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一、依概率收敛

二、大数定律

1. 切比雪夫大数定律

2. 伯努利大数定律

3. 辛钦大数定律

三、中心极限定理

1. 列维-林德伯格定理

2. 棣莫弗-拉普拉斯定理

一、依概率收敛

设随机变量XXX与随机序列{Xn}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)\{X_n\}(n=1,2,3,···){Xn}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)，如果对任意的ϵ>0\epsilon >0ϵ>0，有：
lim⁡n→∞P{∣Xn−X∣≥ϵ}=0或lim⁡n→∞P{∣Xn−X∣≤ϵ}=1\lim_{n \to \infty} P\{ |X_n -X|\ge \epsilon \} = 0 \ 或 \ \lim_{n \to \infty} P\{ |X_n -X|\le \epsilon \} = 1 n→∞limP{∣Xn−X∣≥ϵ}=0 或 n→∞limP{∣Xn−X∣≤ϵ}=1
则称随机序列{Xn}\{X_n\}{Xn}依概率收敛于随机变量XXX，记为：
lim⁡n→∞Xn=X(P)或Xn→PX(n→∞)\lim_{n \to \infty} X_n = X(P) \ 或 \ X_n \xrightarrow{P} X \ (n \to \infty) n→∞limXn=X(P) 或 XnPX (n→∞)

二、大数定律

1. 切比雪夫大数定律

假设{Xn}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)\{ X_n \}(n=1,2,3,···){Xn}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)是相互独立的随机变量序列，如果方差DXi(i≥1)DX_i(i\ge 1)DXi(i≥1)存在且一致有上界，即存在常数CCC，使DXi≤CDX_i \le CDXi≤C对一切i≥1i\ge 1i≥1均成立，则{Xn}\{ X_n \}{Xn}服从大数定律：
1n∑i=1nXi=1n∑i=1nEXi\frac 1 n \sum ^n _{i=1} X_i = \frac 1 n \sum ^n _{i=1} EX_i n1i=1∑nXi=n1i=1∑nEXi

2. 伯努利大数定律

假设μn\mu_nμn是nnn重伯努利试验中事件AAA发生的次数，在每次试验中事件AAA发生的概率为p(0<p<1)p(0<p<1)p(0<p<1)，则μnn→Pp\frac {\mu_n} {n} \xrightarrow{P}pnμnPp，即对任意ϵ>0\epsilon >0ϵ>0，有：
lim⁡n→∞P{∣μnn−p∣<ϵ}=1\lim _{n \to \infty} P \left\{ \left|\frac {\mu _n} {n} - p \right | < \epsilon \right\} = 1 n→∞limP{∣∣∣nμn−p∣∣∣<ϵ}=1

3. 辛钦大数定律

假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是独立同分布的随机变量序列，如果EXi=μ(i=1,2,⋅⋅⋅)EX_i=\mu(i=1,2,···)EXi=μ(i=1,2,⋅⋅⋅)存在，则1n∑i=1nXi→Pμ\frac 1 n \sum \limits ^n _{i=1} X_i \xrightarrow{P} \mun1i=1∑nXiPμ，即对任意ϵ>0\epsilon >0ϵ>0，有：
lim⁡n→∞P{∣1n∑i=1nXi−μ∣<μ}=1\lim _{n\to \infty} P \left\{ \left| \frac 1 n \sum ^n _{i=1} X_i - \mu \right | < \mu \right\} = 1 n→∞limP{∣∣∣∣∣n1i=1∑nXi−μ∣∣∣∣∣<μ}=1

三、中心极限定理

1. 列维-林德伯格定理

假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是独立同分布的随机变量序列，如果EXi=μ,DXi=σ2>0(i=1,2,⋅⋅⋅)EX_i = \mu,\ DX_i = \sigma ^2 >0 \ (i=1,2,···)EXi=μ, DXi=σ2>0 (i=1,2,⋅⋅⋅)存在，则对任意的实数xxx，有：
lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nμnσ≤x}=12π∫−∞xe−t22dt=Φ(x)\lim _{n \to \infty} P \left\{ \frac {\sum \limits^n _{i=1}X_i - n \mu} {\sqrt n \sigma } \le x \right\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int ^x _{- \infty} e^{- \frac {t^2} {2}dt} = \Phi (x) n→∞limP⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧nσi=1∑nXi−nμ≤x⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫=2π1∫−∞xe−2t2dt=Φ(x)

2. 棣莫弗-拉普拉斯定理

假设随机变量Yn∼B(n,p)(0<p<1,n≥1)Y_n \sim B(n,p) \ (0<p<1,n\ge 1)Yn∼B(n,p) (0<p<1,n≥1)，则对任意实数xxx，有：
lim⁡n→∞P{Yn−npnp(1−p)≤x}=12π∫−∞xe−t22dt=Φ(x)\lim _{n \to \infty} P \left\{ \frac {Y_n - np} {\sqrt {np(1-p)} } \le x \right\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int ^x _{- \infty} e^{- \frac {t^2} {2}dt} = \Phi (x) n→∞limP{np(1−p)Yn−np≤x}=2π1∫−∞xe−2t2dt=Φ(x)

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