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1、第七讲 Matlab在数字信号 处理中的运用 数字信号处理( DSP) 是指利用计算机或专用 处理设备，以数值计算的方法对信号进行采集、 变换、综合、估值与识别等加工处理，借以达到 提取信息和便于应用的目的。 Matlab是数字信号处理技术实现的重要手段。 通 过 Matlab，可以进行数字信号处理问题理论上的 分析和算法开发；配合 Simulink，用户可以进行 数字信号处理系统的设计和仿真。 本章内容 离散时间信号与系统 数字滤波器概述 IIR滤波器的设计 信号 连续信号 指时间连续、幅度连续的信号，又称模拟信 号，数学上表示为一个时间连续函数 ft; 离散信号 指时间离散，幅度仍然可以连。

2、续的信号。可 由 ft时域取样得到，数学上表示为一个时 间离散函数 fn; 数字信号 指时间离散而且幅度也离散的信号，可对模拟信 号处理获得 模拟信号 取样、量化、编码 数字信号 上述过程又称为脉冲编码调制，这是一个典型的 AD变换 过程； 计算机处理和存储的信号全部是数字信号，通常 需要将数字信号还原为模拟信号，过程为 数字信号 解码、反量化、重建 模拟信号 这个过程又称为 DA变换 。 1. 离散时间信号与系统 1) 离散信号及其 Matlab实现 单位抽样序列 单位冲激 n 仅在 n0时 取值为 1. 在 Matlab中，产生 N点的单位抽样序列，我们利 用 zeros函数来实现 xz。

3、eros1,N; x11; 例 7-1 产生一个 32点的，右移 20各单位的冲击序列。 程序如下 clear all; N32; k20; xzerosN; xk1; xn0N-1; stemxn,x; 单位阶跃序列 n Matlab实现 xones1,N; 右移 m，则 正弦序列 正弦序列定义 xnAsin2fnTs Matlab实现 n0N-1; xA*sin2*pi*f*n*Tsfai; n-m 1, nm 0, n n010; x0.9.n; stemn,x 实指数序列 xn na na 100,9.0 nn 随机序列 由于许多实际的序列并不能用数学式来描述， 我们将这些序列成为随机。

4、序列，并用相应的概率 密度函数来表示。 Matlab提供了两个随机数产生函数 rand1,N 产生 0,1上均匀分布的随机序列， N为长度； randn1,N 产生均值为 0，方差为 1的高斯 随机序列，即白噪声序列。 例 7-4 产生随机序列 generate random sequence n200; xn1rand1,n; xn2randn1,n; subplot2,2,1,stemxn1; xlabeln;ylabelxn;titlerand; grid subplot2,2,2;histxn1,10; xlabeln;ylabelxn;title均匀分布的概率密度 ; grid su。

5、bplot2,2,3,stemxn2; xlabeln;ylabelxn;titlerandn; grid subplot2,2,4,histxn2,10; xlabeln;ylabelxn;title高斯分布的概率密度 grid 2)波形发生器 Matlab内部提供了大量的函数用以产生噪声及常 用的信号波形，这些信号在信号处理中非常重要。 方波函数 square square函数有两种调用格式 xsquaret; xsquaret,duty; square函数产生周期为 2*pi，幅度为 1的方波。 duty为占空比，即信号为正值的区域在一个周期 内所占的百分比。 例如 xsquare2*。

6、pi*f*tfai,duty t为时间取样序列 f为方波的基频率 fai为方波的初始相位 duty为占空比，为 0-100之间的数。 例如 duty20， 即占空比为 20 x 返回的幅度为 1的矩形波样值序列 三角函数 sawtooth xsawtootht; xsawtootht,width; 例如 xsawtooth2*pi*f*tfai,width f为三角波的基频率 fai为三角波的初相位 width为宽度，为 0-1之间取值的尺度参数。 若 width0.3，表示在三角波的一个周期内上升沿 占 30；若 width0.5，产生对称的三角波；若 width1，产生锯齿。

