【学习笔记】matlab进行数字信号处理（三）数字滤波技术

【学习笔记】matlab进行数字信号处理（一）生成信号及信号的时域频域分析
【学习笔记】matlab进行数字信号处理（二）信号的相关分析及幅值分析
【学习笔记】matlab进行数字信号处理（三）数字滤波技术
【学习笔记】matlab进行数字信号处理（四）信号的时频域分析

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第七章信号的数字滤波技术

7.1 数字滤波器的概念

将低、中、高三种频率的信号叠加在一起，频谱有相应的低中高三个频率成分
滤波前提：信号的频率是不重叠的，这样可以将干扰和信号分离

方法一：直接使用数字滤波器，采样频率至少是最高频率的两倍，为了不让高频成分发生频谱混叠，这时采样频率必须非常高
方法二：如果先经过一个模拟滤波器，将高频去掉，采样频率是低频段最高频率的两被以上即可
所以，对于模拟和数字滤波器，由于滤波位置的不同，会影响采样频率
因此，当干扰信号是非常高的频率成分时，必须用模拟滤波器将高频成分去除掉，这样才能降低采样率，进而降低运算量

方法一：如果信号的有用成分是高频成分，经过AD和滤波后得到的信号，AD的满量程精度并不高，并没有全用满
方法二：在通过高通滤波器后，可以讲幅值很大的低频分量滤除掉，将其放大到满量程，再进行AD转换，此时会将AD的满量程精度全部用上
所以，当干扰信号的量程很大，而有效信号的量程给非常小时，应该用模拟滤波器将大量程的干扰信号滤除，然后再放大和AD转换

所以，模拟和数字滤波器的使用顺序会影响采样频率和有效的AD位数

滤波器中的吉普现象，实现左图这种滤波的系统是理想的，是物理不可实现系统

可通过半功率点计算截止频率；
纹波幅度指在频率通带内浮动的幅度；
带宽指上限和下限截止频率之差，带宽除以中心频率叫品质因数，品质因数越高，说明滤波器越窄，即频率选择性越强；
倍频程选择性W看10fc和fc之间衰减了多少，主要用来衡量滤波器的衰减速度，W越大，衰减速度越大

滤波器设计标准：1是过度区较窄，2是脉冲响应较短
实际这两个指标是矛盾的，过渡区越陡，脉冲响应越宽
实际设计要根据这两个参数进行平衡

频域相乘，时域卷积

7.2 频率域滤波

输入信号进行FFT后，与频率域定义的滤波器相乘，得到频域的输出信号，再进行傅立叶n逆变换得到输出信号

在频谱上直接处理，哪里不要，哪里直接清零

信号经过FFT变换，由实部和虚部两部分构成；图中黑色为正频率部分，红色为负频率部分
这几种滤波器虚部设为0

1、定义一个50、300、500Hz的测试组合信号，
2、进行FFT
3、定义一个低通滤波器
4、频域相乘，再进行逆变换

由于数字滤波借用了FFT算法，将长数据信号分成很多时间片，分别进行滤波，滤波后再将每个时间片接起来
但是这个时间片的一头一尾会有暂态效应，会存在失真，所以要对滤波后的数据进行掐头去尾
如果取的是1024点，可以将尾部或头部的64点去掉；如果取的是2048点，可以将尾部或头部的128点去掉

7.3 时域滤波

由时域卷积分，写到离散域，采集点的卷积分

离散域中将频域的滤波器转换到z域的滤波器

已知一个系统的拉式变换，可以直接求出z变换

时域滤波的关键就是得到Z变换形式的滤波器

生成一个低频加高频的合成信号，经过差分之后低频被滤除掉，等效为一个高通滤波器

将一个测量点测很多次，然后求平均，此时可以将随机测量误差去除掉，这种数据平滑的过程，等价于一个简单的低通滤波器

7.4 FIR滤波器

也叫有限脉冲响应滤波器，含义是指如果给滤波器一个脉冲信号，则单位脉冲响应是有限长度的

计数长度是20，f是频率点，m是对应的幅值
折线是对应的理论上的滤波器，平滑的是实际的滤波器，点线是滤波器的脉冲响应

直观，定义一个滤波器系统，给这个系统输入一个脉冲激励，系统的输出就是脉冲响应，对这个响应离散取样，就能够得到脉冲响应的系数

v1是归一化因子

强行的截断，并不合理，需要对这种方法进行改进

理想低通滤波器，在傅立叶逆变换后系数长度为无穷，物理不可实现，但滤波器的系数长度只能是有限的，这样在窗口外的数据认为强制的是0，只对窗口内的部分做傅立叶变换，频率特性如右图所示，但其中的跳变往往是我们不希望的
用一个窗函数对理想滤波器的脉冲响应相乘，使得窗口外的系数被衰减到0

