柯西传记资料（2012-10-16 21:50:47）
法国的“3L”
1766年，欧拉和达朗贝尔（1717-1783）向普鲁士国王腓特烈二世推荐了拉格朗日（1736-1813）。拿破仑当上法国皇帝后，大力扶助过法国的科学事业，数学家拉格朗日、拉普拉斯（1749-1827） 都曾受过他的资助。
在达朗贝尔的帮助下，拉普拉斯很快取得了巴黎军事学校的数学教授职务。1783年，拉普拉斯作为军事考试委员，考试过拿破仑，因此和拿破仑关系很熟。后来，拿破仑曾任命他担任内政部长、议会议员和议会大臣，不过，拉普拉斯不是做官的材料，很快就被拿破仑免除了职务。
拉普拉斯对纯粹数学不感兴趣，他爱好应用，关心用数学方法去研究科学问题。
拉普拉斯认为，数学是一种手段，是人们为解决科学问题而必须精通的一种工具。
勒让德（1752-1833）也是军事学校的数学教授。
柯西-欧拉方程或欧拉-柯西方程或欧拉方程，是一个有可变系数的线性齐次常微分方程。
n阶的柯西-欧拉方程有如下形式：
x^ny^(n)(x)+a_(n-1)x^(n-1)y^(n-1)(x)+…+a_0y(x)=0。
最常见的柯西-欧拉方程是2阶的，出现在大量的物理和工程应用中，例如用极坐标解拉普拉斯方程。它由下列方程给出：
x^2y''+axy'+by=0。
柯西，最主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面，几何代数也有较大建树，是数理弹性理论的奠基人之一。
柯西在常微分方程中的主要贡献在于深入考察并证明了存在唯一性定理。其中主要定理为“柯西-利普希茨定理”，此定理最早由柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。
对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-科瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
在年代学上，柯西确实是法国革命的一个产儿，他正好在巴士底监狱陷落后几个星期的时候出生的。柯西的父亲是一个古典派的学者、虔诚的天主教徒，甚至还是巴黎警察的官员。幸好在断头台把许多人“砍去脑袋”之前，他父亲有远见地把他家从巴黎搬到乡下。有幸的是，他们流落异乡时的一个邻居是数学家拉普拉斯（1749.3.23-1827.3.5），他对从小就表现出数学天才的年轻柯西非常感兴趣。1800年，柯西的长辈恢复受宠的地位，他的家庭重新搬回到巴黎，在巴黎，柯西特别引起拉格朗日的注意。据说，拉格朗日劝说柯西的父亲“应该赶快给柯西一种坚实的文学教育”，以便他的爱好不致把他引入歧途，并使他称为一个“不知道怎样写自己的语言”的大数学家。显然这个劝告被接受了，虽然柯西不久就通过土木工程学业的渠道而热衷于数学。当拿破仑从易北河回来时，就决定改组法国科学院，并且开除卡诺和蒙日这两个有军事才干的数学家。柯西被指定为蒙日（G.Monge，1746-1818）在科学院的继承人，这件事使倾向于把学术与政治分开的那些院士感到懊恼。1830年，法国七月革命爆发，法国波旁王朝（1589-1830年，两度中断）第三次被推翻。柯西被流放，他得到了报应。在整个这一时期及其后，柯西发表了大量的著作，证实自己是那个时代最伟大的数学家之一，同时也是最有影响的科学院院士之一。
柯西27岁即当选为法国科学院院士，还是英国皇家学会会员和几乎所有外国科学院院士。
柯西有一句名言：“人总是要死的，但他们的业绩应该永存。”
阿贝尔称颂柯西“是当今懂得应该怎样对待数学的人。”并指出：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人都应该读这本杰出的著作《分析教程》。”----17世纪牛顿-莱布尼兹的微积分发展为19世纪的数学分析
柯西在分析学上的三部专著：《分析教程》（1821），《无穷小计算教程》（1823），《微分计算教程》（1826-1828）。
柯西的第一个兴趣涉及到级数。几何级数1/2+1/4+1/8+1/16+……=1。柯西设计了确定各种级数收敛与发散的方法，因而为数学家提供了一套有价值的工具。
柯西最早证明了lim[n->∞](1+1/n)^n的收敛。--无理数e
给出了检验收敛性的重要判据——柯西准则。
柯西提出了级数收敛性的理论，拉普拉斯听过后非常紧张，便急忙赶回家，闭门不出，直到对他的《天体力学》中所用到的每一项级数都核实过是收敛的以后，才松了一口气。
达朗贝尔判别法也叫比值判别法，根值判别法也叫柯西判别法。
定理（柯西判别法）：对于正项级数∑[n=1->∞]U_n，如果存在正整数N，当n>N时，
（1）(U_n)^(1/n)<=r<1（r为正常数），则级数∑[n=1->∞]U_n收敛。
（2）(U_n)^(1/n)>=1，则级数∑[n=1->∞]U_n发散。
在复分析方面，柯西给出了复变函数的几何概念，证明了在复数范围内幂级数具有收敛圆，给出了含有复积分限的积分概念以及留数理论等。
柯西还是探讨微分方程解的存在性问题的第一个数学家，他证明了微分方程在不包含奇的区域内存在着满足给定条件的解，从而使微分方程的理论深化了。在研究微分方程的解法时，他成功地提出了特征带方法并发展了强函数方法。