7、波。 返回的幅度为 1的锯齿波样值序列 其它波形发生函数 chirp 线性调频信号 dirichlet 周期信号 sinc 傅立叶反变换 rectpuls 非周期的、单位高度的矩形信号 gauspuls 高斯调制正弦脉冲 tripuls 三角形脉冲信号 pulstrain 高斯调制正弦脉冲、非周期矩形脉冲 和非周期三角脉冲 voc 压控振荡信号 3)序列的操作 信号相加 是一种对应的样本与样本之间的相加，表示为 x1n x2n x1n x2n 用运算符“ ”实现，要求参与运算的两个序列长 度必须相等。 信号相乘 对应采样值之间的相乘，表示为 x1n* x2n x1n x2n 用数组运算符“ 。

8、.*”实现，要求参与运算的两个序 列长度必须相等。 倍率 每一个采样值乘以一个常数 a，表示为 axn axn 用算术运算符“ *”实现。 折叠 xn的每个样本都对 n0翻转，得到一个折叠后的 序列 yn。 yn x-n 由 flghrx实现。 样本和 将 n1和 n2之间的所有样本 xn加起来 由 sumxn1 xn2函数实现。 样本积 将 n1和 n2之间的所有样本 xn乘起来 由 prod xn1 n2函数实现。 2 1 2.1 n nn nxnxnx 21 2.1nn nxnxnx 2 1 2.1 n n nxnxnx 4)线性系统及其 Matlab实现 线性系统的基本概念 连续时间。

9、线性时不变系统的表示 拉普拉斯变换描述的传递函数形式； 一阶微分方程组描述的状态空间形式 离散时间线性系统的表示 Z变换描述的传递函数形式； 一阶差分方程组描述的状态空间形式 时域 响应工具箱函数 当系统由传递函数、状态方程给出时， Matlab 给出了专门求解系统单位冲激相应的函数 impulsesys 计算连续系统的冲激响应 dimpulse 计算离散系统的冲激响应 例如计算 的冲激响应。 systf1,1,1,0.5 Transfer function 1 - s2 s 0.5 impulsesys; 5.0 1 2 sssH 离散系统模型时域表示 filter函数 利用递归滤波器或。

10、非递归滤波器对数据进行滤波。 因为一个离散系统可以看作是一个滤波器，系统 的输出就是输入经过滤波器滤波的结果。 yfilterb,a,x; 表示由向量 b和 a组成的系统对输入 x进行滤波，系 统的输出为 y； y,zf filterb,a,x,zi; zi表示输出信号的初始状态， zf表示该函数返回 的系统的最终状态向量。 impz函数 直接给出系统的单位冲激相应，调用格式 impzb,a 例 7-5当系统的输入差分方程为 yn-0.8yn-1-0.5yn-20.7xn0.3n-1, 分别利用 filter函数和 impz函数求系统的单位冲激相 应。 clear all; pulse1,ze。

11、ros1,63; b0.7,0.3; a1,-0.8,-0.5; h1filterb,a,pulse; h2impzb,a,64; subplot2,1,1,stemh1,titlefilter fuction; subplot2,1,2,stemh2,titleimpz fuction; 传递函数响应 freqs函数 用于计算并画出连续系统的幅频响应和相频响应。 常用的调用格式为 hfreqsb,a hfreqsb,a,w 其中 b为传递函数 Hs分子多项式系数， a为分母多项式系统， w是指定计算频率点序列，如果 w省略，则自动取 200个频率点作计算。 h为返回值，是对应于频率点序列 w。

12、的复频率响应。 freqz函数 用于计算并画出离散系统的幅频响应和相频响应。 该函数使用基于 FFT算法计算系统传递函数响应 模型中的系数向量 a和 b。常用调用格式为 h,ffreqzb,a,n,fs 其中 b为传递函数 Hz分子多项式系数， a为分母多项式系数， n为指定计算频率点数 由于采用 FFT算法， n常取 2的幂次方，以提高计算速度 ， fs为离散系统的采样频率， h为对应于频率点序列 f的复频率响应。如无输出变量， 则自动作出幅频响应和相频响应图， f为记录频率点数。 2. 数字滤波器概述 1)数字滤波器的数学描述和分类 数字滤波器 DF， Digital Filter在数字信。

