一、解析信号

1. 定义

解析信号是没有负频率分量的复值函数，解析信号的实部和虚部是由希尔伯特变换相关联的实值函数。

（参考：解析信号）

2. 概念

一个实值函数的 Hilbert 变换记作为，则的解析信号为：

3. 性质

（参考：希尔伯特变换简介）

解析信号有如下性质：

（1）实部和虚部功率谱相同；

（2）实部和虚部自相关函数相同；

（3）实部和虚部的互相关函数是奇函数；

（4）解析信号的频谱只有正频段，且幅值变为原来的 2 倍（实现了由双边谱转变为单边谱）；

（5）解析信号的功率谱也只有正频段，强度变为原来的 4 倍。

二、希尔伯特变换

1. 定义

一个实值函数 x(t) 的希尔伯特变换是 x(t) 和 1/Πt 的卷积。因此希尔伯特变换的结果就是输入信号 x(t) 经过一个线性时不变系统（LTI）之后的输出，该线性时不变系统的脉冲响应为 1/Πt。

信号经过希尔伯特变换之后，频域内各频率成分的幅值不变，但相位出现 90° 相移。即正频率滞后 Π/2，负频率导前 Π/2，因此希尔伯特变换器又称 90° 移相器。

（参考：希尔伯特变换）

2. 公式推导

假设 x(t) 是一个实值函数，求该函数的希尔伯特变换。

因此可以被解读为的线性时不变系统的输出，该线性时不变系统的脉冲响应为：

该脉冲响应的傅里叶变换为：

所以的傅里叶变换为：

即：

（参考：1/t的傅里叶变换证明）

3. 性质

希尔伯特变换器又称 90° 移相器，如下图。两次希尔伯特变换之后，原信号相位翻转了 180°，四次希尔伯特变换之后又变回本身。

Hilbert 变换有如下性质：

（1）反对称：H(-x) = -H(x)；

（2）抑制直流分量：H(0) = 0；

（3）非零频率成分能量为 1：|H(x)| = 1，对于任意 x≠0；

（4）和正交。

（参考：希尔伯特变换简介）

三、Hilbert解调原理

1. 信号解调

信号解调是信号调制的反过程，是从已调制的高频信号中解调出原调制信号。信号调制包括调幅、调频、调相，因此信号解调的目的是：根据已有信号，提取出信号的包络、相位、频率信息。

（参考：信号解调的基本原理）

（参考：常用的信号解调方式有哪些？）

2. 欧拉公式（Euler's formula）

欧拉公式说明，复指数信号可以表示成一个实数信号和一个虚数信号和的形式，而且这个实部和虚部是有关系的，两者相位相差。

时域信号	傅里叶变换

因此，等式左边的复指数信号的傅里叶变换为。欧拉公式是最简单的解析信号，可以看出解析信号在时遇上是复数，而在频域上，只有正频率分量，且幅值是实数信号幅值的两倍。

3. 希尔伯特调制原理

假设有一个调制后的实数信号，其中是对信号进行幅度调制（调幅），是对信号进行相位调制（调相），是载波频率。则该实数信号的解析信号为：

即：

则有：

其中，为复包络，为复载波信号。

因此解调信息为：

包络：；

相位：；

瞬时频率：。

可以得出：实数信号的瞬时幅值就是解析信号的模，实数信号的瞬时相位就是解析信号虚部和实部比值的反正切值，实数信号的瞬时频率就是瞬时相位的导数除以 2Π。

（参考：希尔伯特变换求包络原理）

（参考：希尔伯特变换与信号的包络_瞬时相位和瞬时频率（pdf 页））

总结 Hilbert 解调步骤：

（1）求原始信号的 Hilbert 变换，得到原始信号的解析信号；

（2）瞬时幅度（包络） = 解析信号的模 = ；

（3）瞬时相位 = 和比值的反正切值 = ；

（4）瞬时频率 = 瞬时相位的导数 / 2Π = ，即：

。

（参考：希尔伯特-黄变换（HHT）的前世今生——一个从瞬时频率讲起的故事）

（参考：希尔伯特变换和瞬时频率问题--连载（二））

4. 希尔伯特解调的意义

我的疑问是：为什么要对已知的信号进行解调才能得到幅值、相位和频率信息？

解答：因为在实际问题中，我们只知道实数信号的结果，而不知道其具体形式，所以没有办法直接根据信号公式得到这些信息，所以就用到了希尔伯特解调原理~

（参考：信号处理——Hilbert变换及谱分析）

四、Hilbert解调小栗子

%%
clear; clc; close all; warning off;%% 生成调制信号
fs = 400;  % 采样频率
Ts = 1 / fs;
N = 400;  % 观测时长
t = (0 : N-1) * Ts;fa = 5;  % 调幅单频
fp = 10;  % 调相单频
fc = 30;  % 载波单频a = 1 + 0.5 * cos(2 * pi * fa * t);  % 调幅包络
b = 0.5 * sin(2 * pi * fp * t);  % 调相
c = cos(2 * pi * fc * t);  % 载波
s = a .* cos(2 * pi * fc * t + b);  % 调制信号%% Hilbert分析
s_analy = hilbert(s);  % Matlab的hilbert命令得到的是解析信号
sh = imag(s_analy);  % 调制信号的希尔伯特变换
envelope = abs(s_analy);  % 解析信号包络的绝对值
angle = unwrap(angle(s_analy));  % 解析信号的相位
fi = diff(angle) / 2 / pi * fs;  % 瞬时频率% 作图
figure;
subplot(2, 2, 1);plot(t, a); title('包络（调幅信号）');
subplot(2, 2, 2); plot(t, b); title('调相信号');
subplot(2, 2, 3); plot(t, c); title('载波');
subplot(2, 2, 4);
plot(t, s, 'b'); hold on;
plot(t, sh, 'r--'); hold off;
legend('调制结果', '调制信号的希尔伯特变换'); title('调制信号');%% FFT分析
NFFT = 2 ^ nextpow2(N);
f = (0 : NFFT-1) / NFFT * fs;sFFT = fft(s, NFFT);  % 原始信号FFT
saFFT = fft(s_analy, NFFT);  % 解析信号FFT
envFFT = fft(envelope, NFFT);  % 包络的FFTfigure;
subplot(3, 2, 1);
plot(t, envelope); hold on;
plot(t, a, '--'); hold off;
legend('瞬时包络绝对值', '真实包络'); title('瞬时包络');
subplot(3, 2, 2); plot(t, angle); title('瞬时相位');
subplot(3, 2, 3); plot(t(2:end), fi); title('瞬时频率');
subplot(3, 2, 4); plot(f, abs(sFFT)); title('原始信号FFT');
subplot(3, 2, 5); plot(f, abs(saFFT)); title('解析信号FFT');
subplot(3, 2, 6); plot(f, abs(envFFT)); title('包络的FFT');

可以看出，解析信号的频谱是单边谱，且幅值是原始实数信号频谱幅值的两倍。另一方面，希尔伯特解调之后存在边界效应，即边界误差较大。

（参考：信号调制产生边频的原理及希尔伯特解调）

（参考：信号处理——Hilbert变换及谱分析）

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