数学建模理论自制笔记2：差分方程及其模型

1、差分方程基础概念：

差分：这里的差分常指向前差分，即对于数列，差分算子为在处的向前差分；向后差分即是指：；
在处的阶差分：；其中在处的2阶差分为，反映的是增量的增量；
差分方程：由以及差分所构成的方程，比如阶差分方程形式为，其中这个方程可以化为，而这种形式是我们经常用的差分形式，线性差分方程的一般形式可以写成：；
齐次线性差分方程：线性差分方程式子里；
常系数线性差分方程：线性差分方程式子里均为常数；
差分方程的解：使阶差分方程对所有的都成立的；
差分方程的平衡解/平衡点：若常数是的解，那也就是差分方程的平衡解；
差分算子的性质：
- ；
- ；
- ；

2、简单常系数线性微分方程的解：

一阶常系数线性微分方程：；
1. 当时：易知通解；
2. 当时：有特解（其中为待定系数，对应的方程可以求出该值），那么通解为（即1中的通解+2中的特解）；比如的通解为：（其中求出）；
3. 当时：有特解（其中为待定系数，对应的方程可以求出该值），那么通解为（即1中的通解+2中的特解）；比如的通解为：（其中求出）；
二阶常系数线性微分方程：；
1. 当时：得到对应的特征方程为，若存在实根，则方程的特解和实根的情况相对应：；比如的通解为：；
2. 当时：有特解（其中为待定系数，对应的方程可以求出该值），那么通解为（即1中的通解+2中的特解）；比如的通解为：（其中求出）；
3. 当时：有特解（其中为待定系数，对应的方程可以求出该值），那么通解为；（即1中的通解+3中的特解）；比如的通解为：（其中求出）；

3、差分方程建模的步骤：

设定好实际问题中的未知函数，按照已知的相关学科的规律来建立相邻的自变量的未知函数取值间的依赖关系，从而建立差分方程模型；
对上述建立的差分方程模型，若能直接求解的则求出其解，若不能直接求解的或者直接求解比较困难的，则用定性的方法讨论其解的性质；
对解得的模型结果与实际情形加以对照，进行讨论。

4、差分方程建模模型举例：

银行存款与利率模型：假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%。用表示年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：。
- 设为年利率，由于，因此存款问题的数学模型是：；
- 很明显该方程为一阶齐次常系数线性微分方程，解得；
家庭教育基金模型：从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度。为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入元作为家庭教育基金。若银行的年利率为，试写出第年后教育基金总额的表达式。预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元？
- 设年后教育基金总额为，每年向银行存入元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：；
- 该方程为一阶常系数线性微分方程，解得；这里我们需要求出，则化为；代入，则；
抵押贷款模型：小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元。他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款。若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
- 设贷款额为，每月还贷额为，月利率为，第个月后的欠款额为，则；
- 该方程为一阶常系数线性微分方程，解得；若在第个月还清贷款，令，则；代入，则。

参考资料：

差分方程基本理论 - 知乎 (zhihu.com)

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