零 基本概念

微分方程

定义

​ 微分方程是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系；含导数或微分的方程称之为微分方程，一般形式为f(x,y’,…y⁽ⁿ⁾) = 0

方程的阶数

​ 微分方程所含的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数

方程的解

• 使得微分方程成立的函数称之为微分方程的解
• 不含任意常数的解称为微分方程的特解
• 若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称此解为微分方程的通解

几种类型

类型	特征
常微分方程	在微分方程中，若自变量的个数只有一个，称这种微分方程为常微分方程。
偏微分方程	自变量个数为两个或以上
线性微分方程	具有形式dnydx+a1(x)dn−1ydx4+⋯+an−1(x)aydx+an(x)y=f(x)\frac { d ^ { n } y } { dx } + a _ { 1 } ( x ) \frac { d ^ { n - 1 } y } { dx ^ { 4 } } + \dots + a _ { n - 1 } ( x ) \frac { ay } { dx } + a _ { n } ( x ) y = {f ( x )}dxdny​+a1​(x)dx4dn−1y​+⋯+an−1​(x)dxay​+an​(x)y=f(x)，其中ai(x)是已知函数

例题1

例题2

例题3

向量场

定义：在每一点(x,y)都画上以值f(x,y)为斜率中心在点(x,y)的线段，就得到一个方向场。

意义：尽管我们不一定能求出方程的解，但我们可知道解曲线在区域任意点(x,y)的斜率，这对微分方程的近似解和研究其几何性质极为重要。

设一阶微分方程dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx} = f(x,y)dxdy​=f(x,y)，满足解的存在唯一性定理的条件，有且仅有一个解y=y(x)。则向量场由无数个在点(x,y)的斜率的线段组成

微分方程 y′=1−y2y' = 1- y^2y′=1−y2，x ∈ [ − 3 , 3 ] $ x \in [-3,3]x∈[−3,3] ,y ∈ [ − 3.3 ] y\in [-3.3]y∈[−3.3]$,步长为 h = 0.2 h=0.2h=0.2,箭头长为 c = 0.01

clc,clear,close all
c=0.01;
x_0=-3:0.2:3;
y_0=-3:0.2:3;
[x,y]=meshgrid(x_0,y_0);
d=sqrt(1+(1-y.^2).^2); % 便于7，8行计算的辅助变量
u=c./d; % x分量
v=c*(1-y.^2)./d; % y分量
quiver(x,y,u,v);
xlim([-3,3])
ylim([-3,3])
%       下面几行代码用来绘制初值为 y(0)=1.6 的数值解图像
%       [X,Y]=ode45(@(x,y) 1-y.^2,[-3,3],[0,1.6]);
%       hold on
%       plot(X,Y(:,2),'-r',"LineWidth",2)
%       hold off
%%%%%%%%%% 以下代码保存成 ode1.m 文件 %%%%%%%%%%
%       function dy= ode1(~,y)
%           dy = 1:1-y(2).^2;
%       end

一 可分离变量

1.1 变量分离

定义
对一阶微分方程dydx=f(x,y),若f(x,y)=g1(x)g2(y),其中g1(x),g2(y)是关于x，y的连续函数，称dydx=f(x,y)为可分离变量的微分方程对一阶微分方程 \frac { dy } { dx } = {f ( x , y )},若{f ( x , y )} = g _ { 1 } ( x ) g _ { 2 } ( y ),其中g_1(x),g_2(y)是关于x，y的连续函数，称\frac { dy } { dx } = {f ( x , y )}为可分离变量的微分方程 对一阶微分方程dxdy​=f(x,y),若f(x,y)=g1​(x)g2​(y),其中g1​(x),g2​(y)是关于x，y的连续函数，称dxdy​=f(x,y)为可分离变量的微分方程
解法 （分离变量——两边积分）
dydx=f(x,y)−>dydx=g(x)g2(y)−>dyg(y)=g1(x)dx,两边积分得∫dyg2(y)=g1(x)dx+C\frac { dy } { dx } = {f ( x , y )} \ -> \frac { dy } { dx } = g ( x ) g _ { 2 } ( y ) \ -> \frac { dy } { g ( y ) } = g _ { 1 } ( x ) dx,两边积分得\int \frac { dy } { g _ { 2 } ( y ) } = g _ { 1 } ( x ) dx + C dxdy​=f(x,y) −>dxdy​=g(x)g2​(y) −>g(y)dy​=g1​(x)dx,两边积分得∫g2​(y)dy​=g1​(x)dx+C

【例】求 dydx=1+x+y2+xy2\frac { dy } { dx } = 1 + x + y ^ { 2 } + xy ^ { 2 }dxdy​=1+x+y2+xy2 的通解。
【解】 由 dydx=1+x+y2+xy2\frac { dy } { dx } = 1 + x + y ^ { 2 } + xy ^ { 2 }dxdy​=1+x+y2+xy2,得dydx=(1+x)(1+y2)\frac { dy } { dx } = ( 1 + x ) ( 1 + y ^ { 2 } )dxdy​=(1+x)(1+y2) ,分离变量得
dy1+y2=(1+x)dx\frac { dy } { 1 + y ^ { 2 } } = ( 1 + x ) dx1+y2dy​=(1+x)dx,两边积分,得通解为arctan⁡y=x+12x2+c(carc \tan y = x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + c ( carctany=x+21​x2+c(c为任意常数)

1.2 变量变换

形如 dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2\frac { dy } { dx } = \frac { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } }dxdy​=a2​x+b2​y+c2​a1​x+b1​y+c1​​ 的方程经过变量变换转化为变量分离方程

三种情况
(1) a1a2=b1b2=c1c2=k(常数 )情形. 这时方程化为 dydx=k有通解 y=kx+c(c为任意常数) (2) a1a2=b1b2=k≠c1c2情形 令 u=a2x+b2y,这时有 a1x+b1y=k(a2x+b2y)dudx=a2+b2dydx=a2+b2ku+c1u+c2是变量分离方程. (3) a1a2≠b1b2情形. 如果方程中c1,c2不全为零,方程右端分子、分母都是 x, y 的一次多项式,因此 {a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0代表 Oxy平面上两条相交的直线,设交点为 (α,β)若令 {X=x−α,Y=y−β,则有{a1X+b1Y=0,a2X+b2Y=0,从而原方程变为  dYdX=a1X+b1Ya2X+b2Y=g(YX)再令U=XY.因此, 求解上述变量分离方程, 最后代回原变量即可得原方程的解 \begin{array}{l} \text { (1) } \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=k(\text { 常数 }) \text { 情形. } \\ \text { 这时方程化为 } \frac{dy}{dx}=k \text { 有通解 } y = kx + c \text { (c为任意常数) } \\ \text { (2) } \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=k \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} \text { 情形 } \\ \text { 令 } u=a_{2} x+b_{2} y, \text { 这时有 } a_1x+b_1y=k(a_2x+b_2y)\\ \quad \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=a_{2}+b_{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=a_{2}+b_{2} \frac{k u+c_{1}}{u+c_{2}} \text { 是变量分离方程. } \\ \text { (3) } \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \text { 情形. } \\ \text { 如果方程中} c_{1}, c_{2} \text { 不全为零,方程右端分子、分母都是 x, y 的一次多项式,因此 } \\ \qquad \left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\end{array}\right. \\ \text { 代表 Oxy平面上两条相交的直线,设交点为 }(\alpha, \beta) \\ \text { 若令 } \begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}X=x-\alpha, \\ Y=y-\beta,\end{array}\right.\end{array} \ \ 则有 \ \left\{\begin{array}{l}a_{1} X+b_{1} Y=0, \\ a_{2} X+b_{2} Y=0,\end{array}\right. \\ \text { 从而原方程变为 } \ \begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{~d} X}=\frac{a_{1} X+b_{1} Y}{a_{2} X+b_{2} Y}=g\left(\frac{Y}{X}\right)再令U=\frac{X}{Y}. \end{array} \\ \text { 因此, 求解上述变量分离方程, 最后代回原变量即可得原方程的解 } \end{array}  (1) a2​a1​​=b2​b1​​=c2​c1​​=k( 常数 ) 情形.  这时方程化为 dxdy​=k 有通解 y=kx+c (c为任意常数)  (2) a2​a1​​=b2​b1​​=k​=c2​c1​​ 情形  令 u=a2​x+b2​y, 这时有 a1​x+b1​y=k(a2​x+b2​y) dxdu​=a2​+b2​ dxdy​=a2​+b2​u+c2​ku+c1​​ 是变量分离方程.  (3) a2​a1​​​=b2​b1​​ 情形.  如果方程中c1​,c2​ 不全为零,方程右端分子、分母都是 x, y 的一次多项式,因此 {a1​x+b1​y+c1​=0,a2​x+b2​y+c2​=0​ 代表 Oxy平面上两条相交的直线,设交点为 (α,β) 若令 {X=x−α,Y=y−β,​​  则有 {a1​X+b1​Y=0,a2​X+b2​Y=0,​ 从而原方程变为   dXdY​=a2​X+b2​Ya1​X+b1​Y​=g(XY​)再令U=YX​.​ 因此, 求解上述变量分离方程, 最后代回原变量即可得原方程的解 ​

