几个高斯分布/积分的基本结论和计算

一维高斯函数的标准形式为 ϕ ( x ) = a e − ( x − b ) 2 2 c 2 \phi(x) = ae^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}} ϕ(x)=ae−2c2(x−b)2;

一维正态分布的概率密度函数为 ϕ ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − u ) 2 2 σ 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}} ϕ(x)=2π σ1e−2σ2(x−u)2;

一维标准正态分布的形式为 ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} ϕ(x)=2π 1e−2x2,其不定积分为 Φ = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t = 1 2 ( 1 + e r f ( x 2 ) ) \Phi = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)dt = \frac{1}{2}(1 + erf(\frac{x}{\sqrt2})) Φ=∫−∞xϕ(t)dt=21(1+erf(2 x));

其中 erf 为误差函数， e r f ( x ) = 1 π ∫ − x x e − t 2 d t = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t erf(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-x}^{x}e^{-t^2}dt = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt erf(x)=π1∫−xxe−t2dt=π 2∫0xe−t2dt ,其关于原点对称 e r f ( − x ) = − e r f ( x ) erf(-x) = -erf(x) erf(−x)=−erf(x)

互补误差函数 erfc 为 e r f c ( x ) = 1 − e r f ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t erfc(x) = 1 - erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt erfc(x)=1−erf(x)=π 2∫x∞e−t2dt

一维高斯函数积分

因此，关于均值对称的一维标准高斯分布的不定积分为 ∫ − x x ϕ ( t ) d t = ∫ − x x 1 2 π e − t 2 2 d t = 1 − 2 ( 1 − Φ ) = 2 Φ − 1 = e r f ( x 2 ) \int_{-x}^{x} \phi(t)dt = \int_{-x}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = 1 - 2(1 - \Phi) = 2\Phi - 1 = erf(\frac{x}{\sqrt{2}}) ∫−xxϕ(t)dt=∫−xx2π 1e−2t2dt=1−2(1−Φ)=2Φ−1=erf(2 x)

erf 函数可以在matlab、python 中直接调用。

二维高斯函数积分

二维标准正态分布的概率密度函数为 ϕ ( x , y ) = 1 2 π e − x 2 + y 2 2 \phi(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} ϕ(x,y)=2π 1e−2x2+y2

其不定积分为 ∫ ∫ ϕ ( x , y ) d x d y = ∫ ∫ 1 2 π e − x 2 + y 2 2 d x d y = ∫ 0 r 0 ∫ 0 2 π r 1 2 π e − r 2 2 d r d θ = ∫ 0 r 0 r e − r 2 2 d r = − e − r 2 2 ∣ 0 r 0 = 1 − e − r 0 2 2 \int\int \phi(x,y)dxdy = \int\int\frac{1}{2 \pi}e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}dxdy = \int_0^{r_0}\int_0^{2\pi}r\frac{1}{2 \pi}e^{-\frac{r^2}{2}}drd\theta = \int_0^{r_0}re^{-\frac{r^2}{2}}dr = -e^{-\frac{r^2}{2}}|_0^{r_0} = 1 - e^{-\frac{r_0^2}{2}} ∫∫ϕ(x,y)dxdy=∫∫2π1e−2x2+y2dxdy=∫0r0∫02πr2π1e−2r2drdθ=∫0r0re−2r2dr=−e−2r2∣0r0=1−e−2r02

发现二维标准正态分布的从中心向外不定积分的结果是一维标准正态分布函数。

非标准正态分布

对于标准差 σ \sigma σ 不为1的非标准一维正态分布呢？

对于标准差 σ \sigma σ 不为1或者相关系数 ρ \rho ρ不为0的非标准二维正态分布呢？

变量代换进行推导，之后再写吧。

参考

误差函数：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E5%87%BD%E6%95%B0

二维正态分布：https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E7%BB%B4%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83

高斯函数：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%87%BD%E6%95%B0

高斯积分：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%A7%AF%E5%88%86

高斯函数积分列表：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%88%97%E8%A1%A8

正态分布：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83

二维高斯积分：https://blog.csdn.net/u013515929/article/details/107754405

一维高斯定积分：https://blog.csdn.net/weixin_42859140/article/details/107073747