注释和其他表述

共形映射

柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：

(2)    i

∂

f

∂

x

=

∂

f

∂

y

.

{\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.}

在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

(

a

−

b

b

a

)

,

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}},}

其中a

=

∂

u

/

∂

x

=

∂

v

/

∂

y

{\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}

，b

=

∂

v

/

∂

x

=

−

∂

u

/

∂

y

{\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}

。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角(保持角度不变)的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。

复共轭的独立性

方程组有时也被写作一个方程

(3)    ∂

f

∂

z

¯

=

0

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}

其中微分算子∂

∂

z

¯

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}

定义为

∂

∂

z

¯

=

1

2

(

∂

∂

x

+

i

∂

∂

y

)

.

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}

在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为f独立于变量z

¯

{\displaystyle {\bar {z}}}

。

复可微性

柯西-黎曼方程是函数的复可微性(或称全纯性)的充要条件(Ahlfors 1953，§1.2)。精确的讲，设

f

(

z

)

=

u

(

z

)

+

i

v

(

z

)

{\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}

为复数z∈C的函数，则f在点z0的复导数定义为

lim

h

→

0

h

∈

C

f

(

z

0

+

h

)

−

f

(

z

0

)

h

=

f

′

(

z

0

)

{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}

如果该极限存在。

若该极限存在，则可以取h→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到

lim

h

→

0

h

∈

R

f

(

z

0

+

h

)

−

f

(

z

0

)

h

=

∂

f

∂

x

(

z

0

)

.

{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}

而从虚轴逼近有

lim

h

→

0

i

h

∈

i

R

f

(

z

0

+

i

h

)

−

f

(

z

0

)

i

h

=

lim

h

→

0

i

h

∈

i

R

−

i

f

(

z

0

+

i

h

)

−

f

(

z

0

)

h

=

−

i

∂

f

∂

y

(

z

0

)

.

{\displaystyle \lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\lim _{\underset {ih\in i\mathbb {R} }{h\to 0}}-i{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{h}}=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}

f沿着两个轴的导数相同也即

∂

f

∂

x

(

z

0

)

=

−

i

∂

f

∂

y

(

z

0

)

,

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})=-i{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}

这就是在点z0的柯西-黎曼方程(2)。

反过来，如果f:C → C作为映射到R2上的函数可微，则f复可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。

物理解释

柯西-黎曼方程的一个解释(Pólya & Szegö 1978)和复变理论无关。设u和v在R2的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑向量场

f

¯

=

[

u

−

v

]

{\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}

将其视为(实)两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程(1b)断言f

¯

{\displaystyle {\bar {f}}}

无旋：

∂

(

−

v

)

∂

x

−

∂

u

∂

y

=

0.

{\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}

第一个柯西-黎曼方程(1a)断言该向量场无源(或者是零散度)：

∂

u

∂

x

+

∂

(

−

v

)

∂

y

=

0.

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}

分别根据格林定理和散度定理，这样的场是保守的，而且没有源，在整个开域上净流量为零。(这两点在柯西积分定理中作为实部和虚部结合起来。)在流体力学中，这样的一个场是一个势流(Chanson 2000)。在静磁学中，这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静磁场的模型。在静电学中，它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。

其它解释

柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他坐标系中。若(1a)和(1b)对于连续函数u和v成立，则如下方程也成立

∂

u

∂

s

=

∂

u

∂

n

,

∂

u

∂

n

=

−

∂

u

∂

s

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}={\frac {\partial u}{\partial n}},\quad {\frac {\partial u}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}

对于任何坐标(n(x,y), s(x,y))，如果它们满足(

∇

n

,

∇

s

)

{\displaystyle \scriptstyle (\nabla n,\nabla s)}

正交并且正定向。因此，特别的有，在极坐标z=reiθ下，方程组有如下形式

∂

u

∂

r

=

1

r

∂

v

∂

θ

,

∂

v

∂

r

=

−

1

r

∂

u

∂

θ

.

{\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}

结合成一个f的方程，就有

∂

f

∂

r

=

1

i

r

∂

f

∂

θ

.

{\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}