柯西对置换理论作了系统的研究，并由此产生了有限群的（置换）表示理论。他还深入研究了行列式的理论，得到了宾内特（Binet）-柯西公式。他总结了多面体的理论，证明了费马多边形数猜想（1670-1813）等等。
数学思想五十问http://www.docin.com/p-356937185.html
问题19：柯西多边形数定理（1813）如何证明？
首先我们回忆m+2(m>=1)边形数的公式p_m(n)=n((m-2)n+(4-m))/2=(m+2-2)(n^2-n)/2+n。m=1,2时，定理就是高斯三角形数定理（1801）与拉格朗日四平方和定理（1770），因此下面只需证明m>=3的情形。
1813年，柯西证明了一般的多边形数定理：每个正整数N都能表为m+2个m+2边形数的和。而且这些和项中除4个之外其余的都是0或1。
柯西发展了群论。正如他定义了微积分的极限那样。从他的一些基本公设出发，人们建立了整个代数的结构，它一方面导致代数系统和凯雷、嘉当和Lie的工作；另一方面，它导致由布尔及其后的罗素和怀特海所寻求的逻辑学中的代数包含关系。
群论中的柯西定理：如果素数p整除一有限群的阶，则在群中存在p阶元。刊载这些结果的论文发表于1845-1846年。
七月革命以后，查理十世（Charles Ⅹ）被逐，路易·腓利普（Louis Phillippee）称帝，柯西拒绝宣誓效忠新皇帝，被革去职务，主动流放离开法国，接受都灵大学邀请任教的聘请。
应他利用机会学习意大利语，并用意大利语讲授全部课程。
柯西于1838年回到法国。他一直保留着他在科学院的席位，因而他的同事欢迎他的归来。柯西在晚年甚至比他早期更多产。十九世纪二十年代，尽管柯西的疏忽几乎导致两个卓越的年轻人阿贝尔和伽罗瓦一生中的灾难，但是，他还是有抱负的青年数学家工作的一个公正鉴定人。
事实上柯西在巴黎科学院任院士期间，总是谨慎地审查交给他的每一篇文章，并坦率地写出了他的评价。 他不轻易否定别人，即使别人的有些工作他早已做了，他还是予以承认的。柯西传记的作者弗罗登太耳认为：“在柯西那个时代的所有数学家中，在引用别人的工作时，柯西是最小心的。”
1857年5月4日，柯西交出了他最后一篇论文的概述。1857年5月23日，柯西去世。
附录一 柯西大事年表
1789年8月21日，生于巴黎1805年，就读于巴黎多科工艺学校
1807年，就读于巴黎道路桥梁工程学校
1810年至1813年，在瑟堡海港等地任建筑工程师
1811年，开始数学研究
1813年，任多科工艺学校辅导教师
1814年，发表《关于定积分理论的报告》
1815年，开创行列式的系统研究；任多科工艺学校副教授
1816年，发表《关于波的传播理论》获巴黎科学院论文比赛一等奖；任多科工艺学校教授和巴黎科学院院士
1818年，与阿路莎·德·波莱结婚
1821年，发表《分析学教程》奠定微积分严密化的基础
1823年，发表《无穷小分析教程》
1825年，发表关于复函数的重要论文《论上下限为虚数的定积分》
1826年，发表微分几何方面的重要论文《几何中无穷小演算的应用教程》
1829年，发表《微分计算教程》，进一步发展微分学理论体系
1830年至1838年，流亡于意大利、布拉格等地；先后任都灵大学教授、查理十世皇太子私人教师
1838年，回巴黎，恢复院士职位
1838年以后，进一步在分析、代数、微分方程、力学以及天文学等方面发表大量论著
1848年，兼任巴黎大学教授
1857年5月23日，卒于巴黎
http://www.docin.com/p-465335539.html
Cauchy’s Cours d’analyse
这是柯西那部划时代的不朽名著《分析学教程》（1821）的英译本，带注释，2009年8月由Springer出版的。
译者前言
现代数学力争严格。古希腊几何学者有相似的目标，从无可争议的假设出发使用完美的演绎逻辑证明出绝对的真理。
数学史上经常出现这样的情况，新的数学诞生时，总是先有想法和应用，然后才考虑严格。在古代，美索不达米亚和埃及的实践中的几何发展成为古希腊的严格的几何成就。微积分的发展也是如此。牛顿和莱布尼兹分别在1666年和十年后独立地发现了或发明了微积分，但是它的严格的基础没有被建立，尽管在之后的150年以上的时间内有过几次尝试。
1821年，柯西出版了一本书《分析学教程》，作为他在高工讲授分析的教材。这曾经是一本最有影响的数学书之一。柯西不仅提供了极限的可使用的定义，使得极限理论成为微积分严格化理论的基础，而且他复苏了所有数学应当建立在严格的基础上的想法。今天，严格性是判断一本数学著作的质量的标准之一。这个标准主要地归于柯西和他的分析学教程带来的变化。
17世纪带来了新的微积分，这个时代的科学家深信微积分的真理性，因为它在描述和预言自然世界的运行规律，特别是力学和行星运动等方面有着令人印象深刻的应用。微积分的建立之后，马克劳林（1698-1746）和达朗贝尔（1717-1783）随后称之为宇宙哲学，它基于牛顿和莱布尼兹的直观的几何想法。他们同时代的某些人，特别是英格兰的Bishop George Berkeley（1685-1753）和法国的Michel Rolle（1652-1719）认识到微积分的基础这个问题。罗尔称微积分是“精致的谬论的集合”，伯克利嘲笑无穷小量，早期微积分的基本概念之一，是“已死量的幽灵”。伯克利和罗尔都坦率地承认微积分的实用性，但他们都质疑它缺乏严格的基础。我们应当注意到，罗尔在巴黎科学院的同时最终使他信服改变了他的想法，但是伯克利一生都保持质疑。
