实变函数笔记-勒贝格积分

【参考资料】
【1】《实变函数与泛函分析基础》
【2】陶哲轩《实分析》

非负简单函数

定义: 设f(x)的定义域E可分为有限个互不相交的可测集E1,E2,...,EsE_1, E_2, ... , E_sE1,E2,...,Es,有E=⋃i=1sEiE = \bigcup\limits_{i=1}^{s}E_iE=i=1⋃sEi,使f(x)在每个EiE_iEi上都等于某常数cic_ici，则称f(x)为简单函数。

定义: 设E⊆RqE \subseteq R^qE⊆Rq为可测集，ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)为E上的一个非负简单函数，即E为有限个互不相交的可测集E1,E2,...,EsE_1, E_2, ... , E_sE1,E2,...,Es之并，则有:ϕ(x)=∑i=1kciXEi(x)\phi(x) = \sum\limits_{i=1}^{k}c_i X_{E_i}(x)ϕ(x)=i=1∑kciXEi(x),XEi(x)X_{E_i}(x)XEi(x)是EiE_iEi上的特征函数。

举例:

D(x)={1,x∈Q0,x∈QcD(x) = \begin{cases} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in Q^c \end{cases}D(x)={1,0,x∈Qx∈Qc
则∫RD(x)dx=1⋅mQ+0⋅mQc=1⋅0+0⋅+∞=0\int_{R}D(x)dx = 1 \cdot mQ + 0 \cdot mQ^c = 1 \cdot 0 + 0 \cdot +\infty = 0∫RD(x)dx=1⋅mQ+0⋅mQc=1⋅0+0⋅+∞=0

非负可测函数

定义: 设E⊆RqE \subseteq R^qE⊆Rq为可测集,f(x)是E上的一个非负可测函数，f(x)在E上的勒贝格积分定义为∫Ef(x)dx=sup{∫Eϕ(x)dx:\int_Ef(x)dx = sup \{\int_E \phi(x)dx:∫Ef(x)dx=sup{∫Eϕ(x)dx:ϕ(x)\phi(x)ϕ(x)是E上的非负简单函数，且x∈E,0≤ϕ(x)≤f(x)}x \in E ,0 \le \phi(x) \le f(x)\}x∈E,0≤ϕ(x)≤f(x)}

即对非负函数而言，其积分是小于它的简单函数的积分取最大值。

一般可测函数

定义: 设E⊆RqE \subseteq R^qE⊆Rq为可测集，f(x)为E上的可测函数，定义它的正部和负部如下：
f+(x)=max(f(x),0)f^+(x)=max(f(x),0)f+(x)=max(f(x),0)和f−(x)=−min(f(x),0)f^-(x)=-min(f(x),0)f−(x)=−min(f(x),0)
可知f+f^+f+和f−f^-f−都是非负可测函数，同时有：
f=f+−f−f = f^+ - f^-f=f+−f−以及∣f∣=f++f−|f|=f^+ + f^-∣f∣=f++f−
若f+f^+f+或f−f^-f−有一个有限，则称f在E上积分确定，即f在E上的勒贝格积分为∫Ef+(x)dx−∫Ef−(x)dx\int_E f^+(x)dx - \int_E f^-(x)dx∫Ef+(x)dx−∫Ef−(x)dx

备注: 在非负可测函数和一般可测函数的勒贝格积分章节，并不讨论具体积分的求值，而是探讨其积分具备的公理，如线性、可数可加性等等，本次不作赘述。

与黎曼积分的比较

定理: 设f(x)在[a, b]上的一个有界函数，若f(x)在[a,b]上R可积，则f(x)在[a, b]上L可积，且:
(L)∫[a,b]f(x)dx=(R)∫abf(x)dx(L)\int_{[a,b]}f(x)dx = (R)\int_a^bf(x)dx(L)∫[a,b]f(x)dx=(R)∫abf(x)dx