实变函数自制笔记9：勒贝格积分的极限定理

1、非负可测函数积分的极限：

背景：在数学分析里，函数列极限函数黎曼可积性有这样的表述： $f_n\left ( x \right )\rightrightarrows f\left ( x \right ),x\in \left [ a,b \right ]$ ，且每个 $f_n\left ( x \right )$ 均在 $\left [ a,b \right ]$ 上可积 $\Rightarrow$ 函数列 $f_n\left ( x \right )$ 的极限函数 $f\left ( x \right )$ 也在 $\left [ a,b \right ]$ 上可积；从而有这样的公式： $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}f_n\left ( x \right )dx=\int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx$ ；那我们会想，勒贝格积分与极限能否交换顺序？事实上这只能在很弱的条件下进行；
列维（Levi，亦称莱维）定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数渐升序列 $\left ( f_i\left ( x \right )\leqslant f_{i+1}\left ( x \right ) \right )$ ，且 $f_n\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f\left ( x \right )$ （即 $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ），则有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx=\int_{E}\lim_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx$ ；
逐项积分定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，则有： $\int_{E}\sum_{n=1}^{\infty }f_n\left ( x \right )dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ ；其定理还有一个推论：已知 $E_i\left ( i=1,2,\cdots \right )$ 为 $E$ 的互不相交可测子集列，且 $E=\bigcup_{i=1}^{\infty }E_i$ ，则： $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上有积分 $\Rightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在每个 $E_i$ 上均有积分，且有 $\int_{E}f\left ( x \right )dx=\sum_{i=1}^{\infty }\int_{E_i}f\left ( x \right )dx$ ；
法图（Fatou）引理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，则有： $\int_{E}\varliminf_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx\leqslant \varliminf_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ ；这个引理可通过设中间非负可测函数列由列维定理证明得到，其中不等号可能成立的特例为： $h_n\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} m, &x\in \left ( 0,\frac{1}{m} \right ) \\ 0, & x\in \left [ \frac{1}{m},1 \right ] \end{matrix}\right.$ ；
法图引理的一些思考：通过法图引理，我们可以说明即使是一个处处收敛的可测函数序列，极限和勒贝格积分也未必能交换顺序；当然如果在有限测度集上的可测函数序列一致收敛到某个函数，那就肯定能交换顺序，但一致收敛性要求太高，实际很难做到；不过，我们可以从一致收敛性的定义来着手降低些要求；

2、勒贝格控制收敛定理：

积分的绝对连续性：已知 $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上勒贝格可积（可简写为 $f\in L\left ( \left [ a,b \right ] \right )$ ），则： $\forall \varepsilon >0$ ， $\exists \delta >0$ ，使得 $A\subset E$ 且 $m\left ( A \right )< \delta$ 时，有 $\left | \int_{A}f\left ( x \right )dx \right |< \varepsilon$ ；
勒贝格控制收敛定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，其控制函数为 $F\left ( x \right )$ （即满足 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant F\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ），且 $F\left ( x \right )$ 在 $E$ 上勒贝格可积（可简写为 $f\in L\left ( E \right )$ ）；则： $f_n\Rightarrow f$ （即 $f_n\left ( x \right )$ 依测度收敛于 $f\left ( x \right )$ ） $\Rightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；