在18世纪的稍后时期，仅有一些数学家尝试从事由伯克利和罗尔提出的微积分基础的问题研究。在这期间，发展了3种主要的派别：无穷小量，极限，级数的形式化代数。我们可以考虑英国的流数术和逐渐消失的量作为第4种派别或其它3种派别的先驱。欧拉（1707-1783）[欧拉1755]是无穷小量派别的最卓越的代表，尽管他在这方面的论文是他极广泛的科学文集的极小的一部分。马克劳林[马克劳林1742]和达朗贝尔[达朗贝尔1754]支持极限派别。马克劳林关于极限的观点隐藏在他的《论流数术》一书中，在接下来的作品面前显得黯然失色。达朗贝尔的著作被广泛地阅读，但是尽管在欧拉相反观点的著作的几乎同时出版，它们也没有引发太多的对话。
我们怀疑微积分基础最大的思想派别事实上是注重实效的派别——微积分已经工作地很好了，实在是没有真实的动机去担心它的基础。
在法国革命历的五月，欧洲的其它地方的1797年，拉格朗日（1736-1813）[拉格朗日1797]在他的《解析函数论》一书中回到了微积分的基础问题（解析函数论包含了微分计算的原理，避免考虑无穷小量或消失的量、极限或流数术，归纳为有限量的代数分析）。这本书基于他在高工讲授分析的讲义。拉格朗日用幂级数展开式定义导数，胜于其他的方法。拉格朗日一直在修订和再版这本书，它的第四版出现在1813年，拉格朗日去世之年。有意思的是，柯西的分析学教程和拉格朗日的解析函数论都不包含任何插图。
在拉格朗日去世2年后，柯西成为了高工的分析学教授，开始讲授拉格朗日讲授过的同样的课程。他继承了拉格朗日的遗志建立微积分的基础，但是他更多地是追随马克劳林和达朗贝尔而不是拉格朗日，以寻求极限形式的微积分基础。多年以后，柯西出版了他的讲义笔记。这本书通常叫做分析学教程，但是有些目录和二手来源叫做代数分析。显然，柯西打算写第二部，但是他没有机会完成它。出版后，高工改变了课程以降低对基础的强调。柯西在1823年和1829年写了两本新书。
因为这本书在它出版仅一年后作为教科书就变得过时了，所以在19世纪，分析学教程仅有一个法文版本。第一版出版于1821年，有568页。第二版以15卷（也被标识为系列2，卷Ⅲ）出版，出现在1897年。它的内容与1821年版本几乎一样，但是它的标记页数完全不同，排版风格迥异，仅有468页。第一版中的勘误表在第二版中更正了，但引进了许多新的印刷错误。在20世纪后半叶，第一版至少有2个摹写本出版，网络上已经有2个版本的数字版了。德文版在1828年和1885年出版，俄文版在1864年的莱比锡出版，西班牙语的译本出现在1994年，目前的版本显然是其它语言的第一个版本。
柯西没有采用欧拉在1770年代引入的i=sqrt(-1)[无穷小分析引论，欧拉1748。事实上欧拉用i表示ln(-n),n是正数值，而不是表示虚数单位sqrt(-1)]，所以我们也写作sqrt(-1)。
尽管柯西年仅32岁就出版《分析学教程》，年仅27岁就讲授分析课程，但他已经是一位多才多艺的数学家了。这并不奇怪，在高工谋得一份教授职务并非易事。当然，到1821年，柯西已经出版了28本论文集，但《分析学教程》是他的第一本大部头著作。
1811-1812年，柯西在数学上的第一个独创性工作是关于多面体的几何。Louis Poinsot（1777-1859）已经建立了三个新的非凸正多面体的存在性，在拉格朗日、勒让德和Louis Malus（1775-1812）的鼓励下，柯西研究了这个问题，扩展了Poinsot的结果，重新发现了欧拉正多面体公式V-E+F=2的一个推广，并证明了柯西刚性定理：有刚性面的凸多面体必定是刚性的。这些结果是他最早的论文，两本论文集的2/3[柯西1813]。尽管有这些早期的成果，但柯西很少回到几何领域，这些是他在这个领域仅有的重要结果。
在柯西取得正面体问题方面的成果后，他的父亲鼓励他研究费马的一个问题：证明每个整数是最多n个n-角数的和（n>=3）。1815年11月13日，他向法国科学院呈上了他的解答，并且出版了它[柯西1815]。Belhoste说这篇文章是柯西的成名之作，提出“他的证明的发表支持了几天后高工对他教职的任命。”
数学及其历史（英文版）http://www.docin.com/p-330413621.html
16.1复函数
当Bembelli（1572）引进复数时，他也隐含地引进了复函数。三次方程y^3=py+q的解y，y=(q/2+sqrt((q/2)^2-(p/3)^3))^(1/3)+ (q/2-sqrt((q/2)^2-(p/3)^3))^(1/3),当(q/2)^2<(p/3)^3)时，y包含一个复数的立方根。
这正是达朗贝尔在研究流体力学时发现的方程，但是被命名为柯西-黎曼方程，因为柯西和黎曼在复函数的研究中强调了方程的关键性角色。当柯西（1837）说明复函数f(z)仅需要可微就能表示成z的幂级数时，复函数的概念固定下来了。
16.4椭圆函数的双周期性
柯西定理提供的复积分观点是理解例如w=Φ^(-1)(z)=∫[0,z]dt/sqrt(t(t-α)(t-β))的椭圆积分的一步，另外重要的一步是黎曼曲面的想法。函数1/sqrt(t(t-α)(t-β))是双值的，拓扑上是一个环面。
