P2339 [USACO04OPEN]Turning in Homework G 笔记/题解

P2339 [USACO04OPEN]Turning in Homework G 笔记

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本题使用的大致思想有贪心和动态规划。

使用的模型是区间DP。更加细致地，是在区间两端的DP。

贪心：

首先应当明确的是，我们的路线应该是酱紫的：

原因：
1.我们不可能一直朝着一个方向走，走走停停，那样显然是不优的。
2.那为什么我们的圈子越兜越小了呢？（想一想，为什么？）¹

继续，我们考虑，∃i,js.t.xi≤xj∧Ti≤Tj\exist ~i,j ~~s.t.~~x_i \le x_j \land T_i \le T_j∃ i,j s.t. xi≤xj∧Ti≤Tj这样的两间教室。通俗点讲，就是iii教室在jjj教室前面，而且iii教室先下课。那么我们就可以在前往jjj教室的路上顺便前往iii教室。如果Ti≥TjT_i \ge T_jTi≥Tj，那么我们可以在从jjj返回的路上顺便前往iii教室。

所以我们应当将每件教室按照位置进行排序（贪心的体现）。

动态规划之区间DP

变量的选取

既然我们兜的圈子是精心规划过的，那么就应当以圈子的范围为突破口。也就是说，将圈子的范围作为转移方程的变量，以此来进行转移。我们先将圈子的左右端点记下来，记作lll和rrr。之后，我们将圈子更严谨地成为“区间”。

不过，只有范围还是很粗糙的，我们要进一步精致化。

考虑：我们现在处在一个区间的端点上，接下来要如何走？等等，突然发现似乎我们并不清楚现在究竟处在这个区间的哪一个端点上。因为处在不同的端点就有不同的转向策略，所以，必要地，我们应当把现在所处区间的端点也作为一个变量。区间只有两个端点，那么我们记000作为左端点，记111作为右端点。

动态转移方程

为了简洁和易于理解，将两点i,ji,ji,j之间的距离记作dis(i,j)dis(i,j)dis(i,j)，而在具体实现中我们应使用∣xi−xj∣|x_i-x_j|∣xi−xj∣，即abs(a[i].x-a[j].x)。请读者再次阅读题目，明确各个变量的含义。

接下来就是写出动态转移方程的时候了：

我们设f[l][r][0]f[l][r][0]f[l][r][0]表示当前处在区间[l,r][l,r][l,r]的左端点时²，已经花费的最小时间。

一、考虑当我们处在区间[l,r][l,r][l,r]的左端点上时，上一步可能是从哪里转移过来的：
　　1）如果是第l−1l-1l−1个教室，我们花费的时间至少是f[l−1][r][0]+dis(l−1,l)f[l-1][r][0]+dis(l-1,l)f[l−1][r][0]+dis(l−1,l)，（已经花费的时间+将花费的时间）。又因为受到了时间TTT的限制，故我们这个步骤的结果就是max⁡(f[l−1][r][0]+dis(l−1,l),Tl)\max(f[l-1][r][0]+dis(l-1,l),T_{l})max(f[l−1][r][0]+dis(l−1,l),Tl)。
　　2）如果是第r+1r+1r+1个教室，我们花费是时间至少是f[l][r+1][1]+dis(l,r+1)f[l][r+1][1]+dis(l,r+1)f[l][r+1][1]+dis(l,r+1)，同样受到时间限制，这个步骤的结果是max⁡(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),Tl)\max(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),T_{l})max(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),Tl)。
　　我们要从这两种情况中选择时间更小的那个，所以：
f[l][r][0]=min⁡{max⁡(f[l−1][r][0]+dis(l−1,l),Tl)max⁡(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),Tl)}f[l][r][0]=\min \begin{Bmatrix} \max(f[l-1][r][0]+dis(l-1,l),T_{l}) \\ \max(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),T_{l}) \end{Bmatrix} f[l][r][0]=min{max(f[l−1][r][0]+dis(l−1,l),Tl)max(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),Tl)}
二、考虑当我们处在区间[l,r][l,r][l,r]的右端点上时，上一步可能是从哪个教室转移来：
　　1）如果是第l−1l-1l−1个教室，结果就是max⁡(f[l−1][r][0]+dis(l−1,r),Tr)\max(f[l-1][r][0]+dis(l-1,r),T_{r})max(f[l−1][r][0]+dis(l−1,r),Tr)。
　　2）如果是第r+1r+1r+1个教室，结果就是max⁡(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),Tr)\max(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),T_{r})max(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),Tr)。
　　结合这两种情况，可得：
f[l][r][1]=min⁡{max⁡(f[l−1][r][0]+dis(l−1,r),Tr)max⁡(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),Tr)}f[l][r][1]=\min \begin{Bmatrix} \max(f[l-1][r][0]+dis(l-1,r),T_{r}) \\ \max(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),T_{r}) \end{Bmatrix} f[l][r][1]=min{max(f[l−1][r][0]+dis(l−1,r),Tr)max(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),Tr)}

