格林积分在多边形截面特性计算的应用

沈阿杏

（北京理正软件股份有限公司，北京 100044）

摘
要：一种利用格林积分进行多边形面积、形心、静矩、惯性矩等截面特性计算方法，可用于复杂形状截面特性计算。

关键词：格林积分；多边形；截面特性；面积；形心；静矩；惯性矩

**作者简介：**沈阿杏（1980-
），男，学士，主要从事结构工程类软件设计、研发及咨询服务。E-mail：15810038906@qq.com

Application of Green Integral Method in the calculation of polygon section
property

Shen A-xing

(Beijing Leading Software Co.,Ltd., Beijing 100044 China)

Abstract: A method for calculating the section property of polygon area,
centroid, static moment and inertia moment by using Green integral.

Key words: Green integral; polygon; section property; area; centroid; static
moment; moment of inertia

引言

在工程领域中，截面面积、形心、静矩、惯性矩等截面特性的计算十分广泛，目前工程设计或计算手册一般只给出简单截面的截面特性计算公式或常用截面的截面特性表，使用上有一定的局限性。

文中根据格林积分公式，推导任意多边形的截面特性计算公式及任意闭区域截面特性计算思路，并介绍该方法在理正结构工具箱软件中的应用。

公式推导

基本原理

根据高等数学格林积分公式[1]可知，如图1所示，平面闭区域D的二重积分可通过沿闭区域D的边界曲线L上的积分表达。

图 1 平面闭区域D的二重积分

Fig. 1 Double integral of plane closed region D

平面闭区域截面特性积分式

根据平面闭区域截面特性的物理意义[2]

面积可表示为：

A=∬DdxdyA = \iint_{D}^{}\text{dxdy} A=∬Ddxdy

静矩可表示为：

Sx=∬DydxdyS_{x} = \iint_{D}^{}\text{ydxdy} Sx=∬Dydxdy

Sy=∬DxdxdyS_{y} = \iint_{D}^{}\text{xdxdy} Sy=∬Dxdxdy

形心可表示为：

xc=Sx/Ax_{c} = S_{x}/A xc=Sx/A

yc=Sy/Ay_{c} = S_{y}/A yc=Sy/A

惯性矩可表示为：

Ix=∬Dy2dxdyI_{x} = \iint_{D}^{}{y^{2}\text{dxdy}} Ix=∬Dy2dxdy

Iy=∬Dx2dxdyI_{y} = \iint_{D}^{}{x^{2}\text{dxdy}} Iy=∬Dx2dxdy

直边多边形截面特性数值积分

平面任意直边多边形，如图2所示，根据平面闭区域截面特性积分并结合格林积分公式，可将n边多边形截面特性积分表示为多边形每边计算，则n边多边形

图 2 平面直线边多边形

Fig. 2 Straight edge polygon

面积可表示为：

A=∬Ddxdy=∑i=1n12(yi+yi+1)(xi−xi+1)A = \iint_{D}^{}\text{dxdy} = \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{2}(y_{i} + y_{i + 1})(x_{i} - x_{i + 1})} A=∬Ddxdy=i=1∑n21(yi+yi+1)(xi−xi+1)

静矩可表示为：

Sx=∬Dydxdy=∑i=1n16(yi2+yiyi+1+yi+12)(xi−xi+1)S_{x} = \iint_{D}^{}{ydxdy = \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{6}(y_{i}^{2} + y_{i}^{}y_{i + 1}^{} + y_{i + 1}^{2})(x_{i} - x_{i + 1})}} Sx=∬Dydxdy=i=1∑n61(yi2+yiyi+1+yi+12)(xi−xi+1)

Sy=∬Dxdxdy=∑i=1n16(xi2+xixi+1+xi+12)(yi+1−yi)S_{y} = \iint_{D}^{}\text{xdxdy} = \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{6}(x_{i}^{2} + x_{i}^{}x_{i + 1}^{} + x_{i + 1}^{2})(y_{i + 1} - y_{i})} Sy=∬Dxdxdy=i=1∑n61(xi2+xixi+1+xi+12)(yi+1−yi)

形心可表示为：

xc=Sx/Ax_{c} = S_{x}/A xc=Sx/A

yc=Sy/Ay_{c} = S_{y}/A yc=Sy/A

惯性矩可表示为：

Ix=∬Dy2dxdy=∑i=1n112(yi+yi+1)(yi2+yi+12)(xi−xi+1)I_{x} = \iint_{D}^{}{y^{2}\text{dxdy}} = \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{12}(y_{i} + y_{i + 1})(y_{i}^{2} + y_{i + 1}^{2})(x_{i} - x_{i + 1})} Ix=∬Dy2dxdy=i=1∑n121(yi+yi+1)(yi2+yi+12)(xi−xi+1)

Iy=∬Dx2dxdy=∑i=1n112(xi+xi+1)(xi2+xi+12)(yi+1−yi)I_{y} = \iint_{D}^{}{x^{2}\text{dxdy}} = \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{12}(x_{i} + x_{i + 1})(x_{i}^{2} + x_{i + 1}^{2})(y_{i + 1} - y_{i})} Iy=∬Dx2dxdy=i=1∑n121(xi+xi+1)(xi2+xi+12)(yi+1−yi)

若要计算形心惯性矩可先将坐标原点移至形心点，再利用上式计算即可。

平面闭区域截面特性数值积分

对于曲线边闭区域截面特性计算，可根据计算精度要求，先将曲线边离散成多段直线段表示，用离散后的多边形近似求解。

地基基底应力计算中应用

矩形独立基础在荷载偏心比较大的情况下，基础与土体会脱空，地基应力需要按重分布进行计算，如图3所示。

图 3 基底应力重分布计算

Fig. 3 Calculation of stress redistribution of basement

基底应力重分布后，基底受力面已不是矩形，可能存在五边或三边的多边形状态，需要根据重分布后的基底受力面截面特性计算基底应力。图3为理正结构工具箱独立基础模块，利用文中方法计算重分布后基底压力分布情况。

结论

文中方法可精确解出直边多边形截面特性，并能对曲边多边形截面特性离散求解近似解，适应各种截面形式的截面特性计算，尤其合适计算机编程实现，扩大了工程应用范围。

参考文献：

[1] 同济大学数学系. 高等数学（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.4

[2] 孙训方，方孝淑，关来秦. 材料力学（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.8

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