用脉冲响应函数和汉宁窗相乘
优点：在截断处没有跳变
缺点：衰减特性变差
最常用的方法！去设计fir滤波器

以上的过程都集成到了fir1函数中

fir1

设计了一个48点的滤波器，滤波器的归一化频带在0.35到0.65之间，用窗函数Blackman（窗函数的长度要不滤波器的长度加1）
freqz（b,1,512）：画出滤波器的频率响应特性
fir1：用脉冲响应加窗函数实现的滤波器

滤波后头部会有部分失真，filter函数

右一图：1表示原始信号，2表示信号由3个频率成分构成，3表示滤波后的效果
fir1(48,0.1)：设计的是一个低通滤波器，fir1，48个点，归一化截止频率是0.1（滤波区间0～0.1）
fir1(48,[0.2,0.4])：带通滤波器
fir1(48,0.4,‘high’)：高通滤波器

fir2-复杂频率通带滤波器

fir1能定义的滤波器种类比较少，直上直下导致暂态效应比较重，吉普丝现象比较强烈
fir2比fir1有改进，定义若干个过渡衰减点，通过f 和m的数组去定义这样的点，但fir2实际还是窗函数滤波

先定义一些频率点及相应的幅值，再使用fir2去滤波

用fir2滤除高频成分
fir2求出滤波器系数，然后使用filter进行滤波

和fir2一样，用两个数组去定义滤波器，用最小二乘求出滤波器的系数，可以保证在指定点处的误差最小，但是点取的不好的话，结果可能比fir2要差

firls只是保证设定点的误差最小，其余位置很难进行约束；fir2在设定点的特性不保证，但是整体尚可

作业

7.5 IIR滤波器

IIR传递函数有分母，FIR没有分母
IIR脉冲响应是无限长的，在相同的长度和计算量时，IIR和FIR相比，幅频滤波特性更好，相频滤波特性差些，存在相位失真
FIR做成对称或反对陈时，相位失真为0

首先定义一个模拟滤波器，然后通过傅立叶变换得到脉冲响应曲线，再对脉冲响应曲线进行离散取值，该方法叫脉冲响应不变法，在时域上让数字滤波器模仿模拟滤波器，但这种方法会存在频率混叠

解决频谱混叠问题，将s域映射到一个有限的s区间内，再映射到z平面

设计一个butter 的低通滤波器，bilinear双线性变换
将频带压缩到归一化频带当中去，不会发生频谱混叠

最常用，在频率通带内特别平坦，阻带能平滑的下降，2P阶次越高，过渡带越陡，衰减越快，但同时计算量也增加
这个滤波器有两个参数：滤波器的阶数、截止频率的位置

过渡带更陡峭，但是牺牲条件是在通带内有波纹（切比雪夫1型）；
（切比雪夫2型）在阻带内有波纹

过渡带更陡峭，但是通带和阻带都有波纹

iir滤波器-matlab函数

设计一个8阶的巴特沃斯低通滤波器，归一化频率是0.1，然后用filter函数进行滤波

作业

7.6 其他滤波器

滤除掉特定点的频率成分，而临近的频率成分依然能够通过

左侧是梳状陷波滤波器（‘notch’），可以让一组频率成分阻断掉，如f0、2f0、3f0等，这个滤波器在工程上很有用，因为干扰信号经常是谐波的关系，也就是说干扰除了在特定的频率会有，在特定频率的倍频也会有
右侧是梳妆尖峰滤波器（‘peak’），可以让一组谐波频率成分通过，常用于振动信号测量，往往很关心振动信号的基频倍频，希望把背景的非振动频率成分滤除掉

小波设计理论的基础，fir的一种

右1、2分别是半带的低通和高通滤波器

分别通过半带低通和半带高通然后再叠加，发现和原信号一致，只是在开始部分有一定延迟，是由于滤波器的暂态效应导致的

正弦信号通过这个滤波器，结果是一个余弦信号，信号产生了90度相移，但是幅值不变
常用于包络信号的检波
信号外面的轮廓，叫信号的包络，通过这个全通滤波器可以提取包络

经过希尔伯特变换后，实部是原信号本身，虚部是原信号加90度相移

产生一个调幅波信号
z=abs(y)相当去取根号下实部的平方加虚部的平方，便成功提取了包络

7.7 其他调制解调方法

最常用的是幅度调制AM
原理：如人说话是低频信号，传输距离有限，这时可以和一个高频载波相乘，通过发射台发射出去，就可以传输几百公里，在接收端对这样的信号进行包络检波，提取出轮廓线/包络，再由收音机播放出来

调幅波：A0cos(2pi*ft+相位)就是一个载波信号（就是个正弦波），x(t)是一个低频信号，这时载波的幅值就会随着低频信号的幅值变化
调频波：将测量信号放在频率上，信号越大，载波的频率越大，信号越小，载波的频率越小，疏密有变化
调相波：载波的相位会发生变化

用400Hz载波进行调制

信号幅值最大点，载波频率最高；信号幅值最小点，载波频率最低

7.8 数字滤波的应用

作业