信号处理——Hilbert变换及谱分析

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Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

　　A-Hilbert变换定义

对于一个实信号 x(t) x(t)，其希尔伯特变换为：

x~(t)=x(t)∗1πt x~(t)=x(t)∗1πt

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

1πt⇔j⋅sign(ω) 1πt⇔j⋅sign(ω)

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

1πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−1 1πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−1

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

z(t)=x(t)+jx~(t) z(t)=x(t)+jx~(t)

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

　　B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)] x(t)=a(t)cos⁡[2πfst+φ(t)]

其中 fs fs是载波频率， a(t) a(t)是 x(t) x(t)的包络， φ(t) φ(t)是 x(t) x(t)的相位调制信号。由于 x(t) x(t)是窄带信号，因此 a(t) a(t)也是窄带信号，可设为：

a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)] a(t)=[1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

式中， fm fm为调幅信号 a(t) a(t)的频率分量， γm γm为 fm fm的各初相角。

对 x(t) x(t)进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)] z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

设

A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)] A(t)=[1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

Φ(t)=2πfst+φ(t) Φ(t)=2πfst+φ(t)

则解析信号可以重新表达为：

z(t)=A(t)ejΦ(t) z(t)=A(t)ejΦ(t)

对比 x(t) x(t)表达式，容易发现：

a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)−−−−−−−−−−√ a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)

φ(t)=Φ(t)−2πfst=arctanx(t)x~(t)−2πfst φ(t)=Φ(t)−2πfst=arctan⁡x(t)x~(t)−2πfst

由此可以得出：对于窄带信号 x(t) x(t)，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调 a(t) a(t)和相位解调 φ(t) φ(t)，并可以利用相位解调求解频率解调 f(t) f(t)。因为：

f(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt−fs f(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt−fs

　　C-相关MATLAB指令

hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

1

2

z = hilbert(x);

f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

f = 50;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 信号变换

% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号

y = sin (2* pi *f*t);

yh = hilbert(y); % matlab函数得到信号是合成的复信号

yi = imag (yh); % 虚部为书上定义的Hilbert变换

figure

subplot (211)

plot (t, y)

title ( '原始sin信号' )

subplot (212)

plot (t, yi)

title ( 'Hilbert变换信号' )

ylim ([-1,1])

　　对应效果图：

例2：已知信号 x(t)=(1+0.5cos(2π5t))cos(2π50t+0.5sin(2π10t)) x(t)=(1+0.5cos⁡(2π5t))cos⁡(2π50t+0.5sin⁡(2π10t))，求解该信号的包络和瞬时频率。

分析：根据解包络原理知：

信号包络： (1+0.5cos(2π5t)) (1+0.5cos⁡(2π5t))

瞬时频率： 2π50t+0.5sin(2π10t)2π 2π50t+0.5sin⁡(2π10t)2π

那么问题来了，实际情况是：我们只知道 x(t) x(t)的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

clear all ; clc ; close all ;

fs=400; % 采样频率

N=400; % 数据长度

n=0:1:N-1;

dt=1/fs;

t=n*dt; % 时间序列

A=0.5; % 相位调制幅值

x=(1+0.5* cos (2* pi *5*t)).* cos (2* pi *50*t+A* sin (2* pi *10*t)); % 信号序列

z=hilbert(x'); % 希尔伯特变换

a= abs (z); % 包络线

fnor=instfreq(z); % 瞬时频率

fnor=[fnor(1); fnor; fnor( end )]; % 瞬时频率补齐

% 作图

pos = get ( gcf , 'Position' );

set ( gcf , 'Position' ,[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);

subplot 211; plot (t,x, 'k' ); hold on;

plot (t,a, 'r--' , 'linewidth' ,2);

title ( '包络线' ); ylabel ( '幅值' ); xlabel ([ '时间/s' 10 '(a)' ]);

ylim ([-2,2]);

subplot 212; plot (t,fnor*fs, 'k' ); ylim ([43 57]);

title ( '瞬时频率' ); ylabel ( '频率/Hz' ); xlabel ([ '时间/s' 10 '(b)' ]);

　　其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

+ View Code

　　对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络（以指数形式为例），并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 原始信号

f1 = 10;

f2 = 70;