综上所述，我们可以得到：
f[l][r][0]=min⁡{max⁡(f[l−1][r][0]+dis(l−1,l),Tl)max⁡(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),Tl)}f[l][r][1]=min⁡{max⁡(f[l−1][r][0]+dis(l−1,r),Tr)max⁡(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),Tr)}f[l][r][0]=\min \begin{Bmatrix} \max(f[l-1][r][0]+dis(l-1,l),T_{l}) \\ \max(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),T_{l}) \end{Bmatrix}\\ f[l][r][1]=\min \begin{Bmatrix} \max(f[l-1][r][0]+dis(l-1,r),T_{r}) \\ \max(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),T_{r}) \end{Bmatrix} f[l][r][0]=min{max(f[l−1][r][0]+dis(l−1,l),Tl)max(f[l][r+1][1]+dis(l,r+1),Tl)}f[l][r][1]=min{max(f[l−1][r][0]+dis(l−1,r),Tr)max(f[l][r+1][1]+dis(r,r+1),Tr)}

然后照着抄，实现在代码上就OK了~

你以为这就OK了？不！还有很多细节：

实现的细节

初始化fff数组

fff数组的初始化应该赋值为∞\infty∞，但是还应当把f[1][n][0]f[1][n][0]f[1][n][0]和f[1][n][1]f[1][n][1]f[1][n][1]用转移方程来预处理出来。

答案的选择

我们在做完这些步骤之后，得到的是最小的区间[i,i][i,i][i,i]，而区间f[i][i][0/1]f[i][i][0/1]f[i][i][0/1]还要加上dis(i,d)dis(i,d)dis(i,d)才是最终答案。我们还要再O(n)O(n)O(n)跑一遍得出最小值。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>#define max std::max
#define min std::mintypedef struct Res
{int x, t;bool operator < (const Res &b) const{if(x<b.x)return 1;return 0;}
}Res;
Res a[1005];
int dp[1005][1005][2];
int main(void)
{int n, len, E, i, j, ans;scanf("%d%d%d", &n, &len, &E);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].t);sort(a+1, a+n+1);memset(dp, 62, sizeof(dp));dp[1][n][0] = max(a[1].x, a[1].t);dp[1][n][1] = max(a[n].x, a[n].t);for(i=1;i<=n;i++){for(j=n;j>=1;j--){if(i==1 && j==n) continue;dp[i][j][0]=min(max(dp[i-1][j][0]+a[i].x-a[i-1].x,a[i].t),max(dp[i][j+1][1]+a[j+1].x-a[i].x, a[i].t));dp[i][j][1]=min(max(dp[i-1][j][0]+a[j].x-a[i-1].x,a[j].t),max(dp[i][j+1][1]+a[j+1].x-a[j].x,a[j].t));}}ans = 2147483647;for(i=1;i<=n;i++)ans = min(ans, min(dp[i][i][1], dp[i][i][0])+abs(E-s[i].x));printf("%d\n", ans);return 0;
}

反证法：
分两种情况：
1）假设我们的圈子大小一直不变，在圈子边界上就会出现时间的浪费，不优。
2）假设我们的圈子越兜越大，在圈子中心就会出现越来越多的空闲教室，也就是说，我们花费的大量不必要的时间在路上。
更加感性地，我们这样考虑：圈子越来越小，意味着我们尽可能地将路上花费的时间减小了，是更优秀的。 ↩︎
此时除了这个区间以外的所有教室的作业都已经收好了，不用去理会。注意，lll和rrr是已经收好作业的。 ↩︎