Φ(w)= Φ(w+mw_1+nw_2)，对任意整数m，n。Φ是双周期的，周期为w_1，w_2。
双周期性的直观解释归功于黎曼（1851），黎曼随后（黎曼1858a）以黎曼曲面的观点发展了椭圆函数理论。
[
内射injective就是指值域是目标域的一个真子集的函数
比如y:R->R，x^2
y的值域是{y|y>=0}，是R的真子集
]
摘录自维基百科：
柯西矩阵是一个m*n矩阵，元素a_ij形如a_ij=1/(x_i-y_j); x_i-y_j≠0，1<=i<=m,1<=j<=n，这里x_i和y_j都是域F中的元素，且(x_i)和(y_j)是内射序列（它们不包含重复的元素；元素是不同的）
希尔伯特矩阵是一种特殊的柯西矩阵，这里x_i-y_j=i+j-1。
柯西矩阵的每个子矩阵也是柯西矩阵。
正方柯西矩阵A的行列式被称为柯西行列式，它总是非零的，因此正方柯西矩阵总是可逆的。
Cauchy矩阵及其相关的插值问题http://www.docin.com/p-477307344.html
定义：给定复数z_1,z_2,…,z_n和w_1,w_2,…,w_n，这里对1<=i,j<=n，z_i≠w_j，称n阶矩阵S=(1/( w_j-z_i))_(i,j=1->n)为相应数据的柯西矩阵。
柯西方程[不要和柯西函数方程混淆]是一个在一种特殊透明物质下，关于折射率n(λ)与光的波长λ的经验关系。柯西在1836年定义了它。
柯西函数方程是方程f(x+y)=f(x)+f(y)。解叫做加性函数。
在代数中，加性函数（或加性映射）是一个保持加法运算的函数，即对于任何x,y都有性质f(x+y)=f(x)+f(y)的函数。例如线性映射是加性的。当域是实数域时，加性函数满足的方程即柯西函数方程。
数论中的加性函数：对于正整数n的一个算术函数f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)+f(b)，在数论上就称它为加性函数。若某算术函数f(n)就算a,b不互质，f(ab)=f(a)+f(b)，称它为完全加性的。
杨宝珊：柯西《分析教程》中的无穷小http://www.doc88.com/p-676122209382.html
摘要：
目的
考察和分析柯西《分析教程》中有关无穷小的若干问题。
方法
运用历史分析的方法，采用非标准分析的观点对原始文献进行研究。
结果
推广了非标准分析的奠基者Abraham Robinson关于柯西的某些历史评论。
结论
如果允许考虑实无穷小和无穷整数，那么，传统认为的柯西在连续性上所犯的某些失误就可以得到解释。另外，柯西对无穷小的态度影响了他对完备性的立场。
18世纪的分析学家致力于创造有效的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念和基本原理并没有得到严格处理，导致许多悖论和混乱。19世纪初，法国数学家柯西本着分析严格化的明确目标，写出了一系列分析教程。
人们经常提到柯西关于连续性犯了某些错误或者表述得含混不清。例如，他在许多场合混淆了点态连续和一致连续。然而，1966年，Abraham Robinson在《非标准分析》中注意到，柯西一直在实无穷小的应用中和仅以实数为基础的极限之间徘徊。Robinson指出，如果柯西在实际上容许他的变量取无穷小值，那么，含混不清的地方就没有了，而柯西也就没有犯错误。另一方面，Robinson指出柯西关于连续函数序列之和仍是连续函数的结论不能用同样的方法来辩护。但是，本文指出，当容许一个相当于等度连续的假定时，就可以解释柯西关于这一命题的证明。最后，我们还推测到，柯西对无穷小的留恋可能影响了他对完备性的态度。
在本文中，一个无穷小被看成是一个实体x，这个实体x可以和实数（以及其他的无穷小及其倒数）比较大小，并且，对每一个正实数r，都有-r<x<r。零是（标准）实数中惟一的无穷小，并且是惟一没有倒数的实数（通常把“无穷小”定义为使lim[x->0]f(x)=0的一个函数f(x)，这里所指的不是这样的无穷小）。
1连续性和无穷小
柯西对数学最杰出的贡献之一就是他对函数的解析连续性（与几何连续性相对）的定义和使用。
在1821年的《分析教程》的底第2章中，柯西关于连续的定义如下：“设f(x)是变量x的函数，且对于已给的两个界限之间的每一个x值，该函数总是有一个惟一的有限值。如果从这两个界限之间的x值着手，给变量x以一个无穷小增量α，那么函数本身将增加一个差量f(x+α)-f(x)，这个差同时依赖于新变量α和原变量x的值。……”
2级数的连续性和无穷小
另外的一些模棱两可的话或者所谓的错误，也可以根据是否允许使用无穷小来解释。例如，在《分析教程》的第4章，柯西想证明连续函数的收敛级数的和必然是连续的，如果把这解释为点态连续，则柯西就是错误的。阿贝尔就是这样理解的。他在1826年举出一个反例：
sinx-(1/2)sin(2x)+(1/3)sin(3x)…
3实数系的完备性和无穷小
在《分析教程》中，柯西为了证明一个中值定理，使用了他的连续性的解析概念。他说，这种方法“有一个优点，就是提供了方程f(x)=0的一个数值解”。柯西的证明只缺少一个明确的、在今天看来是严格的完备性公理。?