例题1

求解微分方程 y′=x+y+4x−y−6y' = \frac{x+y+4}{x-y-6}y′=x−y−6x+y+4​

【解】令{x+y+4=0x−y−6=0\{ \begin{array} { l } { { x + y + 4 = 0 } } \\ { { x - y - 6 = 0 } } \\ \end{array}{x+y+4=0x−y−6=0​，可得x=1，y=-5，令 {X=x−1Y=y+5.\{ \begin{array} { l } X = x - 1\\ Y = y + 5\\ \end{array} .{X=x−1Y=y+5​. 则有 dYdX=X+YX−Y\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}dXdY​=X−YX+Y​

令 U=YXU = \frac{Y}{X}U=XY​,两边对x求导，有dydx=dudxx+u\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}x + udxdy​=dxdu​x+u，代入上式可得dudxx+u=x+uxx−ux\frac{du}{dx}x+u = \frac{x+ux}{x-ux}dxdu​x+u=x−uxx+ux​,整理得1−u1+u2du=1XdX\frac{1-u}{1+u^2}du = \frac{1}{X}dX1+u21−u​du=X1​dX

两边同时积分，有 ∫1du1+u2−∫1/2∗du21+u2=ln∣X∣+c\int \frac{1du}{1+u^2}-\int{\frac{1/2*du^2}{1+u^2}} = ln|X|+c∫1+u21du​−∫1+u21/2∗du2​=ln∣X∣+c, 解得 arctan⁡u−12ln⁡(1+u2)=ln⁡∣X∣+C\arctan u - \frac{1}{2} \ln(1+u^2) = \ln |X| + Carctanu−21​ln(1+u2)=ln∣X∣+C

即 $\arctan ( \frac { y + 5 } { x - 1 } ) - \frac { 1 } { 2 } \ln \bigg[1 + ( \frac { y + 5 } { x - 1 } ) ^ { 2 }\bigg] = \ln {| x - 1 |} + C $ C为任意常数

1.3 齐次微分方程

定义（即x，y同时乘相同的倍数，等式仍成立）
dydx=f(x,y)=g(yx),称dydx=f(x,y)=f(tx,ty)为齐次微分方程\frac { dy } { dx } = {f ( x , y )} = g ( \frac { y } { x } ) , 称\frac { dy } { dx } = {f ( x , y )} = {f(tx,ty)}为齐次微分方程 dxdy​=f(x,y)=g(xy​),称dxdy​=f(x,y)=f(tx,ty)为齐次微分方程
解法 (y=ux ) [注意 u是关于x的函数]
u=yx,原方程dydx=f(x,y)=g(u),u=yx,则dydx=u+xdudx代人原方程得u+xdudx=g(u),于是有∫dug(u)−u=∫dxx+Cu=\frac{y}{x},原方程\frac{dy}{dx}=f(x,y)=g(u),u = \frac { y } { x } ,则 \frac { dy } { dx } = u + x\frac { du } { dx } \\ 代人原方程得 u + x\frac { du } { dx } = g ( u ), 于是有 \int \frac { du } { g ( u ) - u } = \int \frac { dx } { x } + C u=xy​,原方程dxdy​=f(x,y)=g(u),u=xy​,则dxdy​=u+xdxdu​代人原方程得u+xdxdu​=g(u),于是有∫g(u)−udu​=∫xdx​+C

二 一阶微分方程

2.1 齐次线性

定义

​ 形如 dydx+P(x)y=0\frac { dy } { dx } + P ( x ) y = 0dxdy​+P(x)y=0 的方程称为一阶齐次线性微分方程.

通解公式

​ y=Ce−∫p(x)dx(C为任意常数)y = Ce^{-\int p(x)dx} \quad (C为任意常数)y=Ce−∫p(x)dx(C为任意常数)

推导
dyy=−P(x)dx−>ln∣y∣=−∫P(x)dx+C令ec0=C,则c∈(0,+∞),∣y∣=ec0∗e−∫p(x)dxy=Ce−∫p(x)dx(易知y=0为方程的解,C为任意常数)\frac{dy}{y} = -P(x)dx \ -> ln|y| = -\int P(x)dx + C \\ 令e^{c_0} = C, \ 则 c\in(0,+∞) ,|y| = e^{c_0} * e^{-\int p(x)dx}\\ y = Ce^{-\int p(x)dx} \ (易知y = 0 为方程的解,C为任意常数) ydy​=−P(x)dx −>ln∣y∣=−∫P(x)dx+C令ec0​=C, 则c∈(0,+∞),∣y∣=ec0​∗e−∫p(x)dxy=Ce−∫p(x)dx (易知y=0为方程的解,C为任意常数)

2.2 非齐次线性

定义

形如 dydx+P(x)y=Q(x)\frac { dy } { dx } + P ( x ) y = Q ( x )dxdy​+P(x)y=Q(x) 的方程称为一阶非齐次线性微分方程。[Q(x)!=0]

通解公式

​ y=[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]e−∫P(x)dxy = \bigg[ \int Q(x)e^{\int p(x)dx} dx +C \bigg] e^{- \int P(x)dx}y=[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]e−∫P(x)dx

推导 常数变易法（把c看出是x的函数c(x)）
y=c(x)e−∫p(x)dxdydx=c′(x)e−∫P(x)dx+(−P(x))∗c(x)e−∫P(x)dx把y和上式代入dydx+P(x)y=Q(x)c′(x)e−∫p(x)dx=Q(x)c(x)=∫Q(x)e∫p(x)dx+C得y=[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]e−∫P(x)dx\begin{aligned} & y = c(x)e^{- \int p(x)dx} \\ & \frac{dy}{dx} = c'(x)e^{- \int P(x)dx}+(-P(x))*c(x)e^{-\int P(x)dx} \\ & 把y和上式代入\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\\ & c'(x)e^{- \int p(x)dx} = Q(x) \\ & c(x) = \int Q(x)e^{\int p(x)dx} + C \\ & 得 \quad y = \bigg[ \int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx +C \bigg] e^{- \int P(x)dx} \end{aligned} ​y=c(x)e−∫p(x)dxdxdy​=c′(x)e−∫P(x)dx+(−P(x))∗c(x)e−∫P(x)dx把y和上式代入dxdy​+P(x)y=Q(x)c′(x)e−∫p(x)dx=Q(x)c(x)=∫Q(x)e∫p(x)dx+C得y=[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]e−∫P(x)dx​

例题 （公式法 或 变量变换）

【例】 求微分方程xdy+(x−2y)dx=0xdy + ( x - 2y ) dx = 0xdy+(x−2y)dx=0的通解.