13、号 处理中起着重要的作用。在信号的处理， 检测与参数的估计方面，数字滤波器是使 用最为广泛的一种系统。 由于信号通常夹杂噪声及无用信号成分，所以必 须将这些干扰成分滤除。滤波器可以对信号进行 筛选，只让特定信号通过。 一般而言，噪声信号往往是高频信号。而经典滤 波器正是假定有用信号与噪声具有不同的频段， 所以利用经典的滤波器可以将噪声滤除。 但是如果信号和噪声频谱相互重叠，那么利用经 典的滤波器就不能发挥作用。现代滤波器的作用 是从含有噪声的数据记录中估计除信号的某些特 征或信号本身，那么估计出来的信号和源信号相 比，就具有更高的信噪比。 滤波是信号处理的基础，滤波运算是信号 处理中的基本运算。

14、。因此，滤波器的实际 问题也是数字信号处理中的主要问题。 数字滤波器的本质是将一组输入的数字序 列通过一定的运算后，转变成为另一组输 出的数字序列。 滤波器的数学描述有两种方法 差分方程 系统函数 N i i N i i inybinxany 00 M i i M i i N i i i N i i i zd zc A zb za zH 1 1 1 1 0 0 1 1 1 滤波器的分类 按计算方法 递归系统，非递归系统 按冲激响应长度 IIR， FIR 按频带分类 低通、高通、带通、带阻 2)设计步骤 按照实际需要确定滤波器的性能要求。 用一个因果稳定的系统函数(传递函数) 去逼近这个性能。

15、要求，这种传递函数可以 分为两类 IIR和 FIR。 用一个有限精度的运算去实现这个传递函 数。包括选择运算结构如级联型、并联 型、卷积型等。选择合适字长和有效的数 字处理方法。 3. IIR滤波器的设计 一个 N阶 IIR滤波器的传递函数可以表示为 传递函数的设计就是确定系数 ai、 bi或零、 极点 ci、 di，以使滤波器满足给定的性能要 求。 M i i M i i N i i i N i i i zd zc A zb za zH 1 1 1 1 0 0 1 1 1 利用模拟滤波器的理论 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足 预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理 论已经发。

16、展的很成熟，已经产生了许多高效率的 设计方法。很多常用的模拟滤波器不仅有简单而 严格的设计公式，而且其参数已经表格化，设计 起来非常方便、准确。因而可以将这些理论继承 下来，作为设计数字滤波器的工具。 1)设计方法一般有两种 最优化设计方法 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，使设 计出来的实际频率响应的幅频特性的均方误差最 小。 在此最佳准则下，通过迭代运算求滤波器的系数 ai， bi。 这里，第一种方法用的比较普遍，而随着计算 机技术的发展，最优化设计方法的使用逐渐增多。 IIR滤波器设计一般要借助于模拟滤波器原型， Matlab中设计 IIR滤波器的 典型步骤 如下 先根据数字滤波器的。

17、设计要求，获得相应的 模 拟低通滤波器的技术指标 ； 进行 模拟低通滤波器原形设计 ； 在 S域上进行 频率转换 得到相应的带通(高通、 带阻等)模拟滤波器； 最后再进行一个 从 S域到 Z域的映射变换 ，就得 到了所需的数字滤波器。 Signal Processing Toolbox对这几步都提供有实现的 函数。 1)模拟滤波器设计 根据滤波器滤波功能的不同，可以将滤波器分为 低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 一个离散时间系统可以用它的频率响应 来描述， Signal Processing Toolbox提供有一个 函数 freqz用于计算数字滤波器的频率响应 jeH je。

18、H 0 p p 0 s s jeH jeH 0 ph shplsl jeH phsl 0 plsh 实际中理想滤波器是不可能实现的，在通带和阻 带之间应该存在一个过渡带，而且通带和阻带内 滤波器的幅频响应也很难做到严格的 1或 0，应该 设定一个门限。 实际滤波器设计往往采用 和 分别表示通带 截止频率和阻带截止频率， 和 分别表示通 带允许的最大衰减和阻带应达到的最小衰减，其 关系式为 sp pR sR lg20 lg20 s p j s j p eHR eHR 滤波器的 6个重要的通带、阻带参数是 通带截至频率( Hz) ; 阻带起始频率( Hz) 通带内波动( dB)，即通带内所。

