UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理计算简单二重积分的一个例题

例 f∈L1([0,1])f \in L^1([0,1])f∈L1([0,1]), define
h(x)=∫x1f(t)tdt,∀x∈[0,1]h(x) = \int_x^1 \frac{f(t)}{t}dt,\forall x \in [0,1]h(x)=∫x1tf(t)dt,∀x∈[0,1]

Prove

h∈L1([0,1])h \in L^1([0,1])h∈L1([0,1])
∫01h(x)dx=∫01f(x)dx\int_0^1h(x)dx=\int_0^1f(x)dx∫01h(x)dx=∫01f(x)dx

解
第一问：要说明h∈L1([0,1])h \in L^1([0,1])h∈L1([0,1])，需要说明∫01∣h(x)∣dx<∞\int_0^1 |h(x)|dx<\infty∫01∣h(x)∣dx<∞直接计算
∫01∣h(x)∣dx=∫01∣∫x1f(t)tdt∣dx≤∫01∫x1∣f(t)t∣dtdx=∫01∫01∣f(t)t∣χ[x,1](t)dtdx\int_0^1 |h(x)|dx = \int_0^1 \left| \int_x^1 \frac{f(t)}{t}dt \right|dx \\ \le \int_0^1 \int_x^1 \left| \frac{f(t)}{t}\right|dt dx =\int_0^1 \int_0^1 \left| \frac{f(t)}{t}\right|\chi_{[x,1]}(t) dt dx ∫01∣h(x)∣dx=∫01∣∣∣∣∫x1tf(t)dt∣∣∣∣dx≤∫01∫x1∣∣∣∣tf(t)∣∣∣∣dtdx=∫01∫01∣∣∣∣tf(t)∣∣∣∣χ[x,1](t)dtdx

根据Tonelli定理，以及f∈L1([0,1])f \in L^1([0,1])f∈L1([0,1])
∫01∫01∣f(t)t∣χ[x,1](t)dtdx=∫01∫01∣f(t)t∣χ[x,1](t)dxdt=∫01∫0t∣f(t)t∣dxdt=∫01∣f(t)∣dt<∞\int_0^1 \int_0^1 \left| \frac{f(t)}{t}\right|\chi_{[x,1]}(t) dt dx = \int_0^1 \int_0^1 \left| \frac{f(t)}{t}\right|\chi_{[x,1]}(t) dxdt \\ = \int_0^1 \int_0^t \left| \frac{f(t)}{t}\right|dxdt = \int_0^1 |f(t)|dt<\infty∫01∫01∣∣∣∣tf(t)∣∣∣∣χ[x,1](t)dtdx=∫01∫01∣∣∣∣tf(t)∣∣∣∣χ[x,1](t)dxdt=∫01∫0t∣∣∣∣tf(t)∣∣∣∣dxdt=∫01∣f(t)∣dt<∞

第二问：根据Fubini定理，
∫01h(x)dx=∫01∫x1f(t)tdtdx=∫01∫0tf(t)tdxdt=∫01f(t)dt\int_0^1 h(x)dx = \int_0^1 \int_x^1 \frac{f(t)}{t} dt dx \\ = \int_0^1 \int_0^t \frac{f(t)}{t} dxdt = \int_0^1 f(t)dt ∫01h(x)dx=∫01∫x1tf(t)dtdx=∫01∫0ttf(t)dxdt=∫01f(t)dt

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