【解】x=0x = 0x=0时,y=0y = 0y=0,下面讨论x≠0x \neq 0x​=0时:

法一：由xdy+(x−2y)dx=0xdy + ( x - 2y ) dx = 0xdy+(x−2y)dx=0得dydx=2y−xx\frac { dy } { dx } = \frac { 2y - x } { x }dxdy​=x2y−x​或dydx−2xy=−1\frac { dy } { dx } - \frac { 2 } { x } y = -1dxdy​−x2​y=−1,

解得y=[∫(−1)e∫−2xdx+c]e−∫−2xdx=Cx2+xy = [ \int ( - 1 ) e ^ {\int - \frac { 2 } { x } } dx + c ] e ^ { - \int - \frac { 2 } { x } dx} = Cx^2+xy=[∫(−1)e∫−x2​dx+c]e−∫−x2​dx=Cx2+x

法二：由xdy+(x−2y)dx=0xdy + ( x - 2y ) dx = 0xdy+(x−2y)dx=0,得dydx=2yx−1\frac { dy } { dx } = 2 \frac { y } { x } - 1dxdy​=2xy​−1

令yx=u\frac { y } { x } = uxy​=u,得xdudx=u−1x \frac { du } { dx } = u - 1xdxdu​=u−1,变量分离得duu−1=dxx\frac { du } { u - 1 } = \frac { dx } { x }u−1du​=xdx​,

两边积分得ln⁡(u−1)=ln⁡x+ln⁡C\ln ( u - 1 ) = \ln x + \ln Cln(u−1)=lnx+lnC,即u−1=Cxu - 1 = Cxu−1=Cx

故原方程通解为y=Cx2+xy = Cx ^ { 2 } + xy=Cx2+x

三 伯努利微分方程

3.1 定义

形如dydx+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1)\frac { dy } { dx } + P ( x ) y = Q ( x ) y ^ { n } ( n \neq 0 , 1 )dxdy​+P(x)y=Q(x)yn(n​=0,1)的方程称为伯努利方程

3.2 解法

引人变量变换z=y1−nz=y^{1-n}z=y1−n，从而有dzdx=(1−n)y−ndydx\frac{dz}{dx}=(1- n)y^{-n}\frac{dy}{dx}dxdz​=(1−n)y−ndxdy​,代人原方程得dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)\frac { dz } { dx } + ( 1 - n ) P ( x ) z = ( 1 - n ) Q ( x )dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x),求解该一阶非齐次线性微分方程即可

【例】求方程dydx=6yx−xy2\frac { dy } { dx } = 6 \frac { y } { x } - xy ^ { 2 }dxdy​=6xy​−xy2的通解.

【解】 这是n=2n = 2n=2时的伯努利微分方程.

令z=y−1z = y ^ { - 1 }z=y−1，得 dzdx=−y−2dydx\frac { dz } { dx } = -y ^ { - 2 } \frac{dy}{dx}dxdz​=−y−2dxdy​ 代人原方程得 dzdx+6xz=x\frac { dz } { dx } + \frac { 6 } { x } z = xdxdz​+x6​z=x

这是线性微分方程,求得它的通解为 z=cx6+x28z = \frac { c } { x^6 } + \frac { x ^ { 2 } } { 8 }z=x6c​+8x2​

代回原来的变量yyy得到 1y=cx6+x28\frac { 1 } { y } = \frac { c } { x^6 } + \frac { x ^ { 2 } } { 8 }y1​=x6c​+8x2​或 x6y−x88=c\frac { x^6 } { y } - \frac { x ^ { 8 } } { 8 } = cyx6​−8x8​=c

这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0y = 0y=0

四 恰当微分方程

4.1 定义

全微分 类似二型曲线积分，积分与路径无关

定义

​ 设P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 满足∂Q∂x=∂P∂y\frac { \partial Q } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial y }∂x∂Q​=∂y∂P​ 则称P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程,通解为u(x,y)=cu(x,y)=cu(x,y)=c

必要条件推导
∂2u∂y∂x=∂M∂y,∂2u∂x∂y=∂N∂x由于 ∂M∂y,∂N∂x的连续性, 可得 ∂2u∂y∂x=∂2u∂x∂y故 ∂M∂y=∂N∂x\begin{aligned} & \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} =\frac{\partial M}{\partial y}, \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \\ & \text { 由于 } \frac{\partial M}{\partial y}, \frac{\partial N}{\partial x} \text { 的连续性, 可得 } \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} \\ & \text { 故 } \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \end{aligned} ​∂y∂x∂2u​=∂y∂M​,∂x∂y∂2u​=∂x∂N​ 由于 ∂y∂M​,∂x∂N​ 的连续性, 可得 ∂y∂x∂2u​=∂x∂y∂2u​ 故 ∂y∂M​=∂x∂N​​

4.2 解法

普通解法

判断是否满足必要条件—对x积分得到φ(y)，为确定φ(y)把积分后的式子代入对y求偏导的等式，并使得它成立，即为解

例题

分项组合法

例题

简单二元函数的全微分
ydx+xdy=d(xy)ydx−xdyy2=d(xy)−ydx+xdyx2=d(yx)ydx−xdyxy=d(ln⁡∣xy∣)ydx−xdyx2+y2=d(arctan⁡xy)ydx−xdyx2−y2=12d(ln⁡∣x−yx+y∣)\begin{array}{l} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y=\mathrm{d}(x y) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{y^{2}}=\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right) \\ \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}}=\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x y}=\mathrm{d}\left(\ln \left|\frac{x}{y}\right|\right) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}=\mathrm{d}\left(\arctan \frac{x}{y}\right) \\ \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(\ln \left|\frac{x-y}{x+y}\right|\right) \end{array} y dx+x dy=d(xy)y2y dx−x dy​=d(yx​)x2−y dx+x dy​=d(xy​)xyy dx−x dy​=d(ln∣∣∣​yx​∣∣∣​)x2+y2y dx−x dy​=d(arctanyx​)x2−y2y dx−x dy​=21​ d(ln∣∣∣​x+yx−y​∣∣∣​)​

五 积分因子

思想：找一个连续可微函数u，使得 uMdx+uNdy = 0 为一恰微分方程，从而把问题转换为解恰当微分方程

5.1 定义

​ 存在连续函数μ!=0，使得 μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0\mu ( x , y ) M ( x , y ) dx + \mu ( x , y ) N ( x , y ) dy = 0μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0为一恰当方程，则μ(x,y)称为原方程Mdx+Ndy=0的积分因子

充要条件
∂(μM)∂y=∂(μN)∂x\frac { \partial ( \mu M ) } { \partial y } = \frac { \partial ( \mu N ) } { \partial x } ∂y∂(μM)​=∂x∂(μN)​
求积分因子

仅与y有关 (∂M∂y−∂N∂x)/(−M)=φ(y)(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})/(-M)=\varphi(y)(∂y∂M​−∂x∂N​)/(−M)=φ(y) 则积分因子为 μ=e∫φ(y)dy\mu=\mathrm{e}^{\int \varphi(y) d y}μ=e∫φ(y)dy

或仅对x有关(∂M∂y−∂N∂x)/(N)=ψ(x)(\frac{\partial M}{\partial y}-{\frac{\partial N}{\partial x}})/(N)=\psi(x)(∂y∂M​−∂x∂N​)/(N)=ψ(x) ,则积分因子为 μ=e∫ψ(x)dx\mu=\mathrm{e}^{\int \psi(x) d x}μ=e∫ψ(x)dx

5.2 解法

计算出适合的u，然后改写原方程为一恰当微分方程，使用恰当微分方程解法解决即可。

例题

六 可降阶微分方程

仅有n次导 y⁽ⁿ⁾ = f(x)

解法：进行n次不定积分求解即可

6.1 缺y型

f(x,y’,y’’)

解法(转换为一阶微分方程)

令 y′=dydx=p, 则 y′′=dpdx, 原方程化为 f(x,p,dpdx)=0; 解出 p=φ(x,C1), 则原方程通解为 y=∫φ(x,C1)dx+C2. \begin{array}{l}\text { 令 } y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p \text {, 则 } y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x} \text {, 原方程化为 } f\left(x, p, \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}\right)=0 \text {; } \\ \text { 解出 } p=\varphi\left(x, C_{1}\right) \text {, 则原方程通解为 } y=\int \varphi\left(x, C_{1}\right) \mathrm{d} x+C_{2} \text {. }\end{array} 令 y′= dxdy​=p, 则 y′′= dxdp​, 原方程化为 f(x,p, dxdp​)=0;  解出 p=φ(x,C1​), 则原方程通解为 y=∫φ(x,C1​)dx+C2​. ​

【例】求微分方程$ y ^ { \prime \prime } + 2xy’ ^ { 2 } = 0满足初始条件满足初始条件满足初始条件 y ( 0 ) = 1 , y ^ { \prime } ( 0 ) = - \frac { 1 } { 2 }$的特解。

【解】令y′=p,则y′′=dpdx,代入得dpdx+2xp2=0令y' = p,则y'' = \frac{dp}{dx},代入得 \frac{dp}{dx} + 2xp^2=0令y′=p,则y′′=dxdp​,代入得dxdp​+2xp2=0

变量分离得1p2dp=−2xdx,两边积分得1p=x2+c1变量分离得\frac{1}{p^2}dp = -2xdx,两边积分得 \frac{1}{p} = x^2+c_1变量分离得p21​dp=−2xdx,两边积分得p1​=x2+c1​