控制收敛定理的描述还有另外一种说法：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 在可测集 $E$ 上勒贝格可积（即 $f_n\left ( x \right )\in L\left ( E \right )$ ），且满足这两个条件： $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ； $\exists$ 一个勒贝格可积的 $g\left ( x \right )$ 在可测集 $E$ 上，使得 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；
上述说法里的条件可稍稍加强，比如能保证 $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ 和 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant g\left ( x \right )$ 条件当然更好；条件更弱一些就是定理后面写着的 $f_n\Rightarrow f$ （依测度收敛）了；
勒贝格控制收敛定理有个特例，便是勒贝格有界收敛定理：已知 $f_n\left ( x \right )\left ( n=1,2,\cdots \right )$ 为有限测度 $\left ( m\left ( E \right )< +\infty \right )$ 可测集 $E$ 上的非负可测函数序列，且 $\forall x\in E$ ， $\exists M$ 为常数，有 $f_n\Rightarrow f$ （即 $f_n\left ( x \right )$ 依测度收敛于 $f\left ( x \right )$ ）和 $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant M,\textup{a.e. }x\in E$ ；则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是勒贝格可积的，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ ；同样的，这个定理也可以像2里说的那样将条件稍稍加强，比如 $f_n\Rightarrow f$ 依测度收敛换成几乎处处收敛甚至逐点收敛（也就是收敛）， $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant M,\textup{a.e. }x\in E$ 换成对于每个 $f_n\left ( x \right )$ ， $\left | f_n\left ( x \right ) \right |\leqslant M$ 均成立等等；
勒贝格控制收敛定理常用来解决已知函数列 $f_n\left ( x \right )$ 的情况下求 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ 的值，解决方法通常是：首先我们需要确定 $f_n\left ( x \right )$ 为有界可测函数列，有界性可以和之后找控制函数一起弄，而验证其为可测函数列只需要知道“可测集上的连续函数一定可测”即可验证；然后找出 $f_n\left ( x \right )$ 的控制函数 $F\left ( x \right )$ ，通常我们需要对含 $x$ 的取值进行分类，比如求 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{\left ( nx \right )^s}{1+\left ( nx \right )^{s+1}}dx\left ( 0\leqslant s\leqslant 1 \right )$ 时，我们自然会想到对 $nx$ 的取值进行分类（ $nx\geqslant 1$ 和 $nx< 1$ 的情况）求其控制函数，一般得到的控制函数为按照分类整合的分段函数；由于得到的控制函数 $F\left ( x \right )$ 可以判断是黎曼可积的（连续必可积），黎曼可积必勒贝格可积（由此得到了勒贝格控制收敛定理的第一个大条件），然后通过求出 $\lim_{n\rightarrow \infty }f_n\left ( x \right )dx$ 的值并设为 $f\left ( x \right )$ 得到了 $f_n\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ （由此得到了勒贝格控制收敛定理的第二个大条件）；结合这两个大条件，由勒贝格控制收敛定理可得式子 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx=\int_{E}f\left ( x \right )dx$ 成立，由这个式子可以帮助我们解决要求 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{E}f_n\left ( x \right )dx$ 的值；
勒贝格控制收敛定理有这样一个应用定理：已知 $f\left ( x \right )$ 为 $\left [ a,b \right ]$ 上的有界函数，则有： $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上黎曼可积 $\Leftrightarrow$ $f\left ( x \right )$ 在 $\left [ a,b \right ]$ 上的不连续点集是零测集；

实变函数自制笔记9：勒贝格积分的极限定理相关推荐

实变函数自制笔记8：初识勒贝格积分
1.勒贝格(Lebesgue)积分: 背景:勒贝格积分是在勒贝格测度论的基础上建立起来的,这一理论可以统一处理函数有界.无界的情形,且函数也可以定义在更一般的点集(不一定是)上:特别的是它提供了比黎曼 ...
实变函数自制笔记5：勒贝格测度论
1.外侧度: 测度的背景:仅有连续函数和积分的古典理论并不足以解决数学分析的许多问题:由于黎曼积分在理论上具局限性,故需要将原有的积分定义进行改造:对于闭区间的正值连续函数,其积分就是平面曲边梯形的面 ...
实变函数自制笔记3：集合的势
1.势的定义与康托-伯恩斯坦(Cantor-Bernstein)定理: 背景:对于集合所含元素的个数,有限个元素构成的集合(以下简称"有限集",对应的有"无限集" ...
DNS域名解析自制笔记
本文作于2022.1.22,用于个人加深印象一.DNS的引出识别主机的两种方式: ①主机名 hostname(如www.baidu.com)优点:可读性高,便于记忆 ②IP地址 IP addres ...
概率论笔记—大数定律与中心极限定理
目录一.依概率收敛二.大数定律 1. 切比雪夫大数定律 2. 伯努利大数定律 3. 辛钦大数定律三.中心极限定理 1. 列维-林德伯格定理 2. 棣莫弗-拉普拉斯定理一.依概率收敛设随机变量 ...
概率论笔记5.2中心极限定理
中心极限定理大量独立同分布的变量和的极限分布是正态分布定理例题利莫夫--拉普普拉斯定理这是前面一个定理的特殊情况,针对二项分布,可以用正态分布来近似计算,我们就可以通过查表来求得结果了什么 ...
数学建模理论自制笔记1：微分方程及其模型
1.微分方程基础概念: 微分方程:含有自变量.未知函数及未知函数的导数或微分的等式,其定义式为: 常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODE):不含偏导数或偏 ...
数学建模理论自制笔记2：差分方程及其模型
1.差分方程基础概念: 差分:这里的差分常指向前差分,即对于数列,差分算子为在处的向前差分:向后差分即是指:: 在处的阶差分::其中在处的2阶差分为,反映的是增量的增量: 差分方程:由以及差分所构成的 ...
实变函数笔记-勒贝格积分
[参考资料] [1]<实变函数与泛函分析基础> [2]陶哲轩 <实分析> 非负简单函数定义: 设f(x)的定义域E可分为有限个互不相交的可测集E1,E2,...,EsE_1, ...
《30天自制操作系统》笔记(01)——hello bitzhuwei’s OS!
<30天自制操作系统>笔记(01)--hello bitzhuwei's OS! 最初的OS代码 1 ; hello-os 2 ; TAB=4 3 4 ORG 0x7c00 ; 指明程序的 ...

实变函数自制笔记9：勒贝格积分的极限定理

实变函数自制笔记9：勒贝格积分的极限定理相关推荐

最新文章

热门文章