取样定理

1 信号的取样

定义
取样是利用取样脉冲序列s(t)s(t)s(t)从连续信号f(t)f(t)f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程；得到的离散信号称为取样信号。

fs(t)=f(t)s(t)f_s(t)=f(t)s(t)fs(t)=f(t)s(t)

取样间隔TsT_sTs，取样频率fs=1/Tsf_s=1/T_sfs=1/Ts

取样信号频谱：
Fs(jω)=12πF(jω)∗S(jω)F_{s}(j \omega)=\frac{1}{2 \pi} F(j \omega) * S(j \omega)Fs(jω)=2π1F(jω)∗S(jω)

设f(t)f(t)f(t)是带限信号, 即f(t)f(t)f(t)的频谱只在区间(−ωm，ωm)(-\omega_m，\omega_m)(−ωm，ωm) 内为有限值，其余区间为0 。

f(t)←→F(jω)f(t) \leftarrow \rightarrow F(j \omega)f(t)←→F(jω)

矩形脉冲取样：s(t)s(t)s(t)是周期为TsT_sTs的矩形脉冲信号 (或称为开关函数)

周期信号的频谱是脉冲序列。

冲激取样：s(t)s(t)s(t)是周期为TsT_sTs的冲激函数序列δTs(t)\delta_{Ts}(t)δTs(t)

说明：画取样信号fs(t)f_s(t)fs(t)的频谱时，设定ωs≥2ωmω_s ≥2ω_mωs≥2ωm，此时其频谱不发生混叠，因此可以利用低通滤波器从Fs(jω)F_s(j\omega)Fs(jω)中提取出F(jω)F(j\omega)F(jω)，即从fs(t)f_s(t)fs(t)中恢复原信号f(t)f(t)f(t)。否则将发生频谱混叠，而无法恢复原信号。

2 取样定理（时域）

重要意义：取样定理是连续信号与离散信号间的一座桥梁，为其相互转换提供了理论依据。在一定条件下，一个带限连续信号完全可以用其离散样本值表示。即这些样本值包含了该连续信号的全部信息，用它们可以恢复原信号。

由于fs(t)=f(t)s(t)=f(t)∑n=−∞∞δ(t−nTs)=∑n=−∞∞f(nTs)δ(t−nTs)f_{s}(t)=f(t) s(t)=f(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(t-n T_{s}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f\left(n T_{s}\right) \delta\left(t-n T_{s}\right)fs(t)=f(t)s(t)=f(t)∑n=−∞∞δ(t−nTs)=∑n=−∞∞f(nTs)δ(t−nTs)

当ws≥wmw_s\ge w_mws≥wm时，将冲激取样信号通过低通滤波器：

只要已知各取样值f(nTs)f(nT_s)f(nTs), 就可唯一地确定出原信号f(t)f(t)f(t)。

时域取样定理：一个频谱在区间(−wm,wm)(-w_m,w_m)(−wm,wm)以外为0的带限信号f(t)f(t)f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts[Ts<1/(2fm)]T_s[T_s<1/(2f_m)]Ts[Ts<1/(2fm)]上的样值点f(nTs)f(nT_s)f(nTs)确定。

说明：为恢复原信号，必须满足两个条件：

（1）f(t)f(t)f(t)必须是带限信号；

（2）取样频率不能太低，必须fs>2fmf_s>2f_mfs>2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts<1/(2fm)T_s<1/(2f_m)Ts<1/(2fm);否则将发生混叠。通常把最低允许的取样频率fs=2fmf_s=2f_mfs=2fm称为奈奎斯特频率(Nyquist Sampling Rate)，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)T_s=1/(2f_m)Ts=1/(2fm) 称为奈奎斯特间隔(Nyquist Space)

3 取样定理（频域）

根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理：

一个在时域区间(−tm,tm)(-t_m,t_m)(−tm,tm)以外为0的时限信号f(t)f(t)f(t)的频谱函数F(jw)F(jw)F(jw)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs[fs<1/(2tm)]f_s[f_s<1/(2t_m)]fs[fs<1/(2tm)]上的样值点F(jnws)F( jnw_s)F(jnws)确定。

F(jω)=∑n=−∞∞F(jnπtm)Sa(ωtm−nπ),tm=12fsF(j \omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F\left(j \frac{n \pi}{t_{m}}\right) \mathrm{Sa}\left(\omega t_{m}-n \pi\right), \quad t_{m}=\frac{1}{2 f_{s}}F(jω)=n=−∞∑∞F(jtmnπ)Sa(ωtm−nπ),tm=2fs1

频域取样定理用的比较少，了解即可。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
中国大学MOOC：信号与系统，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟

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【信号与系统】（二十）傅里叶变换与频域分析——取样定理

文章目录

取样定理

1 信号的取样

2 取样定理（时域）

3 取样定理（频域）

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