把y′(0)=−12=p代入得C1=−2,dydx=1x2−2,积分得y=122ln⁡∣x−2x+2∣+c2把y'(0) = -\frac{1}{2}=p 代入得 C_1=-2 ,\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-2},积分得 y = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \ln |\frac { x - \sqrt { 2 } } { x + \sqrt { 2 } } | + c _ { 2 }把y′(0)=−21​=p代入得C1​=−2,dxdy​=x2−21​,积分得y=22​1​ln∣x+2​x−2​​∣+c2​

把y(0)=1代入得C2=1,原方程的满足初始条件的特解为y=122ln⁡∣x−2x+2∣+1把y(0)=1代入得C_2=1, 原方程的满足初始条件的特解为 y = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \ln |\frac { x - \sqrt { 2 } } { x + \sqrt { 2 } |} + 1把y(0)=1代入得C2​=1,原方程的满足初始条件的特解为y=22​1​ln∣x+2​∣x−2​​+1

6.2 缺x型

f(y,y’,y’’) 解法(转化为一阶)

令 y′=p,pdy=1dx,dx=dyp, 则 y′′=dpdx=pdpdy, 原方程化为 f(y,p,pdpdy)=0; 解出 p=φ(y,C1)或 dyφ(y,C1)=dx, 两边积分得 ∫dyφ(y,C1)=x+C2, 进而求出原方 \begin{array}{l}\text { 令 } y^{\prime}=p, \frac{p}{dy}=\frac{1}{dx},dx = \frac{dy}{p} \ \text {, 则 } y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y} \text {, 原方程化为 } f\left(y, p, p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}\right)=0 \text {; } \\ \text { 解出 } p=\varphi\left(y, C_{1}\right) \text { 或 } \frac{\mathrm{d} y}{\varphi\left(y, C_{1}\right)}=\mathrm{d} x \text {, 两边积分得 } \int \frac{\mathrm{d} y}{\varphi\left(y, C_{1}\right)}=x+C_{2} \text {, 进而求出原方 }\end{array} 令 y′=p,dyp​=dx1​,dx=pdy​ , 则 y′′= dxdp​=p dydp​, 原方程化为 f(y,p,p dydp​)=0;  解出 p=φ(y,C1​) 或 φ(y,C1​)dy​=dx, 两边积分得 ∫φ(y,C1​)dy​=x+C2​, 进而求出原方 ​

【例】求yy′′=y′2yy ^ { \prime \prime } = y ^ { \prime 2 }yy′′=y′2满足初始条件y(0)=y′(0)=1y ( 0 ) = y ^ { \prime } ( 0 ) = 1y(0)=y′(0)=1的特解.

【解】令y’ = p,则dydx=p,dx=dyp,得y′′=dpdx=pdpdy\frac{dy}{dx} = p,dx = \frac{dy}{p},得y'' = \frac{dp}{dx} = p\frac{dp}{dy}dxdy​=p,dx=pdy​,得y′′=dxdp​=pdydp​

代入原方程得ypdpdy−p2=0,解得p=c1y代入原方程得 yp\frac{dp}{dy}-p^2 = 0,解得p=c_1y代入原方程得ypdydp​−p2=0,解得p=c1​y

根据y(0)=1=y′(0)代入得，1=c1,可得dydx−y=0,解得y=c2ex根据 y(0)=1=y'(0) 代入得，1=c_1,可得\frac{dy}{dx}-y=0,解得y=c_2e^x根据y(0)=1=y′(0)代入得，1=c1​,可得dxdy​−y=0,解得y=c2​ex

把y(0)=1代入得1=c2,故y=ex把y(0)=1代入得1=c_2 ,故y=e^x把y(0)=1代入得1=c2​,故y=ex

除上面两种类型外，还可能是缺y’，此时可令p=y’'

七 高阶微分方程

7.1 定义与解结构

常微分方程 p120 第四章

n阶齐次线性微分方程 定义
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=0(1)y ^ { ( n ) } + a _ { 1 } ( x ) y ^ { ( n - 1 ) } + \cdots + a _ { n - 1 } ( x ) y ^ { \prime } + a _ { n } ( x ) y = 0 \quad (1) y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an−1​(x)y′+an​(x)y=0(1)

n阶非齐次线性微分方程 定义
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(xy)′+an(x)y=f(x)(2)y ^ { ( n ) } + a _ { 1 } ( x ) y ^ { ( n - 1 ) } + \dots + a _ { n - 1 } ( xy ) ^ { \prime } + a _ { n } ( x ) y = {f ( x )} \quad (2) y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an−1​(xy)′+an​(x)y=f(x)(2)

分解
若f(x)=f1(x)+f2(x),则(2)可分解为如下两个方程:y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=f1(x)(2.1)y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(xy)′+an(x)y=f2(x)(2.2)若{f ( x )} = f _ { 1 } ( x ) + f _ { 2 } ( x ),则(2)可分解为如下两个方程: \\ y ^ { ( n ) } + a _ { 1 } ( x ) y ^ { ( n - 1 ) } + \dots + a _ { n - 1 } ( x ) y ^ { \prime } + a _ { n } ( x ) y = f _ { 1 } ( x ) \quad (2.1) \\ y ^ { ( n ) } + a _ { 1 } ( x ) y ^ { ( n - 1 ) } + \dots + a _ { n - 1 } ( xy ) ^ { \prime } + a _ { n } ( x ) y = f _ { 2 } ( x ) \quad (2.2) 若f(x)=f1​(x)+f2​(x),则(2)可分解为如下两个方程:y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an−1​(x)y′+an​(x)y=f1​(x)(2.1)y(n)+a1​(x)y(n−1)+⋯+an−1​(xy)′+an​(x)y=f2​(x)(2.2)
解的结构

条件	结论	补充说明
若φ1(x),φ2(x),⋯,φ,(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x ) , \cdots , \varphi , ( x )φ1​(x),φ2​(x),⋯,φ,(x)为(1)的一组解	则k1φ1(x)+k2φ2(x)+⋯+ksφx(x)k _ { 1 } \varphi _ { 1 } ( x ) + k _ { 2 } \varphi _ { 2 } ( x ) + \cdots + k _ s \varphi _ { x } ( x )k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+⋯+ks​φx​(x)也为方程(1)的解	0+0+…0=0
若φ1(x),φ2(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x )φ1​(x),φ2​(x)分别为(1)、(2)的两个解	则φ1(x)+φ2(x)\varphi _ { 1 } ( x ) + \varphi _ { 2 } ( x )φ1​(x)+φ2​(x)为(2)的一个解	0+f(x)=f(x)
若φ1(x),φ2(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x )φ1​(x),φ2​(x)为(2)的两个解	则φ1(x)−φ2(x)\varphi _ { 1 } ( x ) - \varphi _ { 2 } ( x )φ1​(x)−φ2​(x)为(1)的解	f(x)-f(x)=0
若φ1(x),φ2(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x )φ1​(x),φ2​(x)分别为(2.1)、(2.2)的两个解	则φ1(x)+φ2(x)\varphi _ { 1 } ( x ) + \varphi _ { 2 } ( x )φ1​(x)+φ2​(x)为(2)的解	f(x1)+f(x2)=f(x)
若φ1(x),φ2(x)…⋅φ,(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x )…\cdot \varphi , ( x )φ1​(x),φ2​(x)…⋅φ,(x)为(2)的一组解	则k1φ1(x)+k2φ2(x)+⋯+k,φx(x)k _ { 1 } \varphi _ { 1 } ( x ) + k _ { 2 } \varphi _ { 2 } ( x ) + \cdots + k , \varphi _ { x } ( x )k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+⋯+k,φx​(x)为(2)的解的充分必要条件是	k1+k2+⋯+ks=1k _ { 1 } + k _ { 2 } + \dots + k _ { s } = 1k1​+k2​+⋯+ks​=1
若φ1(x),φ2(x)...⋅φn(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x )...\cdot \varphi _ n ( x )φ1​(x),φ2​(x)...⋅φn​(x)为(2)的一组解	则k1φ1(x)+k2φ2(x)+⋯+knφ(x)k _ { 1 } \varphi _ { 1 } ( x ) + k _ { 2 } \varphi _ { 2 } ( x ) + \cdots + k_n \varphi ( x )k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+⋯+kn​φ(x)为(1)的解的充分必要条件是	k1+k2+⋯+kn=0k _ { 1 } + k _ { 2 } + \dots + k _ { n } = 0k1​+k2​+⋯+kn​=0
设φ1(x),φ2(x),⋯,φn(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x ) , \cdots , \varphi _ { n } ( x )φ1​(x),φ2​(x),⋯,φn​(x)为(1)的n个线性无关解	则k1φ1(x)+k2φ2(x)+⋯+knφn(x)k _ { 1 } \varphi _ { 1 } ( x ) + k _ { 2 } \varphi _ { 2 } ( x ) + \cdots +k _ { n } \varphi _ { n } ( x )k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+⋯+kn​φn​(x)为(1)的通解	k10 +k20+…+kn0 = 0
若φ1(x),φ2(x),⋯,φn(x)\varphi _ { 1 } ( x ) , \varphi _ { 2 } ( x ) , \cdots , \varphi _ { n } ( x )φ1​(x),φ2​(x),⋯,φn​(x)为(1)的nnn个线性无关解,φ0(x)\varphi _ { 0 } ( x )φ0​(x)为(2)的一个特解	则 k1φ1(x)+k2φ2(x)+⋯+knφn(x)+φ0(x)k _ { 1 } \varphi _ { 1 } ( x ) + k _ { 2 } \varphi _ { 2 } ( x ) + \dots + k _ n \varphi _ { n } ( x ) + \varphi _ { 0 } ( x )k1​φ1​(x)+k2​φ2​(x)+⋯+kn​φn​(x)+φ0​(x)为(2)的通解	特解+通解=通解 | 1+0=1

