漫步微积分三十八——流体静力学
声明：单变量微积分的内容到这里就结束了，衷心希望可以帮到大家，再次谢谢大家的支持。
前面的文章中我们已经看到如何使用积分来解决几何和基本物理中产生的问题。
本节，我们简短介绍一下流体静力学，它主要关注液体的行为，尤其是，我们计算一个开口容器内部的水向外的作用力。我们可以考虑任何容器，可以是一个很小的鱼缸，也可是巨型大坝水库。之所以将它，是因为它更好的解释了前几篇文章的主题(将要计算的量划分为许多方便的小块，然后添加计算也就是积分得到要计算的量)。
有一个底面是矩形的盒子，里面的水深为hh(图1)，那么底部受到向下的力等于盒内水的重量。如果AA是底部的面积，那么由公式给出
\begin{equation} F=whA\tag1 \end{equation}
其中ww是水的质量密度，近似为62.5 lb/ft362.5\ lb/ft^3或者132ton/ft3\frac{1}{32}ton/ft^3。很明显(1)中的度量单位需要兼容。我们用feetfeet度量hh，square feetsquare\ feet度量AA，poundspounds或者tons per− cubic foottons\ per-\ cubic\ foot度量ww。那么力FF就是pounds or tonspounds\ or\ tons。
图1
如果我们用AA除以(1)，那么余下的量
\begin{equation} p=wh\tag2 \end{equation}
是压强，或者单位面积上的力，是水对盒子底部产生的。对于深度为hh的水造成的压强可以看成底面积为1 squre unit1\ squre\ unit 高为h unitsh\ units体积水的质量，公式(2)非常重要，因为它说明压强和深度成正比，容器的大小和形状与此是不相关的。例如，游泳池内深为4 ft4\ ft处的压强和湖里深为4 ft4\ ft 处的压强完全一样；我们在玻璃管底部放入软木并充满4ftft 高的水，也有同样的压强。此外，也可以通过实验验证在任何地方液体的压强方向相同，这意味着无论容器是水平放，垂直放或是任何角度放置，平板表面都有相同的压强，它的方向与平面垂直。潜水员根据经验知道对耳膜的水压只取决于水深，而不是他们头倾斜的角度。
对于图1，为了找出水对盒子底部的总压力，我们需要乘以底部的面积
F=pA
找到它对侧面的压力更加困难，因为随着水的深度增加，压强不是恒定。我们不考虑这个特定的问题，只考虑更加普遍的情况。
在图2中，我们显示了充满了对但形状不规则的平面。为了找到水对平面的总作用力，我们想象一下将它划分为许多薄的水平窄带。图中典型的窄带就是深度为hh处重色部分。它的宽度dhdh相比hh非常小所以基本上真个窄带的压强是恒定的，大小为p=whp=wh。窄带面积为dA=xdhdA=xdh，所以力的元素dFdF为：
dF=pdA=wh\cdot xdh
图2
作用在平面上的总力FF通过积分这些力元得出
\begin{equation} F=\int dF=\int_a^bwh\cdot xdh\tag3 \end{equation}
为了解决这一特定的问题的积分，有必要知道xx是hh的函数，这从平面的几何形状上可以确定出来。为了更好地了解和应用公式(3)而不是不加思索的死记这些公式，我们重复一下该方法的关键；使用薄的水平窄带，因为对于这样一条窄带，上面的压力基本上是恒定的，那么对它的力就简化为压强乘以面积。
例1：大坝中有一扇垂直的门呈正方形，它的边长为4ftft，上边沿在水平面下2ftft(图3)的地方。求出这扇门必须承受的力。
图3
解：这种情况中x=4x=4，hh从22增加到66，所以
F=\int_2^6wh\cdot 4dh=2wh^2\Big|_2^6=2w\cdot 32=2\ tons
例2：水渠中一个三角形坝顶部宽为10ftft深为6ftft图4。当顶部的水将溢出时，水对坝的作用力。
解：利用相似三角形的性质
\frac{x}{10}=\frac{6-h}{6}\qquad so\qquad x=\frac{5}{3}(6-h)
因为hh从0增加到6，所以
\begin{align*} F &=\int_0^6wh\cdot\frac{5}{3}(6-h)dh=\frac{5}{3}w(3h^2-\frac{1}{3}h^3)\Big|_0^6\\ &=60w=1\frac{7}{8}tons=3750lb \end{align*}
图4
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