% a = cos(2*pi*f1*t); % 包络1

a = 2 + exp (0.2*f1*t); % 包络2

% a = 1./(1+t.^2*50); % 包络3

m = sin (2* pi *f2*t); % 调制信号

y = a.*m; % 信号调制

figure

subplot (241)

plot (t, a)

title ( '包络' )

subplot (242)

plot (t, m)

title ( '调制信号' )

subplot (243)

plot (t, y)

title ( '调制结果' )

% 包络分析

% 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等

yh = hilbert(y);

aabs = abs (yh); % 包络的绝对值

aangle = unwrap ( angle (yh)); % 包络的相位

af = diff (aangle)/2/ pi ; % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算

% NFFT = 2^nextpow2(N);

NFFT = 2^ nextpow2 (1024*4); % 改善栅栏效应

f = fs* linspace (0,1,NFFT);

YH = fft (yh, NFFT)/N; % Hilbert变换复信号的频谱

A = fft (aabs, NFFT)/N; % 包络的频谱

subplot (245)

plot (t, aabs, 'r' , t, a)

title ( '包络的绝对值' )

legend ( '包络分析结果' , '真实包络' )

subplot (246)

plot (t, aangle)

title ( '调制信号的相位' )

subplot (247)

plot (t(1: end -1), af*fs)

title ( '调制信号的瞬时频率' )

subplot (244)

plot (f, abs (YH))

title ( '原始信号的Hilbert谱' )

xlabel ( '频率f (Hz)' )

ylabel ( '|YH(f)|' )

subplot (248)

plot (f, abs (A))

title ( '包络的频谱' )

xlabel ( '频率f (Hz)' )

ylabel ( '|A(f)|' )

　　对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

　　A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 原始信号

f1 = 10;

f2 = 70;

% a = cos(2*pi*f1*t); % 包络1

a = 2 + exp (0.2*f1*t); % 包络2

% a = 1./(1+t.^2*50); % 包络3

m = sin (2* pi *f2*t); % 调制信号

y = a.*m; % 信号调制

figure

yh = hilbert(y);

aangle = unwrap ( angle (yh)); % 包络的相位

af1 = diff (aangle)/2/ pi ; % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算

af1 = [af1(1),af1];

subplot 211

plot (t, af1*fs); hold on;

plot (t,70* ones (1, length (t)), 'r--' , 'linewidth' ,2);

title ( '直接求解调制信号的瞬时频率' );

legend ( '频率估值' , '真实值' , 'location' , 'best' );

subplot 212

af2 = instfreq(yh. ').' ;

af2 = [af2(1),af2,af2( end )];

plot (t, af2*fs); hold on;

plot (t,70* ones (1, length (t)), 'r--' , 'linewidth' ,2);

title ( 'instfreq求解调制信号的瞬时频率' );

legend ( '频率估值' , '真实值' , 'location' , 'best' );

　　结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

　　B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

　　C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT（Hilbert Huang），HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

　　D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波（LPF）等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

function y=envelope(signal,Fs)

%Example:

% load('s4.mat');

% signal=s4;

% Fs=12000;

% envelope(signal,Fs);

clc ;

close all ;

%Normal FFT

y=signal;

figure ();

N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f= abs ( fft (y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/( norm (sig_f));

freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 311

plot (freq_s(2:250),sig_n(2:250)); title ( 'FFT of Original Signal' );

%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT

[a,b]=butter(2,0.1); %butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1

%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and

%then taking square root

sig_sq=2*signal.*signal; % squaring for rectifing

%gain of 2 for maintianing the same energy in the output

y_sq = filter (a,b,sig_sq); %applying LPF

y= sqrt (y_sq); %taking Square root

%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings

%out some hidden information more efficiently

N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f= abs ( fft (y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/( norm (sig_f));

freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 312

plot (freq_s(2:250),sig_n(2:250)); title ( 'Envelope Detection: LPF Method' );

%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT

analy=hilbert(signal);

y= abs (analy);

N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f= abs ( fft (y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/( norm (sig_f));

freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 313

plot (freq_s(2:250),sig_n(2:250)); title ( 'Envelope Detection : Hilbert Transform' )

　　结果图：

效果是不是也不错？

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