谁创造了ε？柯西和微积分严格化的起源
美国数学月刊，1983年3月
学生：汽车时速50英里是什么意思？
老师：对任意ε>0，存在δ，例如|t_2-t_1|<δ，使得|(s_2-2_1)/(t_2-t_1)-50|<ε。
学生：世界上有人想到过这样的答案吗？
或许这个交流提醒我们微积分的严格基础一点都不直观。当牛顿和莱布尼兹在17世纪晚期发明微积分时，他们没有使用ε-δ证明。
ε-δ证明最先出现在柯西（1789-1857）的著作里。这并不总是被公认的，因为柯西给了极限的一个纯口头上的定义。柯西也给f(x)的导数一个纯口头上的定义。牛顿、莱布尼兹、达朗贝尔、马克劳林和欧拉已经有过像那样的表述了。但柯西在他的证明中把这样口头上的表述翻译为精确的不等式语言，这是重要的。
《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》http://www.docin.com/p-291823033.html
[美]威廉·邓纳姆（William Dunham）著，李伯民，汪军，张怀勇译
The Calculus Gallery-Masterpieces from Newton to Lebesgue
William Dunham
2005 Princeton University Press
第6章柯西
奥古斯丁·路易·柯西（A.-L.Cauchy，1789-1857）
传记作家Eric Temple Bell有时是轻描淡写地描绘数学家们的丰富多彩的人生的，在他的笔下，“柯西在现代数学中，扮演的角色没有远离舞台的中央”。这个评价是个毋庸置疑的。奥古斯丁·路易·柯西在其一生中写作了大量的书籍和论文，现在出版的选集已超过24卷，其中收集的是有关组合数学、代数、微分方程、复变函数、力学以及光学的论文。同一个世纪之前的莱昂哈德·欧拉一样，奥古斯丁·路易·柯西对后世产生了长远的影响。
本章对柯西的工作略作介绍。我们给出一些例子，涉及的范围从极限理论到中值定理，从他的积分定义到微积分基本定理，最后以级数收敛的判别法结束。本章取材于他的两本著名教科书：《皇家综合工科学院分析教程》（1821）和《皇家综合工科学院无穷小分析教程概论》。
极限、连续性和导数
虽然柯西承认拉格朗日是一位年高德劭的数学家，但是他并不赞同拉格朗日提出的基于级数的导数定义。柯西写道：“我拒绝通过无穷级数进行函数展开的作法。”他接着指出：
我并不忽视著名的拉格朗日已经将这个公式作为他的导函数理论的基础。尽管应对如此大的权威表示尊敬，但是多数几何学家如今都承认如果使用发散级数可能导致不确定的结果……而我本人还要补充一句，拉格朗日方法可能产生一个由收敛级数表述的函数展开，不过这个级数的和根本不同于原来的函数。
后一种情况就是前一章中提到的柯西的反例。对他来说，拉格朗日的方案是一条死胡同。柯西希望提供逻辑上正确的另外一种选择，他断言：“微分学的原理及其最重要的应用很容易不借助级数而建立起来。”
柯西认为，取代的办法是把全部微积分建立在极限思想的基础上。他关于这个概念的定义成为数学上的一个经典：
当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意小，那么这个固定值就称所有这些值的极限。
柯西以圆面积作为例子：当一个圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积的极限就是这个圆的面积。自然不会有哪个多边形的面积等于圆的面积。但是，对于任意给定的容差，能够找到一个内接正多边形，它的面积以及那些边数更多的正多边形的面积比给定的容差更接近圆的面积。多边形的面积持续地越来越接近圆的面积，这是柯西思想的精髓。
柯西引入的另一个相关概念或许会令使人产生疑虑。他写道：“当一个变量的连续数值无限减小（从而变得小于任何给定的值）时，这个变量就称为……一个无穷小的量。”他使用的“无穷小”这个词令人感到不详的预兆，但是我们可以把这个定义简单地解释为收敛到零。
柯西下一步将他的注意力转移到连续性上。我们在直觉上的第一个反应是，柯西似乎将顺序弄反了，应该将极限的思想建立在连续性上，而不是相反。但是柯西是对的。将这两件事“显而易见”的顺序颠倒过来是理解连续函数的关键。
显然，微分学已经处于他的完全驾驭之下。
同柯西的极限方法一样，他的积分定义也将在整个微积分的发展历史中掀起轩然大波。
我们回忆一下，当初莱布尼兹将积分定义为无限多个无穷小的被加数的和并用符号∫表示。看起来也许奇怪，直到19世纪初，还没有人从这个角度来理解积分。相反，人们一直把积分主要看成微分的逆过程，使其在数学概念的殿堂中处于次要位置。例如，欧拉在他影响深远的关于积分学的三卷教科书中是以下述定义开始的。
定义：积分学是从给定微分的变量寻找变量自身的方法,产生这种变量的运算称为积分。
欧拉认为积分依赖于微分并且因此而从属于微分。
柯西不同意这种观点。他认为积分必须是独立存在的，并且有相应的定义。因此，在19世纪即将消失的时候，他发起了一次变革，将积分置于分析学的聚光灯下。柯西继承了约瑟夫·傅里叶（1768-1830）采用∫[x_0,X]f(x)dx作为所论及极限的“最简单的”记号。
柯西的定义远非完美，多半是因为它仅仅适用于连续函数。尽管如此，它仍然是具有重大意义的进展，使得在两个关键问题上再无悬念：
（1）积分是一种极限，（2）积分的存在同反微分法无关。
(d/dx)∫[x_0,x]f(x)dx=f(x)----（6）
这正是微积分基本定理的“最初形式”。在式（6）中，微分和积分的反向性质跃然纸上。
对积分进行微分之后，柯西下一步说明如何对导数积分。他从一个他称之为“问题”的简单而重要的结果入手。
问题：如果ω是一个导数处处为零的函数，那么ω是常值函数。
将积分上限改成X以后，柯西得到了他想要的结果：
∫[x_0,X]f(x)dx =F(X)-F(x_0)----(7)
柯西对微积分基本定理的证明（1823）----本人大约在大一时（2003年下半年）利用中值定理证明了牛顿-莱布尼兹公式
为了看出反向关系，我们仅需用F’(x)代替f(x)，并将式（7）写成∫[x_0,X]F’(x)dx =F(X)-F(x_0)。基本定理的这种形式对导数进行积分，因此是对它先前形式的补充。
两个收敛判别法
首先我们必须就柯西对无穷级数之和的定义说几句话。早期的数学家们在计算特殊级数中具有令人惊异的智慧，在处理这些级数时往往从整体上把它们当作单个表达式，这种表达式的特性或多多少地同对应的有限项级数相似。对柯西来说，∑[k=0->∞]u_k的意义非常微妙。它需要有一个精确的定义，以便不但确定它的值，而且确定它是否确实存在。
柯西的方法如今是众所周知的。他引入了部分和序列