实值解与复值解 （常微分方程第三版 p136）

设y=eλx,λ可实可复y = e^{\lambda x} ,\ \lambda可实可复y=eλx, λ可实可复，复值解如下
e(α+iβ)=ea(cos⁡βt+isin⁡βt)e(α−iβ)=ea(cos⁡βt−isin⁡βt)e ^ { ( \alpha + i\beta ) } = e ^ { a } ( \cos \beta t + i \sin \beta t ) \\ e ^ { ( \alpha - i\beta ) } = e ^ { a } ( \cos \beta t - i \sin \beta t ) e(α+iβ)=ea(cosβt+isinβt)e(α−iβ)=ea(cosβt−isinβt)
实部和虚部和共轭复值函数也是方程的解，一对共轭复根对应的两个实值解如下

λ=α±iβeaxcos⁡βteaxsin⁡βt\lambda = \alpha \pm i \beta \\ e ^ { ax } \cos \beta t \quad e ^ { ax } \sin \beta t λ=α±iβeaxcosβteaxsinβt

7.2 常系数齐次

以二阶常系数为例（3种情形）

$ 二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为y ^ { \prime \prime } + py ^ { \prime } + qy = 0, \ 其特征方程为r ^ { 2 } + pr + q = 0, \ 设r _ { 1 } , r _ { 2 }为该方程的两个根.$

条件	通解
若r1≠r2r _ { 1 } \neq r _ { 2 }r1​​=r2​为两个不相等的实特征根	y=C1er1x+C2er2xy = C _ { 1 } e ^ { r_1x } + C _ { 2 } e ^ { r_2x }y=C1​er1​x+C2​er2​x
若r1=r2r _ { 1 } = r _ { 2 }r1​=r2​为二重实特征根	y=(C1+C2x)er1x1y = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } x ) e ^ { r_1 x _ { 1 } }y=(C1​+C2​x)er1​x1​
若r1=a+iβ,r2=α−iβr _ { 1 } = a + i \beta , r _ { 2 } = \alpha - i \betar1​=a+iβ,r2​=α−iβ为一对共轭复根	y=eax(C1cos⁡βx+c2sin⁡βx)y = e ^ { ax } ( C _ { 1 } \cos \beta x + c _ { 2 } \sin \beta x )y=eax(C1​cosβx+c2​sinβx)

n阶常系数 （以三阶为例，根据特征根的重数确定x的次数）

$ 特征方程为\lambda ^ { 3 } + p \lambda ^ { 2 } + q \lambda + r = 0,根据特征值\lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 }的不同情形通解如下:$
(1)λ1,λ2,λ3∈R且它们两两互不等,则通解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x；(2)λ1,λ2,λ3∈R且λ1=λ2≠λ3,则通解为y=(C1+C2x)eλ1x+C3eλ3x;(3)λ1,λ2,λ3∈R且λ1=λ2=λ3,则通解为y=(C1+C2x+C3x2)eλ1x(4)λ1∈R,λ2,3=α±βi(β≠0),则通解为y=C1eλ1x+eαx(C2cos⁡βx+C3sin⁡βx)\begin{aligned} & (1)\lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \in \mathbf { R }且它们两两互不等,则通解为y = C _ { 1 } e ^ { \lambda _ 1 x } + C _ { 2 } e ^ { \lambda _2x } + C _ { 3 } e ^ { \lambda _ 3x }； \\ & (2)\lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \in \mathbf { R }且\lambda _ { 1 } = \lambda _ { 2 } \neq \lambda _ { 3 },则通解为y = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } x ) e ^ { \lambda _ 1 x } + C _ { 3 } e ^ { \lambda _ 3 x }; \\ & (3)\lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \in \mathbf { R }且 { \lambda _ { 1 } = \lambda _ { 2 } = \lambda _ { 3 } },则通解为y = ( C _ { 1 } + C _ { 2 } x + C _ { 3 } x ^ { 2 } ) e ^ { \lambda _ 1 x } \\ & (4)\lambda _ { 1 } \in R ,\lambda _ { 2,3 } = \alpha \pm \beta i ( \beta \neq 0 ),\ 则通解为y = C _ { 1 } e ^ { \lambda _ 1 x } + e ^ { \alpha x } ( C _ 2 \cos \beta x + C _ 3 \sin \beta x ) \end{aligned} ​(1)λ1​,λ2​,λ3​∈R且它们两两互不等,则通解为y=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x+C3​eλ3​x；(2)λ1​,λ2​,λ3​∈R且λ1​=λ2​​=λ3​,则通解为y=(C1​+C2​x)eλ1​x+C3​eλ3​x;(3)λ1​,λ2​,λ3​∈R且λ1​=λ2​=λ3​,则通解为y=(C1​+C2​x+C3​x2)eλ1​x(4)λ1​∈R,λ2,3​=α±βi(β​=0), 则通解为y=C1​eλ1​x+eαx(C2​cosβx+C3​sinβx)​
（重数k-1=x的最高次数）

7.3 常系数非齐次

二阶非齐线性（等式右边不为0）两种情形：普通型，带三角函数型

求解步骤: （齐次通解+特解 == 非齐通解）

(1)求出对应齐次线性微分方程y′′+py′+qy=0y ^ { \prime \prime } + py ^ { \prime } + qy = 0y′′+py′+qy=0的通解Y=∑i=12cieλi(cos⁡βx+sin⁡βx)Y=\sum_{i=1}^{2}c_ie^{\lambda_i}(\cos \beta x + \sin \beta x)Y=∑i=12​ci​eλi​(cosβx+sinβx)

(2)用待定系数法求出非齐次线性微分方程y′′+py′+qy=f(x)y ^ { \prime \prime } + py ^ { \prime } + qy = {f ( x )}y′′+py′+qy=f(x)的一个特解y∗y*y∗.

①当f(x)=Q(x)ext{f ( x )} = Q ( x ) e ^ { xt }f(x)=Q(x)ext时,设特解y∗=xkP(x)eλxy* = x ^ { k } P ( x ) e ^ { \lambda { x } }y∗=xkP(x)eλx,其中按λ\lambdaλ不是r2+pr+q=0r ^ { 2 } + pr + q = 0r2+pr+q=0的根、是单根、是二重根时，kkk分别取0.1.2.

【说明】P(x)P ( x )P(x)是与Q(x)Q ( x )Q(x)次数相同的多项式，将y∗y*y∗代入非齐次方程，比较两端，求出P(x)P ( x )P(x),便可得特解y∗y*y∗

②当f(x)=eλx[Pl(x)cos⁡wx+Qn(x)sin⁡wx]{f ( x )} = e ^ { \lambda x } [ P _ { l } ( x ) \cos wx + Q _ { n } ( x ) \sin wx ]f(x)=eλx[Pl​(x)coswx+Qn​(x)sinwx]时,设特解y∗=xkeλx[Rm(1)(x)cos⁡wx+Rm(2)(x)sin⁡wx]y* = x ^ { k } e ^ { \lambda x } [ R _ { m } ^ { (1) } ( x ) \cos wx + R _ { m } ^ { (2) } ( x ) \sin wx ]y∗=xkeλx[Rm(1)​(x)coswx+Rm(2)​(x)sinwx]

其中按λ±iw\lambda \pm iwλ±iw不是r2+pr+q=0r ^ { 2 } + pr + q = 0r2+pr+q=0的根、是特征根、k分别取0，1。Rm(1)(x)R _ { m } ^ { ( 1 ) } ( x )Rm(1)​(x)与Rm(2)(x)R _ { m } ^ { (2) } ( x )Rm(2)​(x)是mmm次多项式，但其系数不同，m=max{l,n}m = max \{ l , n \}m=max{l,n}
【说明】将yyy代入非齐次方程,比较两端，求出Rm(1)(x)R _ { m } ^ { (1) } ( x )Rm(1)​(x)与Rm(2)(x)R _ { m } ^ { (2) } ( x )Rm(2)​(x),便可以求得特解y∗y*y∗.

