每个函数求

阶导都像

那么容易的，而且考试是一个限时测试，我们可能没有那么多时间用来推导这些公式。

所以接下去，本文就来介绍一下如何巧妙记住这些函数的麦克劳林级数展开。

注：是我认为这样记忆比较方便，如果大家有更好的方法欢迎留言交流。另外，我这里只介绍展开形式，对于收敛区间大家可以看看之前介绍的《幂级数收敛半径及收敛区间》一文。这里再强调一下，收敛区间很重要，凡在收敛区间外取值都是耍流氓。

接下去开始我们的表演：(1)

的麦克劳林级级数展开其实就是在记忆任意函数的麦克劳林级数展开公式

，因为

，而

，所以我们只需要记住原来的展开公式，把所有的导数部分换成1就可以了。

(2)

对于

展开的记忆，大家可以联想一下我们无穷等比数列的求和。当

时等比数列前

项的和为

。特别的，当

时，无穷等比数列的和为

。那么我们这里的

不就是一个首项为1，公比为

的无穷等比数列求和，就等于

。

(3)

有了

的展开公式，那么记忆

就简单很多，只需要把它改写成

就可以了。

(4)

我们都知道

是奇函数，而奇数就是

所以展开后都是

而我们的符号与

一样都是正负交替的。

(5)

记忆

与

类似，因为

是偶函数，而偶数当然就是

,所以展开后都是

,符号我们之前也说了是正负交替的。

(6)

函数

直接记忆也行，蛮有特色的，不过有更好的。我们知道

，而

我们之前已经讲过怎么记忆。如果我们想知道

的展开形式只需要对

两边积分就可以了，

类似的，我们来推导一下

的麦克劳林展开：

因为

所以，

其实除了积分，我们也可以用求导，比如

，所以

(7)

对于

我们有二项式展开：

。

对于

我们只要仿照二项式展开就可以了，只不过这里的

变成了任意的实数

。

通过上面的讲述，我相信大家对于这些常见函数的麦克劳林展开会有更加深刻的记忆，当然每个人都有自己喜欢的记忆方式，只要能够帮助自己把这些公式记住了都是好的方法。不过记住这些公式还是第一步，还要学会灵活应用，这个有机会再来分享吧。

这里留一个小问题：

在刚才我们也说了可以通过

求导来推导

的麦克劳林展开形式，那么按照道理我们也可以通过对

的积分来得到

,于是

但是我们知道

，那么那个

到哪里去了呢？？？

想了解更多关于国际数学竞赛及课程的知识，可参阅：https://zhuanlan.zhihu.com/p/62918360​zhuanlan.zhihu.com

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