19、允许的最大 衰减 ; 阻带内最小衰减( dB) 设采样率为 ，那么可将以上参数中的频率参 数转换为归一化角频率参数 pf sf pR sR Nf 2 Npp ff 通带截至角频率( rad/s ) 阻带起始角频率( rad/s) 通过这些参数就可以进行离散滤波器的设 计了。 p s 2 Nss ff 归一化数字频率 如果数字信号是对模拟信号以周期 T采样得 到，那么数字频率 和相应模拟频率 的关系 为 。 称为归一化的数字频率。将归 一化数字频率乘上 就得到数字频率，单位 为 ；如果乘以采样速率的一半，得到的 是一个 Hz表示的频率。 T / srad / 例 7-6某滤波器的传递函数为 利用。

20、 Matlab画出它的幅频响应和相频响应的曲线。 321 321 2 7 8 1.01 8 2 9.176.11 0 1 8 1.00 5 4 3.00 5 4 3.00 1 8 1.0 zzz zzzzH 编写 M文件 b0.0181 0.0543 0.0543 0.0181; a1.000 -1.7600 1.1829 -0.2781; h wfreqzb,a; subplot2,1,1; plotw/pi,absh; xlabel归一化频率 pi rad/sample ; ylabel幅频响应 ; subplot2,1,2; plotw/pi,angleh/pi; xlabel归一化频。

21、率 pi rad/sample; ylabel相频相应 ; 幅频相频响应 2)巴特沃斯 模拟 滤波器设计 模拟滤波器设计方法分为三类 Butterworth z,p,kbuttapn chebyshew 、 型 z,p,kcheblapn,Rp z,p,kcheb2apn,Rp 椭圆滤波器 z,p,kellipapn,Rp,Rs 阶数的确定 在模拟滤波器原型设计函数之前，首先需要 根据设计要求确定合适的滤波器阶数，阶数取得 越高滤波器的性能越好，对于实现来说越不经济。 如何选择满足要求的最小阶数，就是一个重要问 题。 利用 Matlab提供的巴特沃斯滤波器设计函 数” buttord”即可求。

22、出所需要的滤波器最小阶数和 3dB截止频率。命令格式为 n,WnbuttordWp,Ws,Rp,Rs 其中 Wp是通带截止频率 Ws是阻带起始频率 Rp是通带内波动( dB) Rs是阻带内最小衰减 dB n是巴特沃斯滤波器最低阶数 Wn是巴特沃斯滤波器截止频率 巴特沃斯滤波器系数计算 由巴特沃斯滤波器的 阶数 n以及 截止频率 Wn 可以计算出对应传递函数 Hz的分子分母系数， Matlab提供的命令是 巴特沃斯 低通 滤波器系数计算 b,abuttern,Wn 巴特沃斯 高通 滤波器系数计算 b,abuttern,Wn,high 巴特沃斯 带通 滤波器系数计算 b,abuttern,W1,W。

23、2 巴特沃斯 带阻 滤波器系数计算 b,abutterceiln/2,W1,W2,stop 其中 n为低通滤波器阶数 Wn为低通滤波器截止频率 b为 Hz的分子多项式系数 a为 Hz分母多项式系数 例 7-7 巴特沃斯滤波器设计实例 1. 采样率为 8000Hz,要求设计一个低通滤波器 程序如下 f_N8000; f_p2100;f_s2500;R_p3;R_s25; Wsf_s/f_N/2;Wpf_p/f_N/2; n,WnbuttordWp,Ws,R_p,R_s; b,abuttern,Wn; freqzb,a,1000,8000; subplot2,1,1;axis0 4000 -30 。