(3)通解为y=Y+y∗y = Y + y*y=Y+y∗.

f(x)为普通型 f(x)=Pn(x)ekx{f ( x )} = P _ { n } ( x ) e ^ { kx }f(x)=Pn​(x)ekx

条件	特解假设	实例（以二阶为例）
若k非特征值	y0=x0(a0+a1x+⋯+anxn)ekx=x0Q(x)ekxy _ { 0 } = x^0 ( a _ { 0 } + a _ { 1 } x + \dots + a _ { n } x ^ { n } ) e ^ { kx } = x^0 Q ( x ) e ^ { kx }y0​=x0(a0​+a1​x+⋯+an​xn)ekx=x0Q(x)ekx	y′′−y′−2yy ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } - 2yy′′−y′−2y=$ ( x + 1 ) e ^ { x },令,令,令y _ { 0 } = ( ax + b ) e ^ { x }$
若k与一个特征值相同	y0=x1(a0+a1x+⋯+anxn)ekx=x1Q(x)ekxy _ { 0 } = x^1 ( a _ { 0 } + a _ { 1 } x + \dots + a _ { n } x ^ { n } ) e ^ { kx } = x^{1}Q ( x ) e ^ { kx }y0​=x1(a0​+a1​x+⋯+an​xn)ekx=x1Q(x)ekx	y′′−y′−2y=(x+1)e2xy ^ { \prime \prime} - y^{\prime} - 2y = ( x + 1 ) e ^ { 2x }y′′−y′−2y=(x+1)e2x，令y0=x(ax+b)e2x=(ax2+bx)e2xy _ { 0 } = x ( ax + b ) e ^ { 2x } = ( ax ^ { 2 } + bx)e^{2x}y0​=x(ax+b)e2x=(ax2+bx)e2x
k与两个特征值都相同	y0=x2(a0+a1x+...+anxn)ekx=x2Q(x)ekxy_0 = x^2(a_0 + a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=x^2Q(x)e^{kx}y0​=x2(a0​+a1​x+...+an​xn)ekx=x2Q(x)ekx	如 y′′−4y′+4y=(2x−1)e2x,y ^ { \prime \prime } - 4y ^ { \prime } + 4y = ( 2x - 1 ) e ^ { 2x },y′′−4y′+4y=(2x−1)e2x,令y0=x2(ax+b)e2x=(ax3+bx2)e2xy _ { 0 } = x ^ { 2 } ( ax + b ) e ^ { 2x } = ( ax ^ { 3 } + bx ^ { 2 } ) e ^ { 2x }y0​=x2(ax+b)e2x=(ax3+bx2)e2x

技巧（待补充）：代入原方程整理后的式子为:Q′′+(2k+p)Q′+(k2+pk+q)Q=Pn(x).Q'' + (2k + p)Q' + (k^2+pk+q)Q = P _ { n } ( x ) .Q′′+(2k+p)Q′+(k2+pk+q)Q=Pn​(x).·特别地,若k与一个特征值相同,则Qr′+(2k+p)Q′=Pn(x)Q ^ { r \prime } + ( 2k + p ) Q ^ { \prime } = P _ { n } ( x )Qr′+(2k+p)Q′=Pn​(x)若k与两个特征值相同,则Q′′=Pn(x)Q ^ { \prime \prime } = P _ { n } ( x )Q′′=Pn​(x)

f(x)为三角形式 f(x)=eax[Pl(x)cos⁡βx+Pn(x)sin⁡βx]{f ( x )} = e ^ { ax } [ P _ { l } ( x ) \cos \beta x + P _ { n } ( x ) \sin \beta x ]f(x)=eax[Pl​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx]，其中P1(x),Pn(x)P _ { 1 } ( x ) , P _ { n } ( x )P1​(x),Pn​(x)分别为xxx的lll次nnn次多项式
特解设为：y′=xkeax[Rm(1)(x)cos⁡βx+Rm(2)(x)sin⁡βx]y ^ { \prime } = x ^ { k } e ^ { ax } [ R _ {m} ^ { (1) } ( x ) \cos \beta x + R _ { m } ^ { (2) } ( x ) \sin \beta x ]y′=xkeax[Rm(1)​(x)cosβx+Rm(2)​(x)sinβx]，其中Rm(1)(x),R(2)(x)R _ { m } ^ { ( 1 ) } ( x ) , R ^ { ( 2 ) } ( x )Rm(1)​(x),R(2)(x)是两个mmm次多项式:m=max{l,n}m = max \{ l , n \}m=max{l,n}

条件	实例	特征值	特解假设
α+iβ\alpha + i \betaα+iβ是方程的特征根时,取k=1	y′′−2y′+2y=xexcos⁡xy ^ { \prime \prime } - 2y ^ { \prime } + 2y = xe ^ { x } \cos xy′′−2y′+2y=xexcosx	λ2−2λ+2=0\lambda ^ { 2 } - 2 \lambda + 2 = 0λ2−2λ+2=0得特征值为λ1,2=1±i\lambda _ { 1 , 2 } = 1 \pm iλ1,2​=1±i;α+iβ=1+i\alpha + i \beta = 1 + iα+iβ=1+i	y0(x)=x1ex[(ax+b)cos⁡x+(cx+d)sin⁡x]y _ { 0 } ( x ) = x ^1 e ^ { x } [ ( ax + b ) \cos x + ( cx + d ) \sin x ]y0​(x)=x1ex[(ax+b)cosx+(cx+d)sinx]
α+iβ\alpha + i \betaα+iβ不为方程的特征根时,取k= 0

【例】设x=x(y)x = x ( y )x=x(y)可导,x′(y)≠0x ^ { \prime } ( y ) \neq 0x′(y)​=0且满足方程d2xdy2+(y+sin⁡x)(dxdy)3=0\frac { d ^ { 2 } x } { dy ^ { 2 } } + ( y + \sin x ) ( \frac { dx } { dy } ) ^ { 3 } = 0dy2d2x​+(y+sinx)(dydx​)3=0
(1)将方程化为yyy关于xxx的方程;
(2)求满足初始条件y(0)=0.y′(0)=32y ( 0 ) = 0.y ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { 3 } { 2 }y(0)=0.y′(0)=23​的特解y(x)y ( x )y(x)

7.4 欧拉方程

八 关于解

已知一个通解，求另外一个线性无关的通解

8.1 存在唯一性

利普希茨

​ 存在常数L＞0，使得不等式 ∣f(x,y1)−f(x,y2)∣≤L∣y1−y2∣| {f ( x , y _ { 1 } )} - {f ( x , y _ { 2 } )} | \leq L | y _ { 1 } - y _ { 2 } |∣f(x,y1​)−f(x,y2​)∣≤L∣y1​−y2​∣ （称为y满足利普希茨条件）对于所有的(x,y₁,)，(x,y₂)∈R都成立，L称为利普希茨常数。

几何意义：利普希茨连续就是函数上任意两点连线的斜率是有界的。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度

Peano 定理 (皮亚诺存在性定理, 解的存在性定理)

​ 设函数 f(x,y) 在矩形区域R中连续，则初值问题 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)，y_{x_0}=y_0 $ 在区间 [R:∣x−x0∣≤a,∣y−y0∣≤bR:|x-x_0| \le a, |y-y_0| \le bR:∣x−x0​∣≤a,∣y−y0​∣≤b] 上至少有一个解。更进一步地，若满足利普希茨条件，则解存在且唯一。

定理一

​ 若f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则一阶微分方程dydx=f(x,y)，R:∣x−x0∣≤a,∣y−y0∣≤b\frac{dy}{dx} = f(x,y)，R:|x-x_0| \le a, |y-y_0| \le bdxdy​=f(x,y)，R:∣x−x0​∣≤a,∣y−y0​∣≤b 存在唯一解y=y(x)，定义于区间|x-x₀|≤h上。

