实变函数自制笔记8:初识勒贝格积分
1、勒贝格(Lebesgue)积分:
- 背景:勒贝格积分是在勒贝格测度论的基础上建立起来的,这一理论可以统一处理函数有界、无界的情形,且函数也可以定义在更一般的点集(不一定是)上;特别的是它提供了比黎曼积分更加广泛有效的收敛定理;定义勒贝格积分的方法很多,这里先给出通过简单函数来定义的思路;
- 勒贝格积分的定义:
- 通过简单函数定义勒贝格积分:根据笔记6里的简单函数逼近定理,对于上任一非负可测函数,可以找到一列单调递增的简单函数,使得;而对于每个简单函数,其在点集上取值(注:这里的指的是,在值相同值不同的情况下,各自对应的之间并不相同),则有简单函数,其中指的是特征函数;由此便可得出简单函数的积分为,若此和式极限存在,则可定义该极限为的积分;
- 通过分割值域定义勒贝格积分:已知在可测集上有界可测函数,根据的值域随机的划分区域,区域的边界对应的值定义为,由此可以得出递增序列,并令,最后通过讨论和式的极限是否存在来定义;之后勒贝格积分的定义就是这么来的;
- 通过对可测集作任意划分定义勒贝格积分:对作任意划分:;并令,然后像黎曼积分那样作对应于该划分的小和数与大和数,讨论相对于划分的加细,其大和数与小和数的极限是否相等;
- 有界可测函数的勒贝格积分/-积分:已知为定义在有限测度可测集上的有界可测函数,不妨设,并令为值域的一个划分,且,;,有对应值域划分的一个和数;若存在且值为,则称有界可测函数在上是勒贝格可积的,并称为在上的勒贝格积分/-积分;若,则记;
- 注意:
- 当为黎曼可积函数时,黎曼积分仍写作,写法与-积分不同;不过之后我们会知道:当黎曼可积时,;即勒贝格积分为黎曼积分的推广;
- 定义里的和数同黎曼积分一样也有大和数与小和数,显然有,且:存在都存在且相等;
- 根据定义,很明显我们可以得到:为定义在有限测度可测集上的有界可测函数在上勒贝格可积(任一有界可测函数均是勒贝格可积的);
- 非负可测函数的勒贝格积分/-积分:已知为定义在有限测度可测集上的非负可测函数,,若令,则同样是定义在上的非负可测函数,而说明其有界,那么每个非负可测函数在上勒贝格可积;由于为单调数列,则总是存在的或者;那么我们称为非负可测函数在上的勒贝格积分/-积分;若(为有限数),则非负可测函数在上是勒贝格可积的;
一般可测函数的勒贝格积分/-积分:已知为定义在有限测度可测集上的可测函数,若至少有一个,则称为可测函数在上的勒贝格积分/-积分; 若(为有限数),则可测函数在上是勒贝格可积的;
2、可测函数勒贝格积分的性质与定理:
- 有界可测函数勒贝格积分的性质与定理:已知,均为上的有界可测函数:
- (线性性质1),;
- (线性性质2);
- (可加性)若为的可测子集,,;则:;
- (保号性)当在上几乎处处成立(即)时,有;
已知为定义在有限测度可测集上的有界可测函数,若在上几乎处处成立(即),且在上几乎处处成立(即);
- 一般可测函数勒贝格积分的性质与定理:
- 已知在上可测,则:在上勒贝格可积 在上勒贝格可积;
- 已知在上可测,在上非负可积;当在上几乎处处成立(即)时,有 在上可积,且有;
- (线性性质1),;
- (线性性质2);
(可加性)若为的可测子集,,,则:在上有积分,且有; 特别地,当在上非负可测时,;
(保号性)当均在上有积分,且在上几乎处处成立(即)时,有;
当在上有积分,且在上几乎处处成立(即)时,有;
3、勒贝格积分与黎曼积分的关系:
- 背景:
- 前面有提到,勒贝格积分是黎曼积分的推广,他的类别也比黎曼积分类要多,即如果是黎曼可积的,那么一定也是勒贝格可积的;但反过来则不然:已知,即所有在内的有理数对应值为1,在内的无理数对应值为0,则在上勒贝格可积且,而在上并不是黎曼可积的;
- 已知:在上勒贝格可积在上均勒贝格可积;这也说明了:在上勒贝格可积在上均勒贝格可积;但黎曼积分不是这样的,比如:,在上黎曼可积但在上不是黎曼可积的;
- 关系定理:有界函数在上是黎曼可积的在上是勒贝格可积的;且;故之后我们对在上的勒贝格积分,也记作;
- 关系详述:
- 根据一系列推导可知,勒贝格积分的性质与黎曼积分十分相似,证明的思想方法也十分相似;但勒贝格积分对可积性的要求比较低,对于有界函数而言,可测就行了;而一般可测函数的勒贝格积分定义看起来与广义黎曼积分有很大不同,但实际上两者之间有着内在联系:比如我们考察的黎曼可积性时,需要将瑕点挖掉考察的黎曼可积性,而考察勒贝格可积性通常是将函数截断,即作截断函数考察其黎曼可积性,于是得到一个有界可测函数序列,它处处收敛到,在上的勒贝格积分与在上的黎曼积分是一样的,可见对于非负函数而言,两者本质上相同;
由于实变函数理论中允许函数取值为,当然也允许勒贝格积分取值为,所以在勒贝格积分中“可积”与“积分存在”是不同的概念;也正因为如此,一般可测函数的勒贝格积分通常是先定义非负函数的积分,再将一般函数分解成正部与负部,即令,若的积分均为有限值,则称可积,若至少有一个有限,则称函数的积分存在,正是这个积分定义决定了勒贝格可积性的等价;
部分搬运资料来源:
科学网—说课(11)(Lebesgue能否取代Riemann)(实变函数) - 曹广福的博文
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