S_1=u_0, S_2=u_0+u_1, S_3=u_0+u_1+u_2,一般形式为S_n=∑[k=0->n-1]u_k
然后把无穷级数的值定义为这个序列的极限，即∑[k=0->∞]u_k≡lim[n->∞]S_n= lim[n->∞] ∑[k=0->n-1]u_k，只要极限存在，而在这种情况下，“级数称为收敛的，极限……称为级数的和”。同柯西对导数和积分的处置一样，他在极限的牢固基础上建立了无穷级数理论。
我们现在考察柯西用于证实无穷级数收敛的两个检验法。这两个证明都是基于对非负项级数的比较检验法，这个检验法说明，如果对所有的k都有0<=a_k<=b_k，并且如果∑[k=0->∞]b_k收敛，那么∑[k=0->∞]a_k也收敛。
柯西收敛准则必要性的证明：
易知，{a_n}有极限时（设极限为a），{a_n}一定是一个柯西数列。
因为￥ε>0，存在正整数N，当n,m>N时，有|a_n-a|<ε/2，|a_m-a|<ε/2。
∴|a_n-a_m|<=|a_n-a|+|a_m-a|<ε，这就证明了{a_n}是一个柯西数列。
柯西收敛准则充分性的证明
第一，确界定理（非空有界数集必存在确界。）→柯西收敛准则。
{a_n}是柯西数列，则易证{a_n}是有界数列：
￥ε>0，存在正整数N>0，当n>N时，有|a_n-a_N|<ε/3，即|a_n|<=|a_N|+ε/3，取ε为固定值，则证得{a_n}有界。
拉普拉斯和欧拉（1777）、达朗贝尔（1752）的工作是复变函数论的前驱，也是我们当今研究的柯西积分的前驱。
1814年，柯西在论文《关于定积分理论的报告》中指出，柯西-黎曼方程是严格地并且直接建立由实到虚（复）过渡的桥梁，他说这两个方程包含了由实到虚过渡的全部理论。
1825年，柯西又写了《关于积分限为虚数的定积分的报告》的论文，他在这篇论文中，将∫[a,b]f(x)dx中的常数及变数用复值代替的方法，来计算积分的问题。----推广实函数的定积分为复函数的定积分
这就是我们现在常常把复变函数的积分叫做柯西积分[1825]的来历。
[
复积分的牛顿-莱布尼兹公式
如果函数f(z)在单连通区域D内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，则∫[z_0,z_1]f(z)dz=F(z_1)-F(z_0)。这里z_0，z_1为区域D内的两点。
说明：当函数f(z)在单连通区域D内处处解析时，对于积分∫[z_0,z_1]f(z)dz 的计算类似于一元实函的定积分，可以采用关于一元实函的定积分的所有积分公式和积分方法。
练习：∫[0,i]zcoszdz=e^(-1)-1----使用分部积分法
∫[1,1+i]ze^zdz=ie(cos1+isin1)
----复分析教材和数学分析教材有很多重复的地方，应该浓缩成一本分析教材。
]
举例说明：积分是否与路线有关，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性[区域是否是单连通区域]。
受此启发，柯西于1825年给出如下定理：
1825年，柯西给出的积分定理是：如果f(z)在单连通区域D内解析，且f’(z)在D内连续[这一句是1851年黎曼证明的附加假设条件，1900年古萨证明免去了这一假设]，则f(z)沿着D内任一条闭曲线C的积分等于零：∮_Cf(z)dz=0。
柯西证明此定理时是否已经了解到格林1825年的工作（即众所周知的格林公式），现在还没有足够的理由肯定这一点。
[
重要积分公式：
∮_C(1/(z-a)^n)dz=2pii,n=1;0,n≠1。
此结论非常重要，用起来很方便，因为C不必是圆，a也不必是圆的圆心，只要a在简单闭曲线C内即可。
例子：计算积分∮_C((2z-1)/(z^2-z))dz=∮_C(1/z)dz+∮_C(1/(z-1))dz=2pii+2pii=4pii，C为包含圆周|z|=1在内的任何正向（逆时针）简单闭曲线。被积函数在复平面有两个奇点z=0和z=1，C也包含这两个奇点。
复合闭路定理
（1）∮_Cf(z)dz=∑[k=1->n]∮_C_kf(z)dz，其中C及C_k均取逆时针方向；
即：复变函数沿多连通区域外边界线逆时针方向的积分等于沿所有内边界线逆时针方向的积分之和。
（2）∮_Γf(z)dz=0，多连通区域的柯西定理。这里Γ由外边界线C和内边界线C_1^-，C_2^-，…，C_n^-组成的复合闭路，即Γ=C+C_1^-+C_2^-+…+C_n^-，其方向是：C沿逆时针方向，C_1^-，C_2^-，…，C_n^-沿顺时针方向。
闭路变形原理
解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形[说明：在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点。]而改变它的值。
]
柯西将复变函数f(z)作为复变数z的一元函数来研究，他把解析函数定义为f’(z)在区域D存在并连续的函数。柯西及黎曼等人在关于积分定理的证明中，均假设f(z)的导数f’(z)连续。1900年，古莎（Goursat，1858.5.21-1936.11.25）发表新的证明方法，不需要将f(z)分为实部与虚部，更为重要的是免去了f’(z)为连续的假设，因此，f’(z)的连续不仅在柯西定理中可以省略，同时对解析函数的定义也象我们现在的复变函数课本这样，即只须f’(z)在区域D内存在，不必假设f’(z)连续。
古莎对柯西积分定理的证明作了重要的修改，所以人们又把这个积分基本定理称为柯西-古萨定理。
古莎证明了：若f’(z)在闭简单围线C上及其内部都存在，则柯西定理成立。
[
应用柯西-古萨定理应注意什么？
（1）注意定理的条件“单连通区域内处处解析”。
反例：f(z)=1/z在多连通区域1/2<|z|<3/2内解析，单位圆|z|=1是该区域内一条闭曲线，但∮_|z|=1(1/z)dz=2pii≠0。
（2）注意定理不能反过来用。即不能由∮_Cf(z)dz=0，而说f(z)在C内处处解析。
反例：f(z)=|z|在单位圆|z|=1内处处不解析，但∮_|z|=1|z|dz=0。
]
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，u(x,y)，v(x,y)的柯西-黎曼方程等价于
(gradu,gradv)=0，且|gradu|=|gradv|。
复形式的柯西-黎曼方程：
f(z)在区域D内解析的充分必要条件是u(x,y)，v(x,y)在D内可微且满足柯西-黎曼方程df/d~z=0。
例如：如果A={{1,1,2},{3,1,-1}}与B={{1,1},{3,1},{0,2}}，则柯西-比内公式给出行列式：