​ 有时候不好用利普希茨判断，常用 f_y存在且连续代替。（P 85）

若f(x,y)连续则解存在，此时若f_y不连续，则解存在但不唯一。

注意

例题1

例题2

例题3 （考察 解的存在性和唯一性的判断）

【解】

（Peano 定理）解的存在性：f(x,y)=y1/3f(x,y) = y^{1/3}f(x,y)=y1/3，在R上连续，因此解存在；

（利普希茨条件）解的唯一性：∂f/∂y=13y−2/3\partial f/ \partial y = \frac{1}{3}y^{-2/3}∂f/∂y=31​y−2/3 在(0,0)无定义即不连续，则不满足利普希茨条件，因此解不唯一。

常微分方程的两个解y=0,y=23(x)32y=0, y = \frac{2}{3}(x)^{\frac{3}{2}}y=0,y=32​(x)23​

对于G选项，显然在区域R内满足利普希茨条件，则解存在且唯一。解为y=23(x+1)32y = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}y=32​(x+1)23​

无限个解，例如解的形式为y=x+cy=x+cy=x+c,不论c如何变化都满足微分方程，则有无数个解

定理二

​ 若在点(x₀，y₀, y’₀)的某一邻域中，

1. F(x,y,y′){F ( x , y , y ^ { \prime } )}F(x,y,y′)对所有变元(x,y,y′)( x , y , y ^ { \prime } )(x,y,y′)连续,且存在连续偏导数;

2. F(x0,y0,y0′)=0{F ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , y _ { 0 } ^ { ' } )} = 0F(x0​,y0​,y0′​)=0；

3. ∂F(x0,y0,y0’)∂y′≠0\frac { \partial{F ( x _ { 0 } , y _ { 0 }, y _ { 0 }’ )} } {\partial y'} \neq 0∂y′∂F(x0​,y0​,y0​’)​​=0

则一阶隐方程$F(x,y,y') = 0$存在唯一解y=y(x),|x-x~0~|≤h （h为足够小的正数）

8.2 朗斯基行列式

朗斯基行列式指的是:在区间x∈(a,b)x \in ( a , b )x∈(a,b)上有一组函数y1(x),y2(x),…,yn(x)}y _ { 1 } ( x ) , y _ { 2 } ( x ) , \dots , y _ { n } ( x ) \}y1​(x),y2​(x),…,yn​(x)}且每个函数都具有n - 1阶导数,它们构成如下所示形式的行列式，称为朗斯基行列式，记为W(y(x))W ( y ( x ) )W(y(x))或W(x)W ( x )W(x)。

定理

​ 若函数y1(x),y2(x),…,yn(x)}y _ { 1 } ( x ) , y _ { 2 } ( x ) , \dots , y _ { n } ( x ) \}y1​(x),y2​(x),…,yn​(x)}在区间a≤x≤b上线性相关，则W(x)=0

九 重点题型

9.1 基础类型

1. 一阶微分方程 三角倍角公式

【例1】微分方程 y′+sin⁡y+xcos⁡y+x=0y' + \sin y +x \cos y + x = 0y′+siny+xcosy+x=0 求通解

解：由y′+sin⁡y+x(1+cos⁡y)=0y ^ { \prime } + \sin y + x ( 1 + \cos y ) = 0y′+siny+x(1+cosy)=0 得 y′+2sin⁡y2cos⁡y2+2xcos⁡2y2=0y ^ { \prime } + 2 \sin \frac { y } { 2 } \cos \frac { y } { 2 } + 2x \cos ^ { 2 } \frac { y } { 2 } = 0y′+2sin2y​cos2y​+2xcos22y​=0

两边除以2cos⁡2y22 \cos ^ { 2 } \frac { y } { 2 }2cos22y​得12sec⁡2y2⋅dydx+tan⁡y2=−x\frac { 1 } { 2 } \sec ^ {2} \frac { y } { 2 } \cdot \frac { dy } { dx } + \tan \frac { y } { 2 } = -x21​sec22y​⋅dxdy​+tan2y​=−x或d(tan⁡y2)dx+tan⁡y2=−x\frac { d( \tan \frac { y } { 2 } ) } { dx } + \tan \frac { y } { 2 } = -xdxd(tan2y​)​+tan2y​=−x

令u=tan⁡y2u = \tan \frac { y } { 2 }u=tan2y​,原方程化为dudx+u=−x\frac { du } { dx } + u = -xdxdu​+u=−x，解得 u=[(−x)e∫dxdx+c]⋅e−∫dx=[−(x−1)ex+C]e−xu = [ ( - x ) e ^ { \int dx} dx + c ] \cdot e ^ { - \int dx } = [ - ( x - 1 ) e ^ { x } + C ] e ^ { - x }u=[(−x)e∫dxdx+c]⋅e−∫dx=[−(x−1)ex+C]e−x

原方程的通解为 tan⁡y2=Ce−x+1−x\tan \frac { y } { 2 } = Ce ^ { - x } + 1 - xtan2y​=Ce−x+1−x

1. 一阶微分方程 倒装型（有时候也可以尝试一下u=2x-y²）

【例2】微分方程 y′=12x−y2y' = \frac{1}{2x-y^2}y′=2x−y21​ 的通解为_______

【解】原方程化为dxdy=2x−y2\frac { dx } { dy } = 2x - y ^ { 2 }dydx​=2x−y2或dxdy−2x=−y2\frac { dx } { dy } - 2x = -y ^ { 2 }dydx​−2x=−y2

解得x=[∫(−y2)e−2dydy+c]e−∫−2dy=[(−y2)e−2ydy+c]e2yx = [ \int ( - y ^ { 2 } ) e ^ { - 2 dy} dy + c ] e ^ { - \int -2 dy} = [ ( - y ^ { 2 }) e ^ { -2 y} dy +c] e ^ { 2y }x=[∫(−y2)e−2dydy+c]e−∫−2dy=[(−y2)e−2ydy+c]e2y,

故原方程的通解为x=Ce2y+y22+y2+14x = Ce ^ { 2y } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + \frac { y } { 2 } + \frac { 1 } { 4 }x=Ce2y+2y2​+2y​+41​

1. 伯努利

2. 变量变换

【例】求微分方程dydx=1(x+y)2\frac { dy } { dx } = \frac { 1 } { ( x + y ) ^ { 2 } }dxdy​=(x+y)21​的通解.

【解】令x+y=ux + y = ux+y=u,则dydx=dudx−1\frac { dy } { dx } = \frac { du } { dx } - 1dxdy​=dxdu​−1,代人原方程得dudx−1=1u2\frac { du } { dx } - 1 = \frac { 1 } { u ^ { 2 } }dxdu​−1=u21​,即dudx=1+u2u2\frac { du } { dx } = \frac { 1 + u ^ { 2 } } { u ^ { 2 } }dxdu​=u21+u2​

变量分离得(1−11+u2)dx=dx( 1 - \frac { 1 } { 1 + u ^ { 2 } } ) dx = dx(1−1+u21​)dx=dx

积分得u−arctan⁡u=x+cu - arc \tan u = x + cu−arctanu=x+c,故通解y−arctan⁡(x+y)=Cy - arc \tan ( x + y ) = Cy−arctan(x+y)=C

1. 变量变换

9.2 常系数类

1. 齐次

2. 非齐次+组合型

【例】求微分方程y′′+y=x+cos⁡xy ^ { \prime \prime } + y = x + \cos xy′′+y=x+cosx的通解

【解】特征方程为λ2+1=0\lambda ^ { 2 } + 1 = 0λ2+1=0,特征值为λ1,2=±i\lambda _ { 1 , 2 } = \pm iλ1,2​=±i

y′′+y=0y ^ { \prime \prime } + y = 0y′′+y=0的通解为y=C1cos⁡x+C2sin⁡xy = C _ { 1 } \cos x + C _ { 2 } \sin xy=C1​cosx+C2​sinx

令 y′′+y=xy ^ { \prime \prime } + y = xy′′+y=x ，显然有特解y1(x)=xy _ { 1 } ( x ) = xy1​(x)=x

令 y′′+y=cos⁡xy ^ { \prime \prime } + y = \cos xy′′+y=cosx ，显然有特解为y2(x)=x(acos⁡x+bsin⁡x)y _ { 2 } ( x ) = x ( a \cos x + b \sin x )y2​(x)=x(acosx+bsinx)