24、3 dBRdBRHzfHzf spsp 25,3,2 5 0 0,2 1 0 0 2. 采样率为 8000Hz,要求设计一个高通滤波器， 程序如下 f_N8000; f_p1000;f_s700;R_p3;R_s20; Wsf_s/f_N/2;Wpf_p/f_N/2; n,WnbuttordWp,Ws,R_p,R_s; b,abuttern,Wn,high; freqzb,a,1000,8000; subplot2,1,1;axis0 4000 -30 3 dBRdBRHzfHzf spsp 20,3,700,1 0 0 0 3. 采样率为 10000Hz,要求设计一个带通滤波器， 程序如下 。

25、f_N10000; f_p1000,1500;f_s600,1900;R_p3;R_s20; Wsf_s/f_N/2;Wpf_p/f_N/2; n,WnbuttordWp,Ws,R_p,R_s; b,abuttern,Wn; freqzb,a,1000,10000; subplot2,1,1;axis0 5000 -30 3 dBRdBRHzfHzf spsp 20,3,1900,600,1500,1000 4. 采样率为 10000Hz,要求设计一个带阻滤波器， 程序如下 f_N10000; f_p1000,1500;f_s1200,1300;R_p3;R_s20; Wsf_s/f_N/2;。

26、Wpf_p/f_N/2; n,WnbuttordWp,Ws,R_p,R_s; b,abuttern,Wn,stop; freqzb,a,1000,10000; subplot2,1,1;axis0 5000 -35 3 dBRdBRHzfHzf spsp 30,3,1300,1200,1500,1000 3)频率变换 选定模拟滤波器的类型和确定模拟滤波器的 阶数后，就可以进行模拟低通滤波器原型的设计 了。但还需要在 s平面上进行原型变换，得到相应 符合设计要求的模拟滤波器，为下一步转换为数 字滤波器作准备。 滤波器原型到低通模拟滤波器 lp2lp 调用格式如下 bt,atlp2lpb,a,Wo。

27、 其中，参数 Wo指定截至频率，系统可以由传递函 数来描述( b， a分别代表分子系数向量和分母系 数向量) 滤波器原型到高通模拟滤波器 lp2hp 滤波器原型到带通模拟滤波器 lp2bp 滤波器原型到带阻模拟滤波器 lp2bs 例 7-8设计一模拟低通 Butterworth滤波器 要求 通带截止频率 阻带截止频率 带内最大衰减 带内最小衰减 Hzf p 5 0 0 0 dBR p 3 Hzf s 1 0 0 0 0 dBR s 30 clear; Wp5000*2*pi; Ws10000*2*pi; Rp3; Rs30; n,WnbuttordWp,Ws,Rp,Rs,s; z,p,kbut。

28、tapn; b0,a0zp2tfz,p,k; b,alp2lpb0,a0,Wn; h,wfreqsb,a; plotw/2*pi,20*log10absh; grid on; xlabel频率 Hz; ylabel幅频响应 dB; xlim0,12000; ylim-40,1; 4)从模拟滤波器到数字滤波器 从模拟滤波器变换到数字滤波器，也就是要从模 拟滤波器的传递函数 Hs得到数字滤波器的传递 函数 Hz，实际是从 s平面到 z平面的映射变换。 常用的方法有 2个 冲激响应不变法 bz,azimpinvarb,a,fs bz,azimpinvarb,a 双线性变换法 zd,pd,kdbili。

29、nearz,p,k,fs numd,dendbininearnum,den,fs Ad,Bd,Cd,DdbilinearA,B,C,D,fs 例 7-9用冲激响应不变法和双线性变换法将上题设 计出的模拟滤波器转换为数字滤波器，采样频率为 40kHz. 冲击响应不变法 Wp5000*2*pi; Ws10000*2*pi; Fs40000; Rp3; Rs30; n,WnbuttordWp,Ws,Rp,Rs,s; z,p,kbuttapn; b0,a0zp2tfz,p,k; b,alp2lpb0,a0,Wn; bz,azimpinvarb,a,Fs; freqzbz,az; 双线性变换法 clear; Wp5000*2*pi; Ws10000*2*pi; Fs40000; Rp3; Rs30; n,WnbuttordWp,Ws,Rp,Rs,s; z,p,kbuttapn; b0,a0zp2tfz,p,k; b,alp2lpb0,a0,Wn; bz,azbilinearb,a,Fs; freqzbz,az; 。