det(AB)=|{{1,1},{3,1}}|·|{{1,1},{3,1}}|+|{{1,2},{1,-1}}|·|{{3,1},{0,2}}|+|{{1,2},{3,-1}}|·|{{1,1},{0,2}}|=-28
雅克·比内（Jacques Philippe Marie Binet，1786.2.2-1856.5.12）
法国数学家、物理学家、天文学家
生于雷恩，卒于巴黎。
1806年，毕业于巴黎综合理工学院，1807年，回校任教。1843年，入选巴黎科学院。
对数论和矩阵代数的基础作出了重大贡献。
1812年，他第一个描述了矩阵乘法的运算规则。
比内的斐波那契数公式：
斐波那契数列用循环公式定义：u_n=u_(n-1)+u_(n-2),n>1。
这里，u_0=0,u_1=1,u_n=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^nsqrt(5))
Cauchy-Schwarz Inequality或Cauch-Buniakowsky-Schwarz Inequality证法有很多，讲两种比较常见的：
1、构造二次函数，转根的判别式证
2、构造二重积分，轮换，相加，用二重积分性质证
定积分的柯西不等式fx乘以gx a到b的积分 的平方 小于等于 fx的平方a到b的积分 乘以 gx的平方 a到b的积分
（离散和形式的）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是a_i, b_i，则有 (∑a_i^2)*(∑b_i^2) ≥ (∑a_i *b_i)^2。我们令f(x)=∑(a_i+x*b_i)^2=(∑b_i^2)*x^2+2*(∑a_i*b_i)*x+(∑a_i^2)，则我们知道恒有f(x)≥0。用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑a_i*b_i)^2-4*(∑a_i^2) *(∑b_i^2)≤0。移项得到结论。
The inequality for sums was published by Augustin-Louis Cauchy (1821), while the corresponding inequality for integrals was first stated by Viktor Bunyakovsky (1859) and rediscovered by Hermann Amandus Schwarz (1888).
俄罗斯帝国乌克兰数学家布尼亚科夫斯基（Viktor Yakovlevich Bunyakovsky，1804.12.16（俄历12.4）-1889.12.12（俄历11.30）），彼得堡科学院成员和副院长。
He worked in theoretical mechanics and number theory (see: Bunyakovsky conjecture), and is credited with an early discovery of the Cauchy-Schwarz inequality, proving it for the infinite dimensional case in 1859, many years prior to Hermann Schwarz's works on the subject.
柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理。
柯西中值定理：设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上满足：
（Ⅰ）f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续；----连续
（Ⅱ）f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导；----导数
（Ⅲ）f’^2(x)+g’^2(x)>0；
（Ⅳ）g(a)≠g(b)。
则在开区间(a,b)内必定（至少）存在一点ξ，使得f’(ξ)/ g’(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
首先将函数f(x),g(x)视为以x为参数的方程u=g(x),v=f(x)。
它在O-uv平面上表示一段曲线。
由拉格朗日定理的几何意义，存在一点（对应于参数ξ）的导数(dv/du)|(x=ξ)恰好等于曲线端点弦AB的斜率：
k_AB=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
A(g(a),f(a)),B(g(b),f(b)),P(g(ξ),f(ξ))。
1.0/0型不定式极限
定理：若函数f和g满足：
（Ⅰ）lim[x->x_0]f(x)= lim[x->x_0]g(x)=0；
（Ⅱ）在点x_0的某空心邻域U^0(x_0)内两者均可导，且g’(x)=0；
（Ⅲ）lim[x->x_0]f’(x)/g’(x)=A（A可以为实数，±∞，∞）。
则lim[x->x_0]f(x)/g(x)=lim[x->x_0]f’(x)/g’(x)=A。
2.∞/∞型不定式极限
定理：若函数f和g满足：
（Ⅰ）lim[x->x_0^+]f(x)= lim[x->x_0^+]g(x)=∞；
（Ⅱ）在点x_0的某右邻域U^0_+(x_0)内两者均可导，且g’(x)=0；
（Ⅲ）lim[x->x_0]f’(x)/g’(x)=A（A可以为实数，±∞，∞）。
则lim[x->x_0^+]f(x)/g(x)=lim[x->x_0^+]f’(x)/g’(x)=A。
3.其他类型的不定式极限
不定式极限还有0·∞，1^∞，0^0，∞^0，∞±∞等类型，它们一般均可化为0/0型或者∞/∞型。
对反常积分（improper integral）取极限的方法不唯一，取的方法不同，值也不一样。
求1/x在-1到1上的积分
1/x在[-1,1]上遇到奇点0，于是需要以0为界，分段积分。
反常积分∫[-1,1](1/x)dx在柯西主值意义下收敛，或称反常积分∫[-1,1](1/x)dx的柯西主值为ln|1|-ln|-1|=0，即p.v.∫[-1,1](1/x)dx=0。
阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）特别希望见到高斯、柯西和多科工艺学校的数学团体。然而，他所受到的接待距他所期望的很远。首先，他把论五次方程的手稿呈送给高斯。高斯甚至连看都没有看就把它扔在一边，叫喊：“又是一个怪物！”阿贝尔把他向科学院宣读大的论超越函数的手稿呈现给柯西。柯西和年老的勒让德宣布：这份手稿是不值一读的！幸亏阿贝尔找到了另一条渠道，才使得他的工作闻名于世。阿贝尔死于肺结核的同年，雅可比认识到阿贝尔关于超越函数工作的价值，而且促使柯西去寻找遗失的手稿。1841年，阿贝尔死后的12年后，阿贝尔的手稿终于发表了。
伽罗瓦是一个忠诚的共和主义者。他没有能参加1830年的七月革命，那时他和他的同学被锁在学校里，他写了一封信，严厉地谴责校长。结果他被开除出学校了。虽然他只生活了21年，而且他的全集也只占60页纸，但是，有两个主要数学领域是以他的名字命名的，即伽罗瓦虚数和伽罗瓦方程论。----伽罗瓦域GF(q)=有限域F_q，伽罗瓦理论（群/伽罗瓦群/可解群/阿贝尔群/循环群，域扩张/伽罗瓦扩张/可解扩张/阿贝尔扩张/循环扩张）
阿达玛从早期起就致力于把柯西在分析上的局部理论推广到全局。在复域里，他的博士论文“泰勒展式所定义的函数的研究”（1892）首次把集合论引进复函数理论，更简单地重证了有关收敛半径的结果，并用自然而精密的方法探索奇点在收敛圆上的位置及性质，从而使在收敛圆外的解析延拓（如果可能的话）显得更切实可行。这些都是从已给泰勒级数的系数所形成的集合入手的，从而得到了一系列重要结果。以收敛圆为割线、缺项级数定理、极奇性定理、奇性结合定理、有限差距和奇点的阶等概念，至今仍是函数论的基本内容。他和他的学生芒代尔布罗伊合著的《泰勒级数及其解析延拓》（1926）则已成为经典。他沿着这个新途径研究函数的极大模得到了著名的三圆定理（解析函数在同心圆上的极大模式同心圆半径的凸函数），他把这些一般结果应用到研讨整函数的泰勒级数的极大模的衰减和这个函数的亏格间的关系，完善了庞加莱的结果，并因此获得了1892年法国科学院大奖。凭借这些及其博士论文中的许多结果，他证明了黎曼ζ函数的亏格为零，对黎曼猜想作出了重大突破；又证明了素数定理（即lim[n->∞]π(n)logn/n=1），这里π(n)表示不大于n的素数的个数），从而建立了解析数论的基础。
1896年，哈达玛与比利时数学家普森彼此独立地取得了黎曼猜想问世37年后的第一个阶段性成果，黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在那个带状区域的内部，而不包括边界。它直接导致了素数定理的证明。
1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一阶段性成果，那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有的非平凡零点。
1914年，另一阶段性成果出现了，哈代证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。
1921年，哈代与李特伍德合作，对自己7年前那个结果中的“无穷”做出了具体估计，百分比为百分之零。
1942年，挪威数学家赛尔伯格终于证明了这个百分比大于零。不过赛尔伯格虽然证明了那个百分比大于零，却并没有在论文中给出具体数值。
1974年，年过花甲的美国数学家列文森（Norman Levinson）证明了至少有34%的零点位于临界线上。次年去世。
1980年，中国数学家楼世拓与姚琦证明了至少有35%的零点位于临界线上。
1989年，美国数学家康瑞（Brian Conrey）证明了至少有40%的零点位于临界线上。这也是这方面——并且也是整个黎曼猜想研究中——目前最强的结果。
法国数学家哈达玛的中国之行http://www.docin.com/p-369798128.html
1831年，法国的柯西发现解析函数的幂级数收敛定理。
复分析中描述幂级数收敛半径的柯西-阿达马定理，柯西在1821年发表了它，阿达玛重新发现了它。
阿达玛在1888年第一次发表了这个结果，并作为1892年博士论文中的一部分。
单复变理论中定理的表述和证明：
f(z)=∑[n=0->∞]c_n(z-a)^n。
上式中a,c_n∈C，则该级数收敛半径R由下式给出：
1/R=limsup[n->∞](|c_n|^(1/n))，其中 sup 为集合的最小上界。
多复变理论中定理的表述和证明：
哈达玛矩阵
定义：一个n*n的{1,-1}-矩阵H满足HH^T=nI，则称H为n阶哈达玛矩阵。
例：H={{1,1},{1,-1}}，H^T={{1,1},{1,-1}}，则HH^T={{2,0},{0,2}}，则H为一个哈达玛矩阵。
定理：如果n阶哈达玛矩阵存在，则其n=1,2或4k。
定理：如果m阶和n阶的哈达玛矩阵均存在，则mn阶的哈达玛矩阵必存在。
1931年，熊庆来启程赴欧考察，并准备代表中国第一次除夕1932年在瑞士苏黎世召开的国际数学会的会议。他又来到阔别十年的巴黎，来到著名的庞加莱数学研究所工作。在他之前，法国数学家波莱尔（E.Borel，1871-1956）曾经提出过有穷级整函数理论，熊庆来决心在波莱尔工作的基础上将结果推广到无穷级的情形。
1933年，熊庆来写出了题为《关于整函数与无穷级的亚纯函数》的论文。
他的这个理论被欧洲的数学家誉为熊氏无穷级理论，熊庆来也因此被授予法国国家理科博士学位。1937年抗战前夕，熊庆来离开清华大话，回到阔别十六年的故乡，出任云南大学校长。1949年6月，全国解放前夕，正值熊庆来赴巴黎参加联合国教科文组织第四届大会，云南大学却被宣布解散。1950年春天，他突然因为脑溢血病倒了，他在法国的朋友阿达玛（Hadamard，1865-1963）、当儒瓦（Denjoy）、蒙代尔（Montel）和在美国的学生陈省身、林家翘，还有许多法国朋友为他的治疗而奔走。1957年6月，熊庆来回到了阔别八年的祖国。他在北京定居下来，担任中国科学院数学研究所研究员，负责函数论研究室。1963年熊庆来已是70高龄了，他又录取了杨乐、张广厚两个北大数学系的毕业生为研究生，知道他们进行函数论的研究。
1920年，在美国康奈尔大学毕业返国的姜立夫，单枪匹马地去天津南开创办数学系。在此后中国各地开始兴办高等数学教育事业。熊庆来和段子燮在南京办东南大学（1921）。黄际遇和陈建功在1924年办武昌大学数学系。胡明复合胡敦复在上海办大同大学，陈建功和苏步青先后到浙江大学工作，培育了一代人才。熊庆来于1926年在清华创办算学系，后又设立清华大学数学研究院，招收研究生。
20世纪20年代，以清华、北大、南开、浙大、大同等校为基础的中国近代数学事业，终于办起来了。
柯西传记资料（2012-10-16 21:50:47）相关推荐
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