代入原方程得 a=0,b=12a = 0 , b = \frac { 1 } { 2 }a=0,b=21​

故原方程的通解为y=C1cos⁡x+C2sin⁡x+x+12xsin⁡xy = C _ { 1 } \cos x + C _ { 2 } \sin x + x + \frac { 1 } { 2 } x \sin xy=C1​cosx+C2​sinx+x+21​xsinx

9.3 非特定型

9.4 可降阶

1. 缺y’’

【例】求微分方程y′′′=3x21+x3y′′y ^ { \prime \prime \prime} = \frac { 3x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 3 } } y ^ { \prime \prime}y′′′=1+x33x2​y′′满足初始条件y(0)=0,y′(0)=1,yn(0)=4y ( 0 ) = 0 , y ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , y ^ { n } ( 0 ) = 4y(0)=0,y′(0)=1,yn(0)=4的特解。

【解】令y’’ = p, 则dpp=3x21+x3,得p=C1(1+x3)\frac{dp}{p} = \frac{3x^2}{1+x^3},得p=C_1( 1 + x^3)pdp​=1+x33x2​,得p=C1​(1+x3)

∵y′′(0)=4\because y ^ { \prime \prime } ( 0 ) = 4∵y′′(0)=4，∴4=C1(1+0)\therefore 4 = C _ { 1 }(1+0)∴4=C1​(1+0)

∴y′′=4(1+x3)\therefore y ^ { \prime \prime } = 4 ( 1 + x ^ { 3 } )∴y′′=4(1+x3)，积分得y′=4x+x4+C2y ^ { \prime } = 4x + x ^ { 4 } + C _ { 2 }y′=4x+x4+C2​

因为y′(0)=1y ^ { \prime } ( 0 ) = 1y′(0)=1，所以C2=1C _ { 2 } = 1C2​=1

从而y′=4x+x4+1y ^ { \prime } = 4x + x ^ { 4 } + 1y′=4x+x4+1,再积分得y=2x2+x55+x+C3y = 2x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } + x + C _ { 3 }y=2x2+5x5​+x+C3​.

由y(0)=0y ( 0 ) = 0y(0)=0得C3=0C _ { 3 } = 0C3​=0,所求解为y=2x2+x55+xy = 2x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } + xy=2x2+5x5​+x

9.5 逆应用

1. 具有特解y1=e−x,y2=2xe−x,y3=3exy _ { 1 } = e ^ { - x } , y _ { 2 } = 2xe ^ { - x } , y _ { 3 } = 3e ^ { x }y1​=e−x,y2​=2xe−x,y3​=3ex的三阶齐次线性微分方程是_(任意一个即可)___

【解】因为y1=e−xy _ { 1 } = e ^ { - x }y1​=e−xy2=2xe−x,y3=3exy _ { 2 } = 2xe ^ { - x } , y _ { 3 } = 3e ^ { x }y2​=2xe−x,y3​=3ex

所以三阶常系数齐次线性微分方程的三个特征值为λ1=λ2=−1,λ3=1\lambda _ { 1 } = \lambda _ { 2 } = -1 , \lambda _ { 3 } = 1λ1​=λ2​=−1,λ3​=1,

对应的特征方程为(λ+1)2(λ−1)=0( \lambda + 1 ) ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) = 0(λ+1)2(λ−1)=0,即λ3+λ2−λ−1=0\lambda ^ { 3 } + \lambda ^ { 2 } - \lambda - 1 = 0λ3+λ2−λ−1=0，

故一个原方程可为y′′+y′′−y′−y=0y ^ { \prime \prime } + y ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } - y = 0y′′+y′′−y′−y=0.

9.6 解的存在唯一

十 总结

10.1 虚根求法

x2−2x+4=0,(x−1)2=−3,x−1=3i,x=1±3ix^2-2x+4=0, (x-1)^2 = -3,x-1=\sqrt{3}i , x = 1 \pm \sqrt{3}ix2−2x+4=0,(x−1)2=−3,x−1=3​i,x=1±3​i

10.2 各类求法

微分方程类型	通解	特征	方法
非特定类型	常微分方程及其基本例题相关推荐 matlab学习笔记之——符号函数应该怎么作图？ 如何用符号函数来做图 最近在学习使用符号函数,在此过程中遇到了许多问题,尤其是我不太清楚应该用什么函数来画符号函数的图.之后我问了我的老师,也看了很多博文,总结了一些符号函数画图的方法,希望可以帮到大 ... Python小白的数学建模课-09.微分方程模型 小白往往听到微分方程就觉得害怕,其实数学建模中的微分方程模型不仅没那么复杂,而且很容易写出高水平的数模论文. 本文介绍微分方程模型的建模与求解,通过常微分方程.常微分方程组.高阶常微分方程 3个案例手 ... Python小白的数学建模课-09 微分方程模型 1. 微分方程 1.1 基本概念 微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具.物理中许多涉及变力的运动学.动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解.微分方程在 ... 常微分方程解法（2）例题 用SciPyのscipy.integrate.odeint解联立微分方程式,以时间t(tの范围在0~几秒就可以,例:t=0~2秒)和解x(t), y(t), z(t)作图. 作为t=0的初期条件,x( ... 数学建模之微分方程(符实现例题和MATLAB源码) 微分方程的基本概念 微分方程:一般的,凡表示未知函数.未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,有时也简称方程. 微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的 ... z变换解差分方程例题_某些常见微分方程的一般解法（工具向） 这篇笔记写自很久很久之前了,那本笔记又不是很想翻(因为一开始写笔记的时候语言过于-不想再看),但是经常性的又会忘记某些比较重要的内容.那么在这里简单的做个存档,毕竟翻知乎比翻纸质笔记方便多了. 这篇的 ... 用四阶RungeKutta方程解二阶常微分方程，并计算船舶在规则波中的横摇角（附Matlab代码） 前几天接到师姐分派的任务,让我求解一艘船模的横摇角的时间历程曲线,为后期的减摇控制准备. 1 首先冷静分析一下,原方程如下: 我们要求解的就是theta角和时间t之间的关系曲线,这是一道典型的二阶常微 ... matlab初值微分方程,常微分方程初值问题的MATLAB解法 大连圣亚海洋世界官网-2021年2月7日发(作者:转身之后还是你) 用 Matlab 求常微分方程 < br>(ODE) 的初值问题 (IVP) 本节考虑一阶常微分方程  u   f ... 四阶龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题 算法原理和程序框图 龙格-库塔法是一种求其准确解y(x)在一系列点xi处y(xi)的近似值yi的方法,yi称为数值解.经典的四阶龙格库塔法方程如下: y'=f(t,y),y(t0)=y0输出按如下求解 ... 最新文章 detectmultiscale函数参数含义_OpenCV detectMultiScale函数 unity panel如何设置控件位置_Unity 关于GUI与UGUI坐标 的一点问题解惑 使用 Drools 规则引擎实现业务逻辑,可调试drl文件 Linux cp一个文件夹时提示cp: omitting directory `test/' leetCode 110. Balanced Binary Tree 平衡二叉树 【Flutter】Dart中的构造函数 Sqlloader导数据进数据库时间过长或卡住原因探讨及解决办法 php之sprintf的用法,PHP之sprintf函数用法详解 SSH实战 第四天 代码 P2339 [USACO04OPEN]Turning in Homework G 笔记/题解 katana之渲染输出AOV itunes显示app store无法连接服务器,无法连接到iTunes Store的解决方案 数据库发展竟然和阿波罗登月有关？还有什么是我们不知道的？ android n 状态栏分析,Android N状态栏图标白底问题 canvas学习笔记 物体移出镜头外出现ui提示 把若干个亚群合并到一起得到subsetdata merge到一起 管理者不可不知的5个管理常识，说的有道理 Navicat Premium模型存储路径 红米手机使用应用沙盒动态修改位置数据 热门文章 vs2010用c语言实现数据转换成图片,数据压缩第二次实验报告——用C语言实现bmp to yuv的图片格式转化... MySQL：复杂一点的查询----Datawhale第三次打卡笔记 炫酷手持滚动弹幕生成小工具微信小程序源码多样化模板 Socket实现文件互传（二） USB2.0、USB3.0和typec引脚定义 陌陌运维主管：我们是如何搞定600+设备的初创公司办公室网络环境的 | 36氪 flume-ng简单介绍 记录一下对TP的研究 GD32F4移植STM32F4 java 取模 与 取余_Java中的取模、取余和位移 Home Powered By WordPress